專題08極值點(diǎn)偏移問題（講）【解析版】

第一篇熱點(diǎn)、難點(diǎn)突破篇專題08極值點(diǎn)偏移問題（講）真題體驗(yàn)感悟高考1．（2021·全國·高考真題）若過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】解法一：根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求得切線方程，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象，結(jié)合圖形確定結(jié)果；解法二：畫出曲線的圖象，根據(jù)直觀即可判定點(diǎn)在曲線下方和軸上方時(shí)才可以作出兩條切線.【詳解】在曲線上任取一點(diǎn)，對函數(shù)求導(dǎo)得，所以，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，由題意可知，點(diǎn)在直線上，可得，令，則.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，所以，，由題意可知，直線與曲線的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與曲線的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).故選：D.解法二：畫出函數(shù)曲線的圖象如圖所示，根據(jù)直觀即可判定點(diǎn)在曲線下方和軸上方時(shí)才可以作出兩條切線.由此可知.故選：D.【點(diǎn)睛】解法一是嚴(yán)格的證明求解方法，其中的極限處理在知識(shí)范圍內(nèi)需要用到指數(shù)函數(shù)的增長特性進(jìn)行估計(jì)，解法二是根據(jù)基于對指數(shù)函數(shù)的圖象的清晰的理解與認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，直觀解決問題的有效方法.2.（2022·全國·高考真題（理））已知函數(shù)．(1)若，求a的取值范圍；(2)證明：若有兩個(gè)零點(diǎn)，則．【答案】(1)(2)證明見的解析【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性及最值，即可得解；（2）利用分析法，轉(zhuǎn)化要證明條件為，再利用導(dǎo)數(shù)即可得證.【詳解】（1）[方法一]：常規(guī)求導(dǎo)的定義域?yàn)?，則令,得當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增，若,則,即所以的取值范圍為[方法二]：同構(gòu)處理由得：令，則即令，則故在區(qū)間上是增函數(shù)故，即所以的取值范圍為（2）[方法一]：構(gòu)造函數(shù)由題知,一個(gè)零點(diǎn)小于1,一個(gè)零點(diǎn)大于1，不妨設(shè)要證,即證因?yàn)?即證又因?yàn)?故只需證即證即證下面證明時(shí)，設(shè)，則設(shè)所以,而所以,所以所以在單調(diào)遞增即,所以令所以在單調(diào)遞減即,所以；綜上,,所以.[方法二]：對數(shù)平均不等式由題意得：令，則，所以在上單調(diào)遞增，故只有1個(gè)解又因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn)，故兩邊取對數(shù)得：，即又因?yàn)椋?，即下證因?yàn)椴环猎O(shè)，則只需證構(gòu)造，則故在上單調(diào)遞減故，即得證【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題是極值點(diǎn)偏移問題，關(guān)鍵點(diǎn)是通過分析法，構(gòu)造函數(shù)證明不等式，這個(gè)函數(shù)經(jīng)常出現(xiàn)，需要掌握.總結(jié)規(guī)律預(yù)測考向（一）規(guī)律與預(yù)測1.高考對導(dǎo)數(shù)的考查要求一般有三個(gè)層次：第一層次主要考查求導(dǎo)公式，求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)的幾何意義；第二層次是導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用，包括求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值等；第三層次是綜合考查，如研究函數(shù)零點(diǎn)、證明不等式、恒成立問題、求參數(shù)等，包括解決應(yīng)用問題，將導(dǎo)數(shù)內(nèi)容和傳統(tǒng)內(nèi)容中有關(guān)不等式、數(shù)列及函數(shù)單調(diào)性有機(jī)結(jié)合，設(shè)計(jì)綜合題.2.對于某些涉及函數(shù)零點(diǎn)的不等式證明問題，有時(shí)可以根據(jù)極值點(diǎn)的情況，采取特定處理方式，老師們稱為“極值點(diǎn)偏移問題”.所謂極值點(diǎn)偏移是指：對于函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，方程的解分別為，且，（1）若，則稱函數(shù)在區(qū)間上極值點(diǎn)偏移；（2）若，則函數(shù)在區(qū)間上極值點(diǎn)左偏，簡稱極值點(diǎn)左偏；（3）若，則函數(shù)在區(qū)間上極值點(diǎn)右偏，簡稱極值點(diǎn)右偏．（二）本專題考向展示考點(diǎn)突破典例分析考向一結(jié)論x1＋x2>2x0型不等式證明問題【核心知識(shí)】對稱化構(gòu)造法：對結(jié)論x1＋x2>2x0型，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝f(x)－f(2x0－x)．【典例分析】典例1.【多選題】（2021·江蘇·淮陰高三階段練習(xí)）已知關(guān)于的方程有兩個(gè)不等的正根，且，則下列說法正確的有（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)，研究其函數(shù)圖像得，可判斷A；再構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)極值點(diǎn)偏移問題的方法得判斷B；進(jìn)而得判斷C；根據(jù)等價(jià)得判斷D.【詳解】解：對于A選項(xiàng)，根據(jù)題意，方程有兩個(gè)不等的正根，且，故令，則，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以函數(shù)有極小值，因?yàn)橼吔?，趨近于，趨近于，趨近于，所以方程有兩個(gè)不等的正根等價(jià)于，且故A選項(xiàng)正確；對于B選項(xiàng)，令，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，，因?yàn)?，所以，因?yàn)闀r(shí)，函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，即，故B選項(xiàng)正確；對于C選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，所以，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于D選項(xiàng)，若，則，所以，所以，顯然滿足.故D選項(xiàng)正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根的問題，極值點(diǎn)偏移問題，考查運(yùn)算求解能力，邏輯推理能力，是難題.本題第二個(gè)選項(xiàng)解決的關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性證明.典例2.（2021·遼寧丹東·高三階段練習(xí)）已知，，(1)若恒成立，求的最大值(2)若，是的兩個(gè)零點(diǎn)，且求證：【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）將問題轉(zhuǎn)化為，再求最小值，然后解不等式即可；（2）通過構(gòu)造函數(shù)，再研究其單調(diào)性，通過單調(diào)性解不等式即可.(1)時(shí)，，設(shè)，則恒成立恒成立，易知符合要求，下面考慮的情形，由，得時(shí)，；時(shí)，，因此，在區(qū)間上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故的最小值為，由，得，解得，所以的最大值為.(2)由（1）知，，是的兩個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合的單調(diào)性可知，，若，則顯然成立，若，設(shè)（），則，，所以，在區(qū)間上為增函數(shù)，因此有，因此，，，又，，且在區(qū)間上為減函數(shù)，所以，，即.綜上，.典例3.（2021·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．（1）若曲線在處的切線與直線垂直，求函數(shù)在最大值；（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為，試證明：．【答案】（1）；（2）證明見解析．【分析】（1）根據(jù)曲線在處的切線與直線垂直，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得函數(shù)，然后再求極大值；（2）易得，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)可得在遞增，即在恒成立，則，然后利用在的單調(diào)性證明．【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，，在處的切線與直線垂直，，由（負(fù)值舍去），所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故有最大值．（2）當(dāng)時(shí)，．函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．且，故函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為滿足，令，在（0，1）恒成立，∴F(x)在（0，1）遞增，在（0，1）恒成立，∴，又，∴，∵，又在單調(diào)遞減，∴，即．典例4.（2022?汕頭一模）已知函數(shù)有兩個(gè)相異零點(diǎn)，．（1）求的取值范圍；（2）求證：．【答案】【解答】解：（1），當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；要使函數(shù)有兩個(gè)相異零點(diǎn)，必有（1），，當(dāng)時(shí)，，且，函數(shù)在有一個(gè)零點(diǎn)，，函數(shù)在有一個(gè)零點(diǎn)，的取值范圍為．（2）由（1）知，，，，要證，，故構(gòu)造函數(shù)，，則，所以在單調(diào)遞減，（1）．，，構(gòu)造函數(shù)，，下面證明，即證明，構(gòu)造函數(shù)，．在上恒成立，因此在遞增，從而（1），，在遞增，（1），，時(shí)，，單調(diào)遞增，，即．【規(guī)律方法】對稱法解決極值點(diǎn)偏移的基本原理是利用函數(shù)的單調(diào)性，把要證明的（是極值點(diǎn)）轉(zhuǎn)化為證明，再轉(zhuǎn)化為，又根據(jù)，可以轉(zhuǎn)化為證明，而

是固定的，是變量，這樣就把一個(gè)雙變量不等式轉(zhuǎn)化為了單變量不等式，從而以為未知量來構(gòu)造函數(shù)證明不等式即可.考向二結(jié)論型不等式證明問題【核心知識(shí)】對稱化構(gòu)造法：對結(jié)論型，構(gòu)造函數(shù)，通過研究F(x)的單調(diào)性獲得不等式.【典例分析】典例5.（2021·全國·高三階段練習(xí)（理））有同學(xué)在研究指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的圖像時(shí)，發(fā)現(xiàn)它們在第一象限有兩個(gè)交點(diǎn)和．通過進(jìn)一步研究，該同學(xué)提出了如下兩個(gè)猜想：請你證明或反駁該同學(xué)的猜想．(1)函數(shù)與函數(shù)的圖像在第一象限有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；(2)設(shè)，，且，若，則．其中為自然對數(shù)的底，【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【分析】（1）根據(jù)給定條件構(gòu)造函數(shù)，再判斷方程有唯一解即可得解.（2）由結(jié)合（1）中函數(shù)，再構(gòu)造函數(shù)，借助函數(shù)單調(diào)性即可判斷作答.（1）設(shè)(x>0)，求導(dǎo)得：，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在上遞增，在上遞減，因此，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)x=e時(shí)取“=”，于是得方程有唯一的零點(diǎn)，即方程有唯一的零點(diǎn)，所以，函數(shù)與函數(shù)的圖像在第一象限有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，猜想（1）正確.（2），由（1）知方程在內(nèi)有兩個(gè)根，分別在區(qū)間和內(nèi)，如圖，因，，且，由得，則，是方程的兩個(gè)根，不妨設(shè)，，設(shè)(x>1)，，當(dāng)時(shí)，，，則當(dāng)時(shí)，，在上遞增，由此得，當(dāng)時(shí)，，從而得，而，因此，，顯然，又，且在遞減，則，即，所以，猜想（2）正確.【點(diǎn)睛】解決極值點(diǎn)偏移問題的關(guān)鍵是構(gòu)造合理的新函數(shù)，結(jié)合原函數(shù)、新函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行說理.典例5.（2022·廣東深圳·高二期末）設(shè)函數(shù)，已知直線是曲線的一條切線.(1)求的值，并討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，其中，證明：.【答案】(1)；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增(2)證明見解析.【分析】（1）設(shè)切點(diǎn)為，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義和切線方程可構(gòu)造方程組得到；設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)可確定有唯一零點(diǎn)，由此可得；代入后，根據(jù)的正負(fù)可得單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)單調(diào)性和的正負(fù)可確定，將所證不等式轉(zhuǎn)化為對任意恒成立；令，利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)遞增，得到，由此可得結(jié)論.(1)設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)，，；又，，即；設(shè)，則，在上單調(diào)遞增，又，有唯一零點(diǎn)，，，解得：；，，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.(2)由（1）知：；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，；要證，只需證；在上單調(diào)遞減，只需證，又，則只需證對任意恒成立；設(shè)，；設(shè)，則，在上單調(diào)遞減，，又當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞增，，即在時(shí)恒成立，又，，原不等式得證.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：處理極值點(diǎn)偏移問題中的類似于（滿足）的問題的基本步驟如下：①求導(dǎo)確定的單調(diào)性，得到的范圍；②構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)后可得恒正或恒負(fù)；③得到與的大小關(guān)系后，將置換為；④根據(jù)與所處的范圍，結(jié)合的單調(diào)性，可得到與的大小關(guān)系，由此證得結(jié)論.典例6.（2021·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（1）若時(shí)，恒成立，求的取值范圍；（2）求證且；（3）當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求證【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）證明見解析．【分析】（1）因，所以，即，構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為最值可求；（2）由（1）知當(dāng)時(shí)，即，所以，令，得，從而可證；（3）要證，只需證，根據(jù)單調(diào)性，即證只需證，故構(gòu)造函數(shù)即可證明.【詳解】解：（1），，即設(shè)，當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞增，滿足條件；當(dāng)時(shí)，令，得，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，．，與已知矛盾．綜上，的取值范圍是（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，即對恒成立，故有．令，得，分別令，將個(gè)不等式相加得故原不等式成立．（3）當(dāng)時(shí)，，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，由方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，不妨設(shè)，則，要證，只需證，在區(qū)間上單調(diào)遞增，只需證明只需證明設(shè)，則，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，成立原不等式成立，即成立．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）問關(guān)鍵點(diǎn)是根據(jù)定義域?qū)Ψ趾瓦M(jìn)行討論；（2）問關(guān)鍵點(diǎn)是利用（1）結(jié)論得，令從而可證；（3）問關(guān)鍵點(diǎn)是利用對稱構(gòu)造，構(gòu)造函數(shù)，屬于典型的極值點(diǎn)偏移問題.考向三雙變量不等式不等式證明問題【核心知識(shí)】比值代換法：通過代數(shù)變形將所證的雙變量不等式通過代換t＝eq\f(x1,x2)化為單變量的函數(shù)不等式，利用函數(shù)單調(diào)性證明．【典例分析】典例7.（2021·河南·濮陽一高高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)f(x)＝lnx﹣ax，a為常數(shù)．（1）若函數(shù)f(x)在x＝1處的切線與x軸平行，求a的值；（2）當(dāng)a＝1時(shí)，試比較f（m）與f（）的大?。唬?）若函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1、x2，試證明x1x2＞e2．【答案】（1）a＝1；（2）答案不唯一，具體見解析；（3）證明見解析．【分析】（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由函數(shù)在x＝1時(shí)的導(dǎo)數(shù)值等于0求得a的值；（2）把a(bǔ)＝1代入函數(shù)解析式，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)h（m）的單調(diào)性，在定義域內(nèi)分m＜1，m＝1，m＞1得到h（m）的符號(hào)，從而得到f（m）與f（）的大?。唬?）由函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1、x2，得到lnx1﹣ax1＝0，lnx2﹣ax2＝0，進(jìn)一步得到，lnx1+lnx2＝a（x1+x2），把證明x1x2＞e2轉(zhuǎn)化為證lnx1+lnx2＞2，結(jié)合lnx1+lnx2＝a（x1+x2）轉(zhuǎn)化為證明（x1＞x2），換元后利用導(dǎo)數(shù)得到證明．【詳解】（1）解：由f(x)＝lnx﹣ax，得：，∵函數(shù)f(x)在x＝1處的切線與x軸平行，∴，即a＝1；（2）當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝lnx﹣x，∴，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x＞1時(shí)，，f(x)單調(diào)遞減．令，則．又∵h(yuǎn)（1）＝0，①當(dāng)0＜m＜1時(shí)，h（m）＞0，即；②當(dāng)m＝1時(shí)，h（m）＝0，即；③當(dāng)m＞1時(shí)，h（m）＜0即；（3）證明：∵函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1、x2，∴l(xiāng)nx1﹣ax1＝0，lnx2﹣ax2＝0，∴l(xiāng)nx1+lnx2＝a（x1+x2），lnx1﹣lnx2＝a（x1﹣x2），∴，欲證明，即證lnx1+lnx2＞2，∵lnx1+lnx2＝a（x1+x2），∴即證，∴原命題等價(jià)于證明，即證：（x1＞x2），令，則t＞1，設(shè)（t＞1），，∴g（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，又∵g(1)＝0，∴g（t）＞g(1)＝0，∴，即．典例8.（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)．（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若在上有兩個(gè)極值點(diǎn)、．①求實(shí)數(shù)的取值范圍；②求證：．【答案】（1）遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為；（2）①，②證明見解析．【分析】（1）求得，分析導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化，由此可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減去加；（2）①分析可知在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，對實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，結(jié)合已知條件可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍；②先證明出，其中，由已知條件可得出，再利用不等式可證得結(jié)論成立.【詳解】（1），令，，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）（i），要使在上有兩個(gè)極值點(diǎn)、，則在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，①時(shí)，由（1）知，，令，故，所以在上為增函數(shù)，所以，故，故在上無零點(diǎn)，舍；②當(dāng)時(shí)，，，，則在上單調(diào)遞減，故最多只有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意，舍去；③當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即要使，解得.綜上所述，的取值范圍為；（ii）由（i）知，，，先證不等式，其中，即證，即，令，即證，構(gòu)造函數(shù)，則，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故，由已知可得，故，所以，則，所以，，因此，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).典例9.（2021·江蘇·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)，.(1)若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，求實(shí)數(shù)a的值；(2)若函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，.（i）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（ii）當(dāng)時(shí)，證明：.【答案】(1)2(2)（i）；（ii）證明見解析【分析】（1）利用切線方程可得，，即可求；（2）（i）要使在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，，需滿足在內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，設(shè)，得，通過分類討論參數(shù)，可求a的取值范圍；（ii）證法不唯一，可設(shè)，由轉(zhuǎn)化得，要證即證，令，通過構(gòu)造，，結(jié)合即可求證；證法二方法類同于一，可作參考.(1)因?yàn)椋瑒t，又，所以在點(diǎn)處的切線方程為，即，又該切線為，則且，所以；(2)（i）函數(shù)定義域?yàn)?，因?yàn)楹瘮?shù)在內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，，即等價(jià)于函數(shù)在內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，.設(shè)，由，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，至多只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上，單調(diào)遞增；在上，單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則必有，即，解得，又，易證，證明如下：令，，當(dāng)時(shí)，，單減，當(dāng)時(shí)，單增，故，故，得證.，所以在和上各有一個(gè)零點(diǎn)，故有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，a的范圍為；（ii）法1：由（i）可知，是的兩個(gè)零點(diǎn)，不防設(shè)，由且，得.因?yàn)榱?，則，記，，由，令，.又，則，即，所以在上單調(diào)遞增，故，即成立.所以不等式成立.法2：欲證，由，，則只需證：.不妨設(shè)，則且，則，所以令，則，記，，由，即在上單調(diào)遞增，故，即成立.故.【點(diǎn)睛】本題考查由切線方程求參數(shù)，由函數(shù)極值點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍，函數(shù)不等式恒成立的證明，難度較大.對于含參極值點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷問題，需對參數(shù)進(jìn)行分類討論，將問題細(xì)化，才能進(jìn)一步確定參數(shù)范圍.不等式恒成立證明往往需要將所求問題等價(jià)轉(zhuǎn)化，構(gòu)造新函數(shù)，借鑒放縮法進(jìn)行證明，本題中令，代換成對數(shù)函數(shù)證明的方法，往往用于處理零點(diǎn)（極值點(diǎn)）不等式問題，需要多多積累，方能游刃有余.典例10.（2021·安徽·高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)，．(1)討論極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)．(2)若有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，證明：．【答案】(1)答案見解析.(2)證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)得，再令，研究單調(diào)性得，進(jìn)而分和兩種情況討論求解即可；（2）令，，進(jìn)而研究其單調(diào)性得在上單調(diào)遞減，由于，，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為證明，再結(jié)合和函數(shù)單調(diào)性進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為證，再結(jié)合得，再證明得，再解不等式即可證明.(1)解：因?yàn)?，所以．令，則．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．所以．當(dāng)時(shí)，，即，則在上單調(diào)遞減，無極值點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，，，所以，，，即，故?個(gè)極值點(diǎn)；綜上，當(dāng)時(shí)，無極值點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，有2個(gè)極值點(diǎn)；(2)證明：令，，則．令，則．因?yàn)椋?，所以．因?yàn)?，所以，所以，故在上單調(diào)遞增，則，即，所以在上單調(diào)遞減，則．因?yàn)?，所以．要證，只需證．因?yàn)?，，，在上是增函?shù)，所以只需要證，即．由，兩式相減得，即．因?yàn)?，所以．下面證明，即證．令，則即證．令，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，故．又，所以，故．得證．【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)，極值點(diǎn)偏移問題，考查運(yùn)算求解能力，邏輯推理能力等.本題第二問解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)，，進(jìn)而結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性將問題轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)極值關(guān)系得，進(jìn)而證明，進(jìn)一步將問題轉(zhuǎn)化為證明.典例11.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)在上有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，求證：.【答案】(1)當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.(2)證明見解析【分析】（1）先求定義域，再求導(dǎo)，對進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，求出函數(shù)的單調(diào)性；（2）對要證明的不等式進(jìn)行變形，然后構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行證明.(1)，.①當(dāng)時(shí)，恒成立，單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，由得，，單調(diào)遞增，由得，，單調(diào)遞減.綜上：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.(2)∵在上有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，，不妨設(shè)，∴在上有兩個(gè)不相等的實(shí)根，令，，∴，由得，，單調(diào)遞減，由得，，單調(diào)遞增，，，，，∴要證，即證