北京市豐臺(tái)區(qū)2023-2024學(xué)年上學(xué)期九年級(jí)期中數(shù)學(xué)試卷

2023-2024學(xué)年北京市豐臺(tái)區(qū)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本題共16分，每小題2分）第1-8題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè).1．（2分）下列四個(gè)品牌圖標(biāo)中，是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（2分）用配方法解一元二次方程x2﹣8x+3＝0，此方程可化為（）A．（x﹣4）2＝13 B．（x+4）2＝13 C．（x﹣4）2＝19 D．（x+4）2＝193．（2分）如圖中的五角星圖案，繞著它的中心O旋轉(zhuǎn)n°后，能與自身重合，則n的值至少是（）A．60 B．72 C．120 D．1444．（2分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將拋物線y＝2x2先向左平移2個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位，所得拋物線為（）A．y＝2（x﹣2）2+3 B．y＝2（x﹣2）2﹣3 C．y＝2（x+2）2﹣3 D．y＝2（x+2）2+35．（2分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示示，關(guān)于a、c的符號(hào)判斷正確的是（）A．a(chǎn)＞0，c＞0 B．a(chǎn)＞0，c＜0 C．a(chǎn)＜0，c＞0 D．a(chǎn)＜0，c＜06．（2分）雷達(dá)通過無線電的方法發(fā)現(xiàn)目標(biāo)并測(cè)定它們的空間位置，因此雷達(dá)被稱為“無線電定位”．現(xiàn)有一款監(jiān)測(cè)半徑為5km的雷達(dá)，監(jiān)測(cè)點(diǎn)的分布情況如圖，如果將雷達(dá)裝置設(shè)在P點(diǎn)，每一個(gè)小格的邊長(zhǎng)為1km，那么能被雷達(dá)監(jiān)測(cè)到的最遠(yuǎn)點(diǎn)為（）A．M點(diǎn) B．N點(diǎn) C．P點(diǎn) D．Q點(diǎn)7．（2分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象是拋物線G，自變量x與函數(shù)y的部分對(duì)應(yīng)值如下表：x…﹣3﹣2﹣1012…y…40﹣2﹣204…下列說法錯(cuò)誤的是（）A．拋物線G的開口向上 B．拋物線G的對(duì)稱軸是 C．拋物線G與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣2） D．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的最小值為﹣28．（2分）兩塊完全相同的含30°角的直角三角板ABC和A'B'C′重合在一起，將三角板A'B'C'繞直角頂點(diǎn)C'按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α（0°＜α≤90°），如圖所示．以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．當(dāng)α＝30°時(shí)，A'C與AB的交點(diǎn)恰好為AB中點(diǎn) B．當(dāng)α＝60°時(shí)，A'B'恰好經(jīng)過點(diǎn)B C．在旋轉(zhuǎn)過程中，存在某一時(shí)刻，使得AA'＝BB' D．在旋轉(zhuǎn)過程中，始終存在AA'⊥BB'二、填空題（本題共16分，每小題2分）9．（2分）方程x2＝1的解是．10．（2分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)（1，﹣3）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為．11．（2分）請(qǐng)寫出一個(gè)圖象開口向上，且與y軸交于點(diǎn)（0，2）的二次函數(shù)的解析式．12．（2分）如圖，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)35°得到△DEC，邊ED，AC相交于點(diǎn)F，若∠A＝30°，則∠EFC＝．13．（2分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝2（x﹣1）2+k經(jīng)過點(diǎn)A（2，m），B（3，n）．則mn（填“＞”，“＝”或“＜”）．14．（2分）二次函數(shù)y＝x2﹣6x+c的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，則c的值為．15．（2分）《九章算術(shù)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中記載了一個(gè)“圓材埋壁”的問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大?。凿忎徶?、深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺，問徑幾何？”用幾何語言表達(dá)為：如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，EB＝1寸，CD＝10寸，則直徑AB長(zhǎng)為寸．16．（2分）我國(guó)三國(guó)時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽在其所著的《勾股圓方圖注》中記載了求一元二次方程正數(shù)解的幾何解法．例如求方程x2+2x﹣35＝0的正數(shù)解的步驟為：（1）將方程變形為x（x+2）＝35；（2）構(gòu)造如圖1所示的大正方形，其面積是（x+x+2）2，其中四個(gè)全等的矩形面積分別為x（x+2），中間的小正方形面積為22；（3）大正方形的面積也可表示為四個(gè)矩形和一個(gè)小正方形的面積之和，即4×35+22＝144；（4）由此可得方程：（x+x+2）2＝144，則方程的正數(shù)解為x＝5．根據(jù)趙爽記載的方法，在圖2中的三個(gè)構(gòu)圖（矩形的頂點(diǎn)均落在邊長(zhǎng)為1的小正方形網(wǎng)格格點(diǎn)上）①②③中，能夠得到方程x2+3x﹣10＝0的正數(shù)解的構(gòu)圖是（只填序號(hào)）．三、解答題（共68分，第17-19題，每題5分，第20題6分，第21-22題，每題5分，第23題6分，第24題5分，第25-26題，每題6分，第27-28題，每題7分）17．（5分）解方程：x2+2x﹣3＝0（公式法）18．（5分）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O．求證：A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)在以點(diǎn)O為圓心的同一個(gè)圓上．19．（5分）已知：關(guān)于x的方程x2+4x+2m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（1）求m的取值范圍；（2）若m為正整數(shù)，求此時(shí)方程的根．20．（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y＝ax2+bx+3（a≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，4），B（1，0）．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）畫出二次函數(shù)的圖象；（3）當(dāng)y＞0時(shí)，直接寫出x的取值范圍．21．（5分）如圖，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，且點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，2）．（1）畫出△OAB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的△OA1B1；（2）求點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)B1的路徑長(zhǎng)（結(jié)果保留π）．22．（5分）某學(xué)校要設(shè)計(jì)校園“數(shù)學(xué)嘉年華”活動(dòng)的項(xiàng)目介紹展板．如圖，現(xiàn)有一塊長(zhǎng)25dm，寬8dm的矩形展板，展示區(qū)域?yàn)槿鹊乃膫€(gè)矩形，其中相鄰的兩個(gè)矩形展示區(qū)域之間及四周都留有寬度相同的空白區(qū)域．如果四個(gè)矩形展示區(qū)域的面積之和為120dm2，求空白區(qū)域的寬度．23．（6分）如圖，在等邊△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AE∥BC，且AE＝DC，連接CE．（1）求證：四邊形ADCE是矩形；（2）連接BE交AD于點(diǎn)F，連接CF．若AB＝4，求CF的長(zhǎng)．24．（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象由函數(shù)y＝x的圖象平移得到，且經(jīng)過點(diǎn)（1，2）．（1）求這個(gè)一次函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)x＞1時(shí)，對(duì)于x的每一個(gè)值，函數(shù)y＝mx（m≠0）的值大于一次函數(shù)y＝kx+b的值，直接寫出m的取值范圍．25．（6分）如圖，一位足球運(yùn)動(dòng)員在一次訓(xùn)練中，從球門正前方8m的A處射門，已知球門高OB為2.44m，球射向球門的路線可以看作是拋物線的一部分．當(dāng)球飛行的水平距離為6m時(shí)，球達(dá)到最高點(diǎn)，此時(shí)球的豎直高度為3m．現(xiàn)以O(shè)為原點(diǎn)，如圖建立平面直角坐標(biāo)系．（1）求拋物線表示的二次函數(shù)解析式；（2）通過計(jì)算判斷球能否射進(jìn)球門（忽略其他因素）；（3）若運(yùn)動(dòng)員射門路線的形狀、最大高度均保持不變，則他應(yīng)該帶球向正后方移動(dòng)米射門，才能讓足球經(jīng)過點(diǎn)O正上方2.25m處．26．（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M（2，m），N（4，n）在拋物線y＝ax2+bx（a＞0）上，設(shè)該拋物線的對(duì)稱軸為x＝t．（1）若m＝n，求t的值；（2）若mn＜0，求t的取值范圍．27．（7分）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)P是線段AC延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，連接DP，將線段DP繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段DQ，連接PQ，BP，作直線BQ交AC于點(diǎn)E．（1）依題意補(bǔ)全圖形；（2）求證：∠PBQ＝∠PQB；（3）用等式表示線段EP，EQ，EB之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．28．（7分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，給出如下定義：將圖形M繞直線x＝3上某一點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到圖形M'，再將圖形M'關(guān)于直線x＝3對(duì)稱，得到圖形N．此時(shí)稱圖形N為圖形M關(guān)于點(diǎn)P的“二次變換圖形”．已知點(diǎn)A（0，1）．（1）若點(diǎn)P（3，0），直接寫出點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的“二次變換圖形”的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的“二次變換圖形”與點(diǎn)A重合，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)P（3，﹣3），⊙O半徑為1．已知長(zhǎng)度為1的線段AB，其關(guān)于點(diǎn)P的“二次變換圖形”上的任意一點(diǎn)都在⊙O上或⊙O內(nèi)，直接寫出點(diǎn)B的縱坐標(biāo)yB的取值范圍．

2023-2024學(xué)年北京市豐臺(tái)區(qū)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷（參考答案）一、選擇題（本題共16分，每小題2分）第1-8題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè).1．（2分）下列四個(gè)品牌圖標(biāo)中，是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：選項(xiàng)B中的圖形是中心對(duì)稱圖形．故選：B．2．（2分）用配方法解一元二次方程x2﹣8x+3＝0，此方程可化為（）A．（x﹣4）2＝13 B．（x+4）2＝13 C．（x﹣4）2＝19 D．（x+4）2＝19【解答】解：∵x2﹣8x+3＝0，∴x2﹣8x＝﹣3，則x2﹣8x+16＝﹣3+16，即（x﹣4）2＝13，故選：A．3．（2分）如圖中的五角星圖案，繞著它的中心O旋轉(zhuǎn)n°后，能與自身重合，則n的值至少是（）A．60 B．72 C．120 D．144【解答】解：該圖形被平分成五部分，旋轉(zhuǎn)72度的整數(shù)倍，就可以與自身重合，∴旋轉(zhuǎn)的度數(shù)至少為72°，故選：C．4．（2分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將拋物線y＝2x2先向左平移2個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位，所得拋物線為（）A．y＝2（x﹣2）2+3 B．y＝2（x﹣2）2﹣3 C．y＝2（x+2）2﹣3 D．y＝2（x+2）2+3【解答】解：由題意，根據(jù)二次函數(shù)圖象的幾何變換規(guī)律，∵拋物線y＝2x2先向左平移2個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位，∴所得拋物線為y＝2（x+2）2﹣3．故選：C．5．（2分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示示，關(guān)于a、c的符號(hào)判斷正確的是（）A．a(chǎn)＞0，c＞0 B．a(chǎn)＞0，c＜0 C．a(chǎn)＜0，c＞0 D．a(chǎn)＜0，c＜0【解答】解：由圖象可知：拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）開口向下，故a＜0，又∵y＝ax2+bx+c（a≠0）交y軸于正半軸，∴c＞0，故答案選：C．6．（2分）雷達(dá)通過無線電的方法發(fā)現(xiàn)目標(biāo)并測(cè)定它們的空間位置，因此雷達(dá)被稱為“無線電定位”．現(xiàn)有一款監(jiān)測(cè)半徑為5km的雷達(dá)，監(jiān)測(cè)點(diǎn)的分布情況如圖，如果將雷達(dá)裝置設(shè)在P點(diǎn)，每一個(gè)小格的邊長(zhǎng)為1km，那么能被雷達(dá)監(jiān)測(cè)到的最遠(yuǎn)點(diǎn)為（）A．M點(diǎn) B．N點(diǎn) C．P點(diǎn) D．Q點(diǎn)【解答】解：如圖，觀察圖象可知，能被雷達(dá)監(jiān)測(cè)到的最遠(yuǎn)點(diǎn)為點(diǎn)N．故選：B．7．（2分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象是拋物線G，自變量x與函數(shù)y的部分對(duì)應(yīng)值如下表：x…﹣3﹣2﹣1012…y…40﹣2﹣204…下列說法錯(cuò)誤的是（）A．拋物線G的開口向上 B．拋物線G的對(duì)稱軸是 C．拋物線G與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣2） D．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的最小值為﹣2【解答】解：由表格可得，該函數(shù)的對(duì)稱軸是直線x＝＝﹣，∴選項(xiàng)B正確；又由表格可以發(fā)現(xiàn)在對(duì)稱軸左邊y隨x的增大而減小，在對(duì)稱軸的右邊y隨x的增大而增大，∴拋物線開口向上，故選項(xiàng)A正確；又當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣2，∴拋物線與y軸交于點(diǎn)（0，﹣2），故選項(xiàng)C正確；用排除法，可得選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：D．8．（2分）兩塊完全相同的含30°角的直角三角板ABC和A'B'C′重合在一起，將三角板A'B'C'繞直角頂點(diǎn)C'按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α（0°＜α≤90°），如圖所示．以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．當(dāng)α＝30°時(shí)，A'C與AB的交點(diǎn)恰好為AB中點(diǎn) B．當(dāng)α＝60°時(shí)，A'B'恰好經(jīng)過點(diǎn)B C．在旋轉(zhuǎn)過程中，存在某一時(shí)刻，使得AA'＝BB' D．在旋轉(zhuǎn)過程中，始終存在AA'⊥BB'【解答】解：∵直角三角板ABC和A′B′C′重合在一起，∴AC＝A′C，BC＝B′C，A：當(dāng)α＝30°時(shí)，∠A′CB＝60°，∴A′C與AB的交點(diǎn)與點(diǎn)B、C構(gòu)成等邊三角形，∴A′C與AB的交點(diǎn)為AB的中點(diǎn)，故A正確；B：當(dāng)α＝60°時(shí)，∠B′CB＝60°，∴A′B′恰好經(jīng)過B，故B正確；C在旋轉(zhuǎn)過程中，∠ACA′＝∠BCB′＝α，∴△AA′C∽△BB′C，∴＝，∴AA′≠BB′，故C錯(cuò)誤；D：∵∠CAA′＝∠CBB′＝（180°﹣α），∴AA′與BB′的夾角為360°﹣（180°﹣α）×2﹣（90°+α）＝90°，∴在旋轉(zhuǎn)過程中，始終存在AA′⊥BB′，故D正確；故選：C．二、填空題（本題共16分，每小題2分）9．（2分）方程x2＝1的解是±1．【解答】解：∵x2＝1∴x＝±1．10．（2分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)（1，﹣3）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，3）．【解答】解：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)（1，﹣3）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，3），故答案為：（﹣1，3）．11．（2分）請(qǐng)寫出一個(gè)圖象開口向上，且與y軸交于點(diǎn)（0，2）的二次函數(shù)的解析式y(tǒng)＝3x2+2（答案不唯一）．．【解答】解：∵開口向上，∴a＞0，且與y軸的交點(diǎn)為（0，2）．故答案為：y＝3x2+2（答案不唯一）．12．（2分）如圖，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)35°得到△DEC，邊ED，AC相交于點(diǎn)F，若∠A＝30°，則∠EFC＝65°．【解答】解：由題意得：△ABC≌△DEF，∠ACD＝∠BCE＝35°，∴∠D＝∠A＝30°，∴∠EFC＝∠AFD＝∠D+∠ACD＝65°，故答案為：65°．13．（2分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝2（x﹣1）2+k經(jīng)過點(diǎn)A（2，m），B（3，n）．則m＜n（填“＞”，“＝”或“＜”）．【解答】解：由題意，∵拋物線y＝2（x﹣1）2+k的對(duì)稱軸為直線x＝1，開口向上，∴A（2，m）和點(diǎn)B（3，n）都在對(duì)稱軸的右側(cè)，當(dāng)x≥1時(shí)，y隨x的增大而增大．∵2＜3，∴m＜n．故答案為：＜．14．（2分）二次函數(shù)y＝x2﹣6x+c的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，則c的值為9．【解答】解：∵二次函數(shù)y＝x2﹣6x+c的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4c＝0，解得c＝9．故答案為：9．15．（2分）《九章算術(shù)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中記載了一個(gè)“圓材埋壁”的問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大?。凿忎徶⑸钜淮?，鋸道長(zhǎng)一尺，問徑幾何？”用幾何語言表達(dá)為：如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，EB＝1寸，CD＝10寸，則直徑AB長(zhǎng)為26寸．【解答】解：∵弦CD⊥AB，AB為⊙O的直徑，∴E為CD的中點(diǎn)，又∵CD＝10寸，∴CE＝DE＝CD＝5寸，設(shè)OC＝OA＝x寸，則AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2，即（x﹣1）2+52＝x2，解得x＝13，∴AB＝26寸，故答案為：26．16．（2分）我國(guó)三國(guó)時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽在其所著的《勾股圓方圖注》中記載了求一元二次方程正數(shù)解的幾何解法．例如求方程x2+2x﹣35＝0的正數(shù)解的步驟為：（1）將方程變形為x（x+2）＝35；（2）構(gòu)造如圖1所示的大正方形，其面積是（x+x+2）2，其中四個(gè)全等的矩形面積分別為x（x+2），中間的小正方形面積為22；（3）大正方形的面積也可表示為四個(gè)矩形和一個(gè)小正方形的面積之和，即4×35+22＝144；（4）由此可得方程：（x+x+2）2＝144，則方程的正數(shù)解為x＝5．根據(jù)趙爽記載的方法，在圖2中的三個(gè)構(gòu)圖（矩形的頂點(diǎn)均落在邊長(zhǎng)為1的小正方形網(wǎng)格格點(diǎn)上）①②③中，能夠得到方程x2+3x﹣10＝0的正數(shù)解的構(gòu)圖是②（只填序號(hào)）．【解答】解：方程x2+3x﹣10＝0可變形為x（x+3）＝10，構(gòu)造的大正方形，其面積是（x+x+3）2，其中四個(gè)全等的矩形面積分別為x（x+3），中間的小正方形面積為32；大正方形的面積也可表示為四個(gè)矩形和一個(gè)小正方形的面積之和，即4×10+32＝49；由此可得方程：（x+x+3）2＝49，則方程的正數(shù)解為x＝2，∴能夠得到方程x2+3x﹣10＝0的正數(shù)解的構(gòu)圖是②，故答案為：②．三、解答題（共68分，第17-19題，每題5分，第20題6分，第21-22題，每題5分，第23題6分，第24題5分，第25-26題，每題6分，第27-28題，每題7分）17．（5分）解方程：x2+2x﹣3＝0（公式法）【解答】解：a＝1，b＝2，c＝﹣3，△＝22﹣4×（﹣3）＝16＞0，x＝＝，所以x1＝1，x2＝﹣3．18．（5分）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O．求證：A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)在以點(diǎn)O為圓心的同一個(gè)圓上．【解答】證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∴OA＝OB＝OC＝OD，∴A、B、C、D四點(diǎn)在以O(shè)圓心的同一個(gè)圓上．19．（5分）已知：關(guān)于x的方程x2+4x+2m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（1）求m的取值范圍；（2）若m為正整數(shù)，求此時(shí)方程的根．【解答】解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程x2+4x+2m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ＝b2﹣4ac＝42﹣4×1×2m＞0，解得：m＜2，∴m的取值范圍為m＜2；（2）∵m為正整數(shù)，∴m＝1，∴原方程為x2+4x+2＝0，即（x+2）2＝2，解得：x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣，∴當(dāng)m為正整數(shù)時(shí)，此時(shí)方程的根為﹣2+和﹣2﹣．20．（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y＝ax2+bx+3（a≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，4），B（1，0）．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）畫出二次函數(shù)的圖象；（3）當(dāng)y＞0時(shí)，直接寫出x的取值范圍．【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+3（a≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，4），B（1，0），∴，解得，∴二次函數(shù)的解析式為：y＝﹣x2﹣2x+3；（2）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴此二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為（﹣1，4），列表：x..．﹣3﹣2﹣101..．y..．03430..．描點(diǎn)，連線得函數(shù)圖象如下：（3）由圖象可知，當(dāng)y＞0時(shí)，x的取值范圍為：﹣3＜x＜1．21．（5分）如圖，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，且點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，2）．（1）畫出△OAB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的△OA1B1；（2）求點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)B1的路徑長(zhǎng)（結(jié)果保留π）．【解答】解：（1）圖形如圖所示：（2）∵B（4，2），∴OB＝＝2，點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)B1的路徑長(zhǎng)＝＝π．22．（5分）某學(xué)校要設(shè)計(jì)校園“數(shù)學(xué)嘉年華”活動(dòng)的項(xiàng)目介紹展板．如圖，現(xiàn)有一塊長(zhǎng)25dm，寬8dm的矩形展板，展示區(qū)域?yàn)槿鹊乃膫€(gè)矩形，其中相鄰的兩個(gè)矩形展示區(qū)域之間及四周都留有寬度相同的空白區(qū)域．如果四個(gè)矩形展示區(qū)域的面積之和為120dm2，求空白區(qū)域的寬度．【解答】解：設(shè)空白區(qū)域的寬度為xdm，根據(jù)題意可得：25×8﹣5x×8﹣2x×（25﹣5x）＝120，解得x1＝8（舍去）或x2＝1，即空白區(qū)域的寬度應(yīng)是1dm．23．（6分）如圖，在等邊△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AE∥BC，且AE＝DC，連接CE．（1）求證：四邊形ADCE是矩形；（2）連接BE交AD于點(diǎn)F，連接CF．若AB＝4，求CF的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：∵AE∥BC，且AE＝DC，∴四邊形ADCE是平行四邊形，∵等邊△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴平行四邊形ADCE是矩形；（2）解：如圖，∵△ABC是等邊三角形，∴BC＝AC＝AB＝4，∵D是BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，DB＝DC＝2，∴∠ADB＝90°，在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD＝＝＝2，∵AE＝DC，∴AE＝DB，由（1）可知，四邊形ADCE是矩形，∴∠EAF＝90°，在△BDF和△EAF中，，∴△BDF≌△EAF（AAS），∴DF＝AF＝AD＝，∴CF＝＝＝．24．（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象由函數(shù)y＝x的圖象平移得到，且經(jīng)過點(diǎn)（1，2）．（1）求這個(gè)一次函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)x＞1時(shí)，對(duì)于x的每一個(gè)值，函數(shù)y＝mx（m≠0）的值大于一次函數(shù)y＝kx+b的值，直接寫出m的取值范圍．【解答】解：（1）∵一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象由直線y＝x平移得到，∴k＝1，將點(diǎn)（1，2）代入y＝x+b，得1+b＝2，解得b＝1，∴一次函數(shù)的解析式為y＝x+1；（2）把點(diǎn)（1，2）代入y＝mx，求得m＝2，∵當(dāng)x＞1時(shí)，對(duì)于x的每一個(gè)值，函數(shù)y＝mx（m≠0）的值大于一次函數(shù)y＝x+1的值，∴m≥2．25．（6分）如圖，一位足球運(yùn)動(dòng)員在一次訓(xùn)練中，從球門正前方8m的A處射門，已知球門高OB為2.44m，球射向球門的路線可以看作是拋物線的一部分．當(dāng)球飛行的水平距離為6m時(shí)，球達(dá)到最高點(diǎn)，此時(shí)球的豎直高度為3m．現(xiàn)以O(shè)為原點(diǎn)，如圖建立平面直角坐標(biāo)系．（1）求拋物線表示的二次函數(shù)解析式；（2）通過計(jì)算判斷球能否射進(jìn)球門（忽略其他因素）；（3）若運(yùn)動(dòng)員射門路線的形狀、最大高度均保持不變，則他應(yīng)該帶球向正后方移動(dòng)1米射門，才能讓足球經(jīng)過點(diǎn)O正上方2.25m處．【解答】解：（1）∵8﹣6＝2，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），設(shè)拋物線為y＝a（x﹣2）2+3，把點(diǎn)A（8，0）代入得：36a+3＝0，解得a＝﹣，∴拋物線的函數(shù)解析式為：y＝﹣（x﹣2）2+3；（2）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣×4+3＝＞2.44，∴球不能射進(jìn)球門．（3）設(shè)小明帶球向正后方移動(dòng)m米，則移動(dòng)后的拋物線為：y＝﹣（x﹣2﹣m）2+3，把點(diǎn)（0，2.25）代入得：2.25＝﹣（0﹣2﹣m）2+3，解得m＝﹣5（舍去）或m＝1，∴當(dāng)時(shí)他應(yīng)該帶球向正后方移動(dòng)1米射門，才能讓足球經(jīng)過點(diǎn)O正上方2.25m處．故答案為：1．26．（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M（2，m），N（4，n）在拋物線y＝ax2+bx（a＞0）上，設(shè)該拋物線的對(duì)稱軸為x＝t．（1）若m＝n，求t的值；（2）若mn＜0，求t的取值范圍．【解答】解：（1）由題意，若m＝n，∴對(duì)稱軸是直線x＝＝3＝t．即t＝3．（2）由題意，若mn＜0，又拋物線開口向上，∴拋物線與x軸必有一交點(diǎn)在2和4之間．又令y＝ax2+bx＝0，∴x＝0或x＝﹣．∴2＜﹣＜4．又∵t＝﹣，∴﹣＝2t．∴2＜2t＜4．∴1＜t＜2．27．（7分）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)P是線段AC延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，連接DP，將線段DP繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段DQ，連接PQ，BP，作直線BQ交AC于點(diǎn)E．（1）依題意補(bǔ)全圖形；（2）求證：∠PBQ＝∠PQB；（3）用等式表示線段EP，EQ，EB之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【解答】（1）解：如圖所示，即為補(bǔ)全的圖形；（2）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠ACB＝∠ACD＝45°，∴∠PCB＝∠PCD＝45°，∵CP＝CP，∴△PCB≌△PCD（SAS），∴PB＝PD，∴線段DP繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段DQ，∴DP＝DQ，∠PDQ＝60°，∴△PDQ是等邊三角形，∴PQ＝PD，∴PQ＝PB，∴∠PBQ＝∠PQB；（3）解：EQ﹣EP＝EB，理由如下：如圖，在EQ上截取QG＝BE，連接PG，∵∠PBQ＝∠PQB，PB＝P