數(shù)學(xué)高中人教A版必修2學(xué)案第二章點直線平面之間的位置關(guān)系本章小結(jié)Word版含解析

第二章點、直線、平面之間的位置關(guān)系本章小結(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)重點:空間直線、平面的位置關(guān)系,直線、平面平行的判定定理和性質(zhì)定理,直線、平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理.難點:空間中平行關(guān)系、垂直關(guān)系、平行與垂直關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化.合作學(xué)習(xí)一、知識結(jié)構(gòu)二、知識梳理1.四個公理2.直線與直線的位置關(guān)系3.等角定理4.直線與平面的位置關(guān)系5.平面與平面的位置關(guān)系三、【典例選講】【例1】如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是AB和AA1的中點.求證:(1)E,C,D1,F四點共面;(2)CE,D1F,DA三線共點.變式訓(xùn)練1:如圖,△ABC在平面α外,AB∩α=P,BC∩α=Q,AC∩α=R,求證:P,Q,R三點共線.【例2】如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是CD,CC1的中點,則異面直線A1M與DN所成的角的大小是.

變式訓(xùn)練2:在正方體ABCD-A1B1C1D1中.(1)求AC與A1D所成角的大小;(2)若E,F分別為AB,AD的中點,求A1C1與EF所成的角的大小.【例3】如圖,PA⊥矩形ABCD所在的平面,M,N分別是AB,PC的中點,(1)求證:MN∥平面PAD;(2)求證:MN⊥CD;(3)若二面角P-DC-A大小為45°,求證:平面PMC⊥平面PDC.變式訓(xùn)練3:如圖,幾何體E-ABCD是四棱錐,△ABD為正三角形,CB=CD,EC⊥BD.(1)求證:BE=DE;(2)若∠BCD=120°,M為線段AE的中點,求證:DM∥平面BEC.四、作業(yè)布置必做題:1.設(shè)l是直線,α,β是兩個不同的平面()A.若l∥α,l∥β,則α∥β B.若l∥α,l⊥β,則α⊥βC.若α⊥β,l⊥α,則l⊥β D.若α⊥β,l∥α,則l⊥β2.如圖,在空間四邊形ABCD中,M∈AB,N∈AD,若AMMB=ANND,則MN與平面3.如圖,在四面體P-ABC中,已知PA=BC=6,PC=AB=10,AC=8,PB=234.F是線段PB上一點,CF=151734,點E在線段AB上,且EF⊥PB.證明PB⊥選做題:如圖1,在Rt△ABC中,∠C=90°,D,E分別為AC,AB的中點,點F為線段CD上的一點,將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1F⊥CD,如圖2.(1)求證:DE∥平面A1CB;(2)求證:A1F⊥BE.參考答案二、1.四個公理及推論公理1:如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi),那么這條直線在此平面內(nèi).公理2:過不在一條直線上的三點,有且只有一個平面.推論1:經(jīng)過一條直線和這條直線外一點,有且只有一個平面.推論2:經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個平面.推論3:經(jīng)過兩條平行直線,有且只有一個平面.公理3:如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線.公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行.四個公理的作用:(1)公理1:①檢驗平面;②判斷直線在平面內(nèi);③由直線在平面內(nèi)判斷直線上的點在平面內(nèi).(2)公理2:公理2及其推論給出了確定一個平面或判斷“直線共面”的方法.(3)公理3:①判定兩平面相交;②作兩平面相交的交線;③證明多點共線.(4)公理4:證明線線平行.2.直線與直線的位置關(guān)系(1)位置關(guān)系的分類共面直線平行(2)異面直線所成的角①定義:已知兩條異面直線a,b,經(jīng)過空間任一點O作直線a'∥a,b'∥b,把a'與b'所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).②范圍:0°<θ≤90°.思考探究:如果兩條直線沒有任何公共點,則兩條直線為異面直線,此說法正確嗎?提示:不正確.如果兩條直線沒有公共點,則兩條直線平行或異面.3.等角定理空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行,那么這兩個角相等或互補.4.直線與平面的位置關(guān)系(1)位置關(guān)系的分類直線在平面內(nèi)直線在平面外(2)直線和平面平行的判定①定義:直線和平面沒有公共點,則稱直線平行于平面;②判定定理:a?α,b?α,a∥b?a∥α;③其他判定方法:α∥β,a?α?a∥β.(3)直線和平面平行的性質(zhì)定理:a∥α,a?β,α∩β=l?a∥l.(4)直線與平面垂直的判定①定義法;②利用判定定理:一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;③推論:如果在兩條平行直線中,有一條垂直于平面,那么另一條直線也垂直于這個平面.思考探究:能否將直線與平面垂直的定義中的“任意一條直線”改為“無數(shù)條直線”?提示:不可以.當(dāng)這無數(shù)條直線平行時,直線l有可能在平面α內(nèi),或者l與平面α相交但不垂直.(5)直線和平面垂直的性質(zhì)①直線垂直于平面,則垂直于平面內(nèi)任意直線.②垂直于同一個平面的兩條直線平行.③垂直于同一直線的兩平面平行.(6)直線和平面所成的角平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角,叫做這條直線和這個平面所成的角.當(dāng)直線與平面垂直和平行(含直線在平面內(nèi))時,規(guī)定直線和平面所成的角分別為90°和0°.思考探究:如果兩直線與一個平面所成的角相等,則這兩直線一定平行嗎?提示:不一定.這兩條直線的位置關(guān)系可能平行、相交或異面.5.平面與平面的位置關(guān)系(1)位置關(guān)系的分類兩個平面相交兩個平面平行(2)兩個平面平行的判定①定義:兩個平面沒有公共點,稱這兩個平面平行;②判定定理:a?α,b?α,a∩b=P,a∥β,b∥β?α∥β;③推論:a∩b=P,a?α,b?α,a'∩b'=P',a'?β,b'?β?α∥β.思考探究:如果一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線平行于另一個平面,則這兩個平面一定平行嗎?提示:不一定.如果這無數(shù)條直線互相平行,則這兩個平面就可能相交.(3)兩個平面平行的性質(zhì)定理①α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b?a∥b;②α∥β,a?α=a∥β.思考探究:垂直于同一平面的兩平面是否平行?提示:不一定.兩平面可能平行,也可能相交.(4)平面與平面垂直的判定①定義法;①定義法;②利用判定定理:一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直.(5)平面與平面垂直的性質(zhì)兩個平面垂直,則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直.(6)二面角的有關(guān)概念①二面角:從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.②二面角的平面角:以二面角的棱上任一點為端點,在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線,這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角.三、【例1】分析:對于(1)由EF∥CD1可得E,C,D1,F四點共面;對于(2)先證CE與D1F相交于P,再證P∈DA即可得到CE,D1F,DA三線共點.證明:(1)如圖,連接EF,CD1,A1B.∵E,F分別是AB,AA1的中點,∴EF∥BA1.又A1B∥D1C,∴EF∥CD1,∴E,C,D1,F四點共面.(2)∵EF∥CD1,EF<CD1,∴CE與D1F必相交,設(shè)交點為P,則由P∈CE,CE?平面ABCD,得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA,∴P∈直線DA,∴CE,D1F,DA三線共點.點評:平面的基本性質(zhì)是研究立體幾何的基礎(chǔ),公理3是將立體幾何圖形問題轉(zhuǎn)化為平面幾何圖形問題的理論依據(jù),在這里判斷和證明點、線共面問題就顯得十分重要了.變式訓(xùn)練1:證明:因為AB∩α=P,AB?平面ABC,所以P∈平面ABC,又P∈α,所以P在平面ABC與平面α的交線上.同理可以證明Q,R均在這條交線上.所以P,Q,R三點共線.【例2】分析:將異面直線通過平行線“平移”為相交直線,則可以找到異面直線所成的角,再通過解三角形求解即可.解析:過M作MK∥DN交棱CC1于點K,連接A1K,則∠A1MK就是異面直線A1M與DN所成的角(或其補角),設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a,可以求得MK2=516a2,A1M2=94a2,A1K2=4116a2,那么MK2+A1M2=A1K2,所以△A1MK是直角三角形,所以∠A1MK=90°,即異面直線A1M與DN答案:90°點評:求異面直線所成的角,關(guān)鍵是將其中一條直線平移到某個位置使其與另一條直線相交,或?qū)蓷l直線同時平移到某個位置,使其相交.平移直線的方法有:(1)直接平移;(2)中位線平移;(3)補形平移.變式訓(xùn)練2:(1)60°;(2)90°.【例3】分析:(1)取PD中點E,連接AE,EN,轉(zhuǎn)化為證四邊形AMNE為平行四邊形,即用線線平行來推導(dǎo)線面平行.(2)先證AB⊥平面PAD?AB⊥MN,再利用CD∥AB可得結(jié)論.(3)先由PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AD和∠APD=45°,E為PD中點?AE⊥PD?MN⊥PD.再由MN⊥CD證出MN⊥平面PCD.證明:(1)取PD中點E,連接AE,EN,則EN12CD12AB故四邊形AMNE為平行四邊形,所以MN∥AE,又因為AE?平面PAD,MN?平面PAD,所以MN∥平面PAD.(2)因為PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD,又因為AD⊥CD,所以CD⊥平面PAD,所以CD⊥AE,又因為MN∥AE,所以MN⊥CD.(3)因為CD⊥平面PAD,所以CD⊥AD,CD⊥PD,所以∠PDA就是二面角P-DC-A的平面角,即∠PDA=45°,由PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AD,那么△PAD為等腰直角三角形,因為E是PD的中點,所以AE⊥PD,又AE∥MN,所以MN⊥PD,根據(jù)(2)的結(jié)論MN⊥CD,且PD∩CD=D,所以MN⊥平面PDC,又MN?平面PMC,所以平面PMC⊥平面PDC.點評:本題綜合考查了面面垂直的判定、線面垂直的判定、線線垂直的證明以及線面平行的判定,是對立體幾何知識的綜合考查.培養(yǎng)了學(xué)生平面與空間及線線關(guān)系、線面關(guān)系、面面關(guān)系的轉(zhuǎn)化能力.變式訓(xùn)練3:證明:(1)取BD中點O,連接OC,OE,則由BC=CD知,CO⊥BD,又EC⊥BD,EC∩CO=C,所以BD⊥平面EOC.所以BD⊥OE,即OE是BD的垂直平分線,所以BE=DE.(2)取AB中點N,連接MN,DN,DM,因為M是AE的中點,所以MN∥BE,又MN?平面BEC,BC?平面BEC,所以MN∥平面BEC.又因為△ABD是等邊三角形,所以∠BDN=30°.又CB=CD,∠BCD=120°可知,∠CBD=30°,所以ND∥BC,又DN?平面BEC,BC?平面BEC,所以DN∥平面BEC.又MN∩DN=N所以平面MND∥平面BEC,又DM?平面MND,所以DM∥平面BEC.五、必做題:1.B2.MN∥平面BDC3.證明:因為PA2+AC2=36+64=100=PC2,所以△PAC是以∠PAC為直角的直角三角形,同理可證△PAB是以∠PAB為直角的三角形,△PCB是以∠PCB為直角的三角形,故PA⊥平面ABC.又因為S△PBC=12·BC·PC=12