基于主成分分析法的串聯(lián)機器人綜合性能評價

基于主成分分析法的串聯(lián)機器人綜合性能評價

機器人機構(gòu)是實現(xiàn)各種運動并完成各種指定任務(wù)的主體。機器人機構(gòu)分析是機器人創(chuàng)新和發(fā)展的中心主題。包括機器人組織分析、動態(tài)分析、運動控制、路徑規(guī)劃、智能設(shè)計和工程應(yīng)用。機器人組織的綜合是探索機械零件的新形式。另一方面，由于機器人系統(tǒng)的復雜性和多樣性，缺乏考慮結(jié)構(gòu)的綜合能力決策的理論，因此無法建立結(jié)構(gòu)分析和后續(xù)結(jié)構(gòu)方法之間的內(nèi)在聯(lián)系。另一方面，在組織整合過程中，為了選擇組織類型和規(guī)模，有必要澄清組織類型、規(guī)模和綜合能力之間的關(guān)系。1）如何闡明機器人系統(tǒng)的綜合能力、組織類型和規(guī)模的分布規(guī)律，以及建立一種通用于工程應(yīng)用的機器人系統(tǒng)分析和綜合方法是國際組織研究的重點和難點。多元統(tǒng)計方法能在多個對象和多個指標互相關(guān)聯(lián)的情況下得出它們之間的規(guī)律,機器人機構(gòu)單一性能指標的相關(guān)性和多樣性決定了可將其引入機器人機構(gòu)分析和綜合中,用以揭示多種單一性能指標與機器人機構(gòu)類型和尺寸之間的映射規(guī)律.目前,國內(nèi)外在農(nóng)業(yè)、生物、氣象學、人口統(tǒng)計學、經(jīng)濟學等多個領(lǐng)域已將多元統(tǒng)計方法———主成分分析(principalcomponentanalysis,PCA)和核主成分分析法(kernelprincipalcomponentanalysis,KPCA)應(yīng)用于研究多個變量之間的相互關(guān)系,并進行綜合評價［2］.但是,尚未將相關(guān)方法引入對機器人機構(gòu)分析和綜合的研究領(lǐng)域中.PCA方法可有效地處理變量間的線性關(guān)系,解決基于多種單一性能指標的機器人機構(gòu)的分析和綜合.但由于指標間的關(guān)系往往是非線性的,線性PCA評價方法中可能出現(xiàn)各指標的貢獻率過于分散的情況,無法全面地評價機構(gòu)的綜合性能［3］.KPCA作為PCA方法在處理非線性問題時的擴展,近年來得到了快速發(fā)展［4］.KPCA將原變量空間通過一個非線性變換映射到高維特征空間,再進行線性主成分分析,通過選取適當?shù)暮撕瘮?shù),使第一主成分的貢獻率達到80%,從而通過第一主成分即可對機器人機構(gòu)的綜合性能進行較為全面的分析,進而得出綜合性能最優(yōu)的機器人的構(gòu)型和尺度.由于串聯(lián)機器人結(jié)構(gòu)相對簡單、運動空間大、易于控制,已在機床、裝配車間等很多領(lǐng)域成功應(yīng)用.因此,本文以串聯(lián)機器人為研究對象,基于PCA方法和KPCA方法對其各項運動學和動力學的單一性能指標的數(shù)據(jù)進行數(shù)學分析,得出綜合評價指標,通過比較PCA方法和KPCA方法的降維效果,選擇更適合于串聯(lián)機器人的機構(gòu)分析的方法,進而通過選擇綜合性能最優(yōu)的機構(gòu)構(gòu)型和尺度,為機器人構(gòu)型和尺度同步綜合研究提供科學的參考依據(jù).1基于pca和kpca的聯(lián)合機器人分析和綜合方法1.1原指標計算步驟PCA是在保證樣本數(shù)據(jù)信息損失最小的前提下,經(jīng)線性變換(正交)和舍棄小部分信息,將多個指標問題轉(zhuǎn)換為較少的新的指標問題,并且這些新的指標既是互不相關(guān)、又能綜合反映原指標的一種分析方法［5-8］.具體計算步驟見文獻.1.2kpca方法的核函數(shù)基于核函數(shù)的PCA法是利用線性代數(shù)、支持向量機等有關(guān)理論來實現(xiàn)非線性空間的降維,在解決信息冗余的同時,保證了原始信息的完整性.其主要思想是通過某種事先選擇的非線性映射Φ將輸入矢量x映射到一個高維線性特征空間F中,然后在空間F中使用PCA方法計算得到的線性主成分,實質(zhì)上是原始輸入空間的非線性主元［10-11］.設(shè)xi∈Rk(i=1,2,…,p)為輸入空間的k維樣本點.通過非線性映射Φ將Rk映射到特征空間F:F中的樣本點記作φ(xi).非線性映射Φ往往不易求得,KPCA方法通過核函數(shù)從輸入空間到特征空間進行非線性映射.核函數(shù)是滿足Mercer條件的任意對稱函數(shù)(實正定函數(shù)),常用的核函數(shù)如下:1)高斯核函數(shù)2)多項式核函數(shù)3)感知器核函數(shù)式中a、b、c、d為選定的參數(shù).1.3kpca方法下的第二主成分分析基于串聯(lián)機器人的綜合性能進行機構(gòu)分析和綜合是一個基于串聯(lián)機器人的各項單一性能指標進行PCA計算的過程.選擇貢獻率大于80%的第一主成分以構(gòu)成具有機構(gòu)學意義的綜合性能評價指標,從而利用統(tǒng)計數(shù)據(jù)進行定量分析,揭示指標之間的內(nèi)在聯(lián)系,進而選擇具有最優(yōu)綜合性能的串聯(lián)機器人的構(gòu)型和尺度.基于PCA方法進行串聯(lián)機器人機構(gòu)的分析和綜合提取主成分時,存在數(shù)據(jù)壓縮不充分,引起主成分個數(shù)增多,而主成分個數(shù)的取舍可能導致計算結(jié)果不準確,同時串聯(lián)機器人性能指標的非線性特征難以提取.此時應(yīng)引入KPCA方法應(yīng)用于串聯(lián)機器人機構(gòu)的分析和綜合中,通過非線性變換,將運動學或動力學的單一性能指標由原變量空間映射到高維特征空間,并在高維特征空間中進行主成分分析,不僅能實現(xiàn)了數(shù)據(jù)降維,而且還有效地處理了各指標的非線性影響,計算結(jié)果更客觀,如圖1所示.根據(jù)設(shè)定的工作目標,串聯(lián)機器人機構(gòu)的構(gòu)型和尺度范圍確定后,盡可能多地選擇單一機器人運動學和動力學性能指標,然后基于PCA或KPCA方法將這些指標的特點綜合而成新的綜合性能指標,從而通過對第一主成分的評價結(jié)果來實現(xiàn)對串聯(lián)機器人機構(gòu)的構(gòu)型和尺度同步綜合,其優(yōu)點為:1)PCA方法和KPCA方法選擇機構(gòu)單一性能指標的原則為寧多勿少,從而減少了單一性能指標選擇的工作量,能消除單一性能指標間的相關(guān)影響.2)相對PCA方法,KPCA方法可通過選取適當?shù)暮撕瘮?shù)使第一主成分的貢獻率達到80%以上,降維效果較PCA明顯,有效避免PCA中因各指標貢獻率過于分散而影響評價效果.進而可以通過對第一主成分的評價結(jié)果來實現(xiàn)對串聯(lián)機器人機構(gòu)的構(gòu)型和尺度同步綜合.2運動學和動力學性能評價串聯(lián)機器人運動復雜,且大多數(shù)為多自由度的結(jié)構(gòu),其設(shè)計、分析、控制與制造的要求高、難度大,其機構(gòu)的構(gòu)型與參數(shù)設(shè)計問題通常是通過在一定的約束條件下優(yōu)化性能指標來完成,這些指標應(yīng)該具有明確的意義,并具有可計算性.單一的運動學和動力學性能評價指標主要關(guān)注于工作空間、奇異位形、解耦性、各向同性等方面［12］.2.1條件數(shù)的選取機器人機械臂的雅克比矩陣J的條件數(shù)k(J)=‖J‖‖J－‖可作為評定機械臂末端操作能力的指標.當‖·‖取Euclide范數(shù)時條件數(shù)與雅克比矩陣奇異值的關(guān)系為式中:r為雅可比矩陣的行秩;σ1、σr分別為雅克比矩陣的最大奇異值和最小奇異值.顯然,矩陣條件數(shù)的取值為1≤k(J)≤∞.條件數(shù)代表了雅克比轉(zhuǎn)換矩陣向各方向的變換均衡性.條件數(shù)越小,機械臂的運動靈活性就越好.當條件數(shù)取最小值1時,機械臂處于各向同性,各方向的運動能力均相等;條件數(shù)為無窮時,表明機械臂處于奇異位形.同時條件數(shù)也反映了機械臂的精度［13］,為從關(guān)節(jié)空間到操作空間的誤差放大系數(shù).條件數(shù)越小,機械臂的精度也越高.2.2機械臂運動學性能運動學條件數(shù)反映了機械臂各方向操作能力的均衡性,而可操作度對某一位形下機械臂各方向運動的能力做出了綜合度量,可用來衡量機械臂的整體靈活性.將雅可比矩陣與其轉(zhuǎn)置矩陣之積的行列式定義為機械臂的可操作度的度量指標式中σ1,σ2,…,σr為雅克比矩陣J的奇異值.2.3方向可操作度法絕大多數(shù)運動學靈活性指標如運動學條件數(shù)和運動學可操作度都考慮了各方向上的運動情況,稱為一般運動靈活性.而方向可操作度是基于特定任務(wù)方向的,稱為特定運動靈活性.在對機械臂完成特定任務(wù)進行控制時,并不對機械臂各個方向上的運動能力提出要求,所關(guān)心的是在任務(wù)要求的方向上機械臂是否具有足夠的運動能力,對應(yīng)提出了方向可操作度式中u為沿末端運動速度方向的單位向量,表示沿著任務(wù)要求的特定方向上的運動轉(zhuǎn)換能力.2.4機械臂的結(jié)構(gòu)及工作空間機械臂的工作空間是重要的設(shè)計指標,用來確定機械臂的優(yōu)化結(jié)構(gòu)配置.工作空間定義為在機械臂運動過程中,其操作器臂端所能達到的全部點所構(gòu)成的空間,其形狀和大小反映了一個機械臂的工作能力.2.5動態(tài)可操作度機械臂的動力學性能與條件數(shù)、最小奇異值和可操作度等度量指標也有一定的聯(lián)系.離奇異點越遠,機械臂在各方向的運動性能和施力效果的一致性愈好.動態(tài)可操作度橢球是基于矩陣E(q)來表示串聯(lián)機器人的關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩τ與操作加速度·q·之間的關(guān)系定義動態(tài)可操作度性的度量指標w1為2.6機械臂運動性能的研究將式(9)中的矩陣E(q)進行奇異值分解,σ1≥σ2≥…≥σr≥0,用來構(gòu)造動態(tài)性能指標.w2為矩陣E(q)的條件數(shù)在設(shè)計機械臂結(jié)構(gòu)時,選擇運動學和動力學參數(shù)盡量使最小條件數(shù)接近1.在規(guī)劃路徑時,應(yīng)優(yōu)先考慮動力學最小條件數(shù)接近1的形位.除以上提及的單一性能指標外,針對串聯(lián)機器人還有承載能力、剛度和精度等方面的研究.依據(jù)其不同的工作任務(wù),可選取更多的性能指標來衡量其性能.3典型聯(lián)合機器人系統(tǒng)的分析和集成3.1機械臂運動能力的定量和相關(guān)系數(shù)選擇平面3R機械臂和平面RRP機械臂2種不同構(gòu)型的串聯(lián)機械臂為研究對象,其工作任務(wù)要求機械臂末端的可達坐標為(2.5,2.5)個單位長度,且末端執(zhí)行器坐標系的y軸在全局坐標系中y軸方向上的方向余弦為0.45,如圖2所示.對應(yīng)其工作任務(wù),可確定3R機械臂的各臂長的變化范圍分別為1~3個單位長度;RRP機械臂轉(zhuǎn)動副的臂長變化范圍為1~3個單位長度,機械臂移動副的角度變化范圍為45°~135°.選擇串聯(lián)機械臂典型的運動學和動力學指標,包括運動學條件數(shù)(x1)、運動學可操作度(x2)、方向可操作度(x3)、工作空間(x4)、動態(tài)可操作度(x5)及動力學的條件數(shù)(x6)［13］.通過離散3R機械臂的臂長,選擇3R構(gòu)型的27個樣本;離散RRP機械臂轉(zhuǎn)動副的臂長和移動副的角度,選擇RRP構(gòu)型的27個樣本.分析計算54個樣本的6個指標的數(shù)值,如表1所示.在對串聯(lián)機械臂進行多指標綜合評價中,運動學可操作度、方向可操作度、工作空間、動態(tài)可操作度是正向指標,而運動學條件數(shù)和動力學的條件數(shù)是適度指標,其數(shù)值越接近1越好,因此,需對表1的數(shù)據(jù)正向化后進行主成分分析.又由于各指標的度量單位不同,且取值范圍彼此差異較大,所以通過計算各指標間的相關(guān)系數(shù),從相關(guān)系數(shù)矩陣出發(fā)求解主成分.各指標的相關(guān)系數(shù)如表2所示.由表2可知,x1、x2、x3及x4之間是正相關(guān)的,而與x5、x6具有負相關(guān)性.所以,平面串聯(lián)機械臂在具有較理想的運動學條件數(shù)、運動學可操作度、方向可操作度及工作空間的同時,動力學條件數(shù)遠離1,且動態(tài)可操作度相對較小.為了構(gòu)造機構(gòu)學涵義綜合性能評價指標,首先根據(jù)各指標的相關(guān)關(guān)系進行分組,x1、x2、x3、x4為一類,x5和x6為一類;根據(jù)各變量對應(yīng)的因子載荷確定各組的權(quán)重系數(shù);再分別對各組變量進行主成分分析;進而計算綜合主成分評分.分組主成分分析既保證了主成分法的優(yōu)點,也克服其在評價中的缺點,提高綜合評價結(jié)果的合理性.第一主成分因子載荷Lx1、Lx2、Lx3、Lx4、Lx5、Lx6分別為0.806、0.746、0.820、0.884、-0.486、-0.593.由此可得各因子載荷的絕對值之和各組主成分分析結(jié)果見表3.因此,各組的第一主成分能反映串聯(lián)機械臂的綜合性能,進而構(gòu)造串聯(lián)機械臂綜合性能評價函數(shù)式中zxi為標準化后各指標數(shù)值.2種不同構(gòu)型對應(yīng)的54組不同尺度串聯(lián)機械臂的PCA綜合性能評價結(jié)果如圖3所示.評價結(jié)果值越高,機構(gòu)綜合性能越優(yōu),進而可以選擇綜合性能評價結(jié)果最優(yōu)的機械臂對應(yīng)的構(gòu)型和尺度為最優(yōu)設(shè)計方案,實現(xiàn)了串聯(lián)機器人機構(gòu)的構(gòu)型和尺度同步綜合,證明了PCA方法用于串聯(lián)機械臂綜合性能分析和綜合的有效性.3.2主成分貢獻率分析由表3可知,PCA分組后的第一主成分的貢獻率分別為70.3404%和61.4074%,因此式(11)所涵蓋的原性能指標的信息不夠多,樣本代表性較差,因此,引入KPCA方法應(yīng)用于串聯(lián)機器人機構(gòu)的分析和綜合.不同種類核函數(shù)都存在未知參數(shù),不同參數(shù)對KPCA方法的效果有較大影響,參數(shù)選取適當可盡可能使用少的主成分來概括數(shù)據(jù)本身信息,使降維效果更明顯.由于主成分的貢獻率,即核函數(shù)矩陣的特征值與函數(shù)的參數(shù)之間具有一一對應(yīng)的非線性關(guān)系,所以可以第一主成分貢獻率為目標函數(shù),以核函數(shù)的類型和參數(shù)為優(yōu)化變量建立優(yōu)化問題來選擇合適的核函數(shù)［14］.本例中選取多項式核函數(shù),式(3)中b=0.012、c=30.由表3可知,KPCA得到的各組第一主成分的累積方差貢獻率分別達到90.152%和80.757%,樣本代表性較好.因此,對于串聯(lián)機器人機構(gòu)的綜合性能評價,只要選擇合適的核函數(shù)及核參數(shù),就能保證使用KPCA方法降維后保留的信息要比使用PCA方法降維后保留的信息要多,使用KPCA計算得出的第一主成分即可對串聯(lián)機器人機構(gòu)進行綜合性能評價［15］,進而選擇出綜合性能評價結(jié)果最優(yōu)的機械臂對應(yīng)的構(gòu)型和尺度為最優(yōu)設(shè)計方案,較PCA計算結(jié)果的可信度更優(yōu).3.3pca和kpca方法的評價結(jié)果對比通過計算原空間中的各組性能參數(shù)向量在變換空間中的在主元方向上的投影,即可得出不同構(gòu)型、不同尺度的機械臂的綜合性能評價結(jié)果.依據(jù)KPCA與PCA方法計算的第一主成分評價計算結(jié)果對比如圖3所示.由圖3可知,對于2種不同構(gòu)型對應(yīng)的54組不同尺度串聯(lián)機械臂進行綜合性能評價后,基于KPCA方法的54組樣本綜合性能評價結(jié)果與基于PCA方法的綜合性能評價結(jié)果的采樣點的分布趨勢大致相同,且綜合性能最優(yōu)的樣本,即評價結(jié)果數(shù)值最大的樣本重合,均為52號樣本,其PCA方法計算的評價的結(jié)果為3.24,KPCA方法計算的評價的結(jié)果見圖中A點,為37.28,證明了PCA和KPCA方法用于串聯(lián)機械臂綜合性能評價的有效性.但由于KPCA方法降維后保留的信息要比使用PCA方法降維后保留的信息多,所以按照KPCA方法計算的結(jié)果選擇綜合性能最優(yōu)的機械臂構(gòu)型和尺度.KPCA方法計算的52號機械臂綜合性能最優(yōu),對應(yīng)RRP機械臂的轉(zhuǎn)動副的臂長為3個單位長度,同時移動副的機械臂的角度為45°;1號機械