線性代數(shù)課后習(xí)題答案全習(xí)題詳解

--本頁僅作為文檔封面，使用時(shí)請(qǐng)直接刪除即可--

--內(nèi)頁可以根據(jù)需求調(diào)整合適字體及大小本頁僅作為文檔封面，使用時(shí)請(qǐng)直接刪除即可--

--內(nèi)頁可以根據(jù)需求調(diào)整合適字體及大小--線性代數(shù)課后習(xí)題答案全習(xí)題詳解(總92頁)PAGE第一章行列式1.利用對(duì)角線法則計(jì)算下列三階行列式：（1）；（2）;（3）；（4）.解（1）==（2）（3）（4）2.按自然數(shù)從小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序，求下列各排列的逆序數(shù)：（1）1234；（2）4132；（3）3421；（4）2413；（5）13…24…；（6）13……2.解（1）逆序數(shù)為0（2）逆序數(shù)為4：41，43，42，32（3）逆序數(shù)為5：32，31，42，41,21（4）逆序數(shù)為3：21，41，43（5）逆序數(shù)為：321個(gè)52，542個(gè)72，74，763個(gè)…2，4，6，…，個(gè)（6）逆序數(shù)為321個(gè)52，542個(gè)…2，4，6，…，個(gè)421個(gè)62，642個(gè)…2，4，6，…，個(gè)3.寫出四階行列式中含有因子的項(xiàng).解由定義知，四階行列式的一般項(xiàng)為，其中為的逆序數(shù)．由于已固定，只能形如□□，即1324或1342.對(duì)應(yīng)的分別為或和為所求.4.計(jì)算下列各行列式：（1）；（2）；（3）；（4）解(1)===0(2)=0(3)===(4)===5.證明:(1)=;(2)=;(3);(4);(5).證明(1)(2)(3)(4)=====(5)用數(shù)學(xué)歸納法證明假設(shè)對(duì)于階行列式命題成立，即所以，對(duì)于階行列式命題成立.6.設(shè)階行列式,把上下翻轉(zhuǎn)、或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)、或依副對(duì)角線翻轉(zhuǎn)，依次得，，，證明.證明同理可證7.計(jì)算下列各行列式（）：(1),其中對(duì)角線上元素都是，未寫出的元素都是0；(2);(3);提示：利用范德蒙德行列式的結(jié)果．(4);(5);(6),.解(1)()(2)將第一行乘分別加到其余各行，得再將各列都加到第一列上，得(3)從第行開始，第行經(jīng)過次相鄰對(duì)換，換到第1行，第行經(jīng)次對(duì)換換到第2行…，經(jīng)次行交換，得此行列式為范德蒙德行列式(4)由此得遞推公式：即而得(5)=(6)8.用克萊姆法則解下列方程組：解(1);(2)()．9.有非零解解，齊次線性方程組有非零解，則即得不難驗(yàn)證，當(dāng)該齊次線性方程組確有非零解.10.有非零解解齊次線性方程組有非零解，則得不難驗(yàn)證，當(dāng)時(shí)，該齊次線性方程組確有非零解.第二章矩陣及其運(yùn)算1已知線性變換求從變量x1x2x3到變量y1y2y3的線性變換解由已知故2已知兩個(gè)線性變換求從z1z2z3到x1x2x3的線性變換解由已知所以有3設(shè)求3AB2A及ATB解4計(jì)算下列乘積(1)解(2)解(132231)(10)(3)解(4)解(5)解(a11x1a12x2a13x3a12x1a22x2a23x3a13x1a23x2a33x3)5設(shè)問(1)ABBA嗎解ABBA因?yàn)樗訟BBA(2)(AB)2A22ABB2嗎解(AB)2A22ABB2因?yàn)榈?AB)2A22ABB2(3)(AB)(AB)A2B2嗎解(AB)(AB)A2B2因?yàn)槎?AB)(AB)A2B26舉反列說明下列命題是錯(cuò)誤的(1)若A20則A0解取則A20但A0(2)若A2A則A0或AE解取則A2A但A0且AE(3)若AXAY且A0則XY解取則AXAY且A0但XY7設(shè)求A2A3Ak解8設(shè)求Ak解首先觀察用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)k2時(shí)顯然成立假設(shè)k時(shí)成立，則k1時(shí)，由數(shù)學(xué)歸納法原理知9設(shè)AB為n階矩陣，且A為對(duì)稱矩陣，證明BTAB也是對(duì)稱矩陣證明因?yàn)锳TA所以(BTAB)TBT(BTA)TBTATBBTAB從而BTAB是對(duì)稱矩陣10設(shè)AB都是n階對(duì)稱矩陣，證明AB是對(duì)稱矩陣的充分必要條件是ABBA證明充分性因?yàn)锳TABTB且ABBA所以(AB)T(BA)TATBTAB即AB是對(duì)稱矩陣必要性因?yàn)锳TABTB且(AB)TAB所以AB(AB)TBTATBA11求下列矩陣的逆矩陣(1)解|A|1故A1存在因?yàn)楣?2)解|A|10故A1存在因?yàn)樗?3)解|A|20故A1存在因?yàn)樗?4)(a1a2an0)解由對(duì)角矩陣的性質(zhì)知12解下列矩陣方程(1)解(2)解(3)解(4)解13利用逆矩陣解下列線性方程組(1)解方程組可表示為故從而有(2)解方程組可表示為故故有14設(shè)AkO(k為正整數(shù))證明(EA)1EAA2Ak1證明因?yàn)锳kO所以EAkE又因?yàn)镋Ak(EA)(EAA2Ak1)所以(EA)(EAA2Ak1)E由定理2推論知(EA)可逆且(EA)1EAA2Ak1證明一方面有E(EA)1(EA)另一方面由AkO有E(EA)(AA2)A2Ak1(Ak1Ak)(EAA2Ak1)(EA)故(EA)1(EA)(EAA2Ak1)(EA)兩端同時(shí)右乘(EA)1就有(EA)1(EA)EAA2Ak115設(shè)方陣A滿足A2A2EO證明A及A2E都可逆并求A1及(A2E)1證明由A2A2EO得A2A2E即A(AE)2E或由定理2推論知A可逆且由A2A2EO得A2A6E4E即(A2E)(A3E)4E或由定理2推論知(A2E)可逆且證明由A2A2EO得A2A2E兩端同時(shí)取行列式得|A2A|2即|A||AE|2故|A|0所以A可逆而A2EA2|A2E||A2||A|20故A2E也可逆由A2A2EOA(AE)2EA1A(AE)2A1E又由A2A2EO(A2E)A3(A2E)4E(A2E)(A3E)4E所以(A2E)1(A2E)(A3E)4(A2E)116設(shè)A為3階矩陣求|(2A)15A*|解因?yàn)樗詜2A1|(2)3|A1|8|A|1821617設(shè)矩陣A可逆證明其伴隨陣A*也可逆且(A*)1(A1)*證明由得A*|A|A1所以當(dāng)A可逆時(shí)有|A*||A|n|A1||A|n10從而A*也可逆因?yàn)锳*|A|A1所以(A*)1|A|1A又所以(A*)1|A|1A|A|1|A|(A1)*(A1)*18設(shè)n階矩陣A的伴隨矩陣為A*證明(1)若|A|0則|A*|0(2)|A*||A|n1證明(1)用反證法證明假設(shè)|A*|0則有A*(A*)1E由此得AAA*(A*)1|A|E(A*)1O所以A*O這與|A*|0矛盾，故當(dāng)|A|0時(shí)有|A*|0(2)由于則AA*|A|E取行列式得到|A||A*||A|n若|A|0則|A*||A|n1若|A|0由(1)知|A*|0此時(shí)命題也成立因此|A*||A|n119設(shè)ABA2B求B解由ABA2E可得(A2E)BA故20設(shè)且ABEA2B求B解由ABEA2B得(AE)BA2E即(AE)B(AE)(AE)因?yàn)樗?AE)可逆從而21設(shè)Adiag(121)A*BA2BA8E求B解由A*BA2BA8E得(A*2E)BA8EB8(A*2E)1A18[A(A*2E)]18(AA*2A)18(|A|E2A)18(2E2A)14(EA)14[diag(212)]12diag(121)22已知矩陣A的伴隨陣且ABA1BA13E求B解由|A*||A|38得|A|2由ABA1BA13E得ABB3AB3(AE)1A3[A(EA1)]1A23設(shè)P1AP其中求A11解由P1AP得APP1所以A11A=P11P1.|P|3而故24設(shè)APP其中求(A)A8(5E6AA2)解()8(5E62)diag(1158)[diag(555)diag(6630)diag(1125)]diag(1158)diag(1200)12diag(100)(A)P()P125設(shè)矩陣A、B及AB都可逆證明A1B1也可逆并求其逆陣證明因?yàn)锳1(AB)B1B1A1A1B1而A1(AB)B1是三個(gè)可逆矩陣的乘積所以A1(AB)B1可逆即A1B1可逆(A1B1)1[A1(AB)B1]1B(AB)1A26計(jì)算解設(shè)則而所以即27取驗(yàn)證解而故28設(shè)求|A8|及A4解令則故29設(shè)n階矩陣A及s階矩陣B都可逆求(1)解設(shè)則由此得所以(2)解設(shè)則由此得所以30求下列矩陣的逆陣(1)解設(shè)則于是(2)解設(shè)則第三章矩陣的初等變換與線性方程組1．把下列矩陣化為行最簡(jiǎn)形矩陣：(1);(2);(3);(4).解(1)(2)(3)(4)2.設(shè)，求A。解：A==3．試?yán)镁仃嚨某醯茸儞Q，求下列方陣的逆矩陣：(1);(2).解（1）故逆矩陣為(2)故逆矩陣為4．(1)設(shè),求使;(2)設(shè),求使.解(1)(2)．5.設(shè)，AX=2X+A,求X。解：由AX=2X+A得：X＝＝6．在秩是的矩陣中,有沒有等于0的階子式有沒有等于0的階子式解在秩是的矩陣中,可能存在等于0的階子式,也可能存在等于0的階子式.例如，.同時(shí)存在等于0的3階子式和2階子式.7．從矩陣A中劃去一行得到矩陣B,問的秩的關(guān)系怎樣解設(shè)，且的某個(gè)階子式.矩陣是由矩陣劃去一行得到的，所以在中能找到與相同的階子式，由于，故而.8．求作一個(gè)秩是4的方陣,它的兩個(gè)行向量是,解設(shè)為五維向量,且,,則所求方陣可為秩為4,不妨設(shè)取故滿足條件的一個(gè)方陣為9．求下列矩陣的秩,并求一個(gè)最高階非零子式：(1);(2)；(3).解(1).二階子式．(2).二階子式．(3)秩為3三階子式．10.設(shè)A、B都是矩陣，證明的充分必要條件是。證：必要性即定理3，故需證明充分性，設(shè)=r，由矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)型理論知矩陣A、B具有相同的標(biāo)準(zhǔn)型，，于是，，從而由等價(jià)關(guān)系的對(duì)稱性和傳遞性，知。11.設(shè)，問k為何值時(shí)，可使：(1)；(2)；(3)。解：對(duì)A作初等變換，～，于是，由定理3，(1)當(dāng)k＝1時(shí)，；(2)當(dāng)k＝-2時(shí)，；(3)當(dāng)時(shí)，。12．求解下列齊次線性方程組:(1)(2)(3)(4)解(1)對(duì)系數(shù)矩陣實(shí)施行變換:,即得.故方程組的解為.(2)對(duì)系數(shù)矩陣實(shí)施行變換:即得故方程組的解為(3)對(duì)系數(shù)矩陣實(shí)施行變換:即得.故方程組的解為(4)對(duì)系數(shù)矩陣實(shí)施行變換:即得.故方程組的解為13．求解下列非齊次線性方程組:(1)(2)(3)(4)解(1)對(duì)系數(shù)的增廣矩陣施行行變換,有而,故方程組無解．(2)對(duì)系數(shù)的增廣矩陣施行行變換:,即得.亦即.(3)對(duì)系數(shù)的增廣矩陣施行行變換:,即得即(4)對(duì)系數(shù)的增廣矩陣施行行變換:即得即14.寫出一個(gè)以（*）為通解的齊次線性方程組。解：把(*)式改寫為把，，得，由此知所求方程組有2個(gè)自由未知數(shù)，，且對(duì)應(yīng)的方程組為，即，它以(*)式為通解。15．取何值時(shí),非齊次線性方程組(1)有唯一解；(2)無解；(3)有無窮多個(gè)解解(1),即時(shí)方程組有唯一解.(2)由,得時(shí),方程組無解.(3),由,得時(shí),方程組有無窮多個(gè)解.16．非齊次線性方程組當(dāng)取何值時(shí)有解并求出它的通解．解方程組有解，須得當(dāng)時(shí),方程組解為當(dāng)時(shí),方程組解為17．設(shè).問為何值時(shí),此方程組有唯一解、無解或有無窮多解并在有無窮多解時(shí)求其通解．解當(dāng),即且時(shí)，有唯一解.當(dāng)且，即時(shí)，無解.當(dāng)且，即時(shí)，有無窮多解.此時(shí)，增廣矩陣為原方程組的解為()18.證明的充分必要條件是存在非零列向量及非零行向量，使。證：充分性：設(shè)，，并不妨設(shè)，利用矩陣秩的定義，顯然，有一個(gè)一階非零子式，任取的一個(gè)2階子式（為確定起見，不妨設(shè)取的第i行、第j行及第k列、第l列所得2階子式）：，于是，。必要性：設(shè)因，由等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)型理論知，存在m階可逆陣P和n階可逆陣Q，使，于是＝＝其中和分別為非零m維列向量及非零n維行向量。19.設(shè)A為矩陣，證明：(1)方程有解的充分必要條件是；(2)方程有解的充分必要條件是；證：方程有解(定理7)（必要性由不等式得到；充分性由不等式得到）。方程有解有解。20.設(shè)A為矩陣，若，且，則。證：將矩陣X，Y按列分塊為，，則＝如果，且；即，且；亦即，且，那么根據(jù)齊次線性方程組的理論，當(dāng)時(shí)，齊次線性方程組只有零解，只有零解，即，亦即，，故。第四章向量組的線性相關(guān)性1．設(shè),求及.解2．設(shè)其中,,,求.解由整理得3已知向量組Aa1(0123)Ta2(3012)Ta3(2301)TBb1(2112)Tb2(0211)Tb3(4413)T證明B組能由A組線性表示但A組不能由B組線性表示證明由知R(A)R(AB)3所以B組能由A組線性表示由知R(B)2因?yàn)镽(B)R(BA)所以A組不能由B組線性表示4已知向量組Aa1(011)Ta2(110)TBb1(101)Tb2(121)Tb3(321)T證明A組與B組等價(jià)證明由知R(B)R(BA)2顯然在A中有二階非零子式故R(A)2又R(A)R(BA)2所以R(A)2從而R(A)R(B)R(AB)因此A組與B組等價(jià)5已知R(a1a2a3)2R(a2a3a4)3證明(1)a1能由a2a3線性表示(2)a4不能由a1a2a3線性表示證明(1)由R(a2a3a4)3知a2a3a4線性無關(guān)故a2a3也線性無關(guān)又由R(a1a2a3)2知a1a2a3線性相關(guān)故a1能由a2a3線性表示(2)假如a4能由a1a2a3線性表示則因?yàn)閍1能由a2a3線性表示故a4能由a2a3線性表示從而a2a3a4線性相關(guān)矛盾因此a4不能由a1a2a3線性表示6判定下列向量組是線性相關(guān)還是線性無關(guān)(1)(131)T(210)T(141)T(2)(230)T(140)T(002)T解(1)以所給向量為列向量的矩陣記為A因?yàn)樗訰(A)2小于向量的個(gè)數(shù)從而所給向量組線性相關(guān)(2)以所給向量為列向量的矩陣記為B因?yàn)樗訰(B)3等于向量的個(gè)數(shù)從而所給向量組線性相無關(guān)7問a取什么值時(shí)下列向量組線性相關(guān)a1(a11)Ta2(1a1)Ta3(11a)T解以所給向量為列向量的矩陣記為A由知當(dāng)a1、0、1時(shí)R(A)3此時(shí)向量組線性相關(guān)8設(shè)a1a2線性無關(guān)a1ba2b線性相關(guān)求向量b用a1a2線性表示的表示式解因?yàn)閍1ba2b線性相關(guān)故存在不全為零的數(shù)12使1(a1b)2(a2b)0由此得設(shè)則bca1(1c)a2cR9設(shè)a1a2線性相關(guān)b1b2也線性相關(guān)問a1b1a2b2是否一定線性相關(guān)試舉例說明之解不一定例如當(dāng)a1(12)T,a2(24)T,b1(11)T,b2(00)T時(shí)有a1b1(12)Tb1(01)T,a2b2(24)T(00)T(24)T而a1b1a2b2的對(duì)應(yīng)分量不成比例是線性無關(guān)的10．舉例說明下列各命題是錯(cuò)誤的:(1)若向量組是線性相關(guān)的,則可由線性表示.(2)若有不全為0的數(shù)使成立,則線性相關(guān),亦線性相關(guān).(3)若只有當(dāng)全為0時(shí),等式才能成立,則線性無關(guān),亦線性無關(guān).(4)若線性相關(guān),亦線性相關(guān),則有不全為0的數(shù),使同時(shí)成立.解(1)設(shè),滿足線性相關(guān),但不能由線性表示.(2)有不全為零的數(shù)使原式可化為取.其中為單位向量,則上式成立,而,均線性相關(guān).(3)由(僅當(dāng))線性無關(guān)取,取為線性無關(guān)組.滿足以上條件,但不能說是線性無關(guān)的.(4)與題設(shè)矛盾.11．設(shè),證明向量組線性相關(guān).證明設(shè)有使得則(1)若線性相關(guān),則存在不全為零的數(shù),;;;;由不全為零,知不全為零,即線性相關(guān).(2)若線性無關(guān),則由知此齊次方程存在非零解.則線性相關(guān).綜合得證.12．設(shè),且向量組線性無關(guān),證明向量組線性無關(guān).證明設(shè)則因向量組線性無關(guān),故因?yàn)楣史匠探M只有零解.則.所以線性無關(guān)13．求下列向量組的秩,并求一個(gè)最大無關(guān)組:(1),,;(2),,.解(1)線性相關(guān).由秩為2,一組最大線性無關(guān)組為.(2)秩為2,最大線性無關(guān)組為.14．利用初等行變換求下列矩陣的列向量組的一個(gè)最大無關(guān)組,并把其余列向量用最大無關(guān)組線性表示:(1);(2).解(1)所以第1、2、3列構(gòu)成一個(gè)最大無關(guān)組.(2)，所以第1、2、3列構(gòu)成一個(gè)最大無關(guān)組．15設(shè)向量組(a31)T(2b3)T(121)T(231)T的秩為2求ab解設(shè)a1(a31)Ta2(2b3)Ta3(121)Ta4(231)T因?yàn)槎鳵(a1a2a3a4)2所以a2b516．設(shè)是一組維向量,已知維單位坐標(biāo)向量能由它們線性表示,證明線性無關(guān).證明維單位向量線性無關(guān).不妨設(shè):所以兩邊取行列式，得由即維向量組所構(gòu)成矩陣的秩為.故線性無關(guān).17．證明設(shè)為一組維單位向量，對(duì)于任意維向量則有即任一維向量都可由單位向量線性表示.線性無關(guān)，且能由單位向量線性表示，即故兩邊取行列式，得由令.由即都能由線性表示，因?yàn)槿我痪S向量能由單位向量線性表示，故任一維向量都可以由線性表示.已知任一維向量都可由線性表示，則單位向量組：可由線性表示，由16題知線性無關(guān).18設(shè)向量組a1a2am線性相關(guān)且a10證明存在某個(gè)向量ak(2km)使ak能由a1a2ak1線性表示證明因?yàn)閍1a2am線性相關(guān)所以存在不全為零的數(shù)12m使1a12a2mam0而且23m不全為零這是因?yàn)槿缛舨蝗粍t1a10由a10知10矛盾因此存在k(2km)使k0k1k2m0于是1a12a2kak0ak(1/k)(1a12a2k1ak1)即ak能由a1a2ak1線性表示19．設(shè)向量組能由向量組線性表示為，其中為矩陣，且組線性無關(guān)。證明組線性無關(guān)的充分必要條件是矩陣的秩.證明若組線性無關(guān)令則有由定理知由組:線性無關(guān)知，故.又知為階矩陣則由于向量組:能由向量組:線性表示,則綜上所述知即．若令,其中為實(shí)數(shù)則有又,則由于線性無關(guān),所以即（1）由于則(1)式等價(jià)于下列方程組:由于所以方程組只有零解.所以線性無關(guān),證畢.20設(shè)證明向量組12n與向量組12n等價(jià)證明將已知關(guān)系寫成將上式記為BAK因?yàn)樗訩可逆故有ABK1由BAK和ABK1可知向量組12n與向量組12n可相互線性表示因此向量組12n與向量組12n等價(jià)21已知3階矩陣A與3維列向量x滿足A3x3AxA2x且向量組xAxA2x線性無關(guān)(1)記P(xAxA2x)求3階矩陣B使APPB解因?yàn)锳PA(xAxA2x)(AxA2xA3x)(AxA2x3AxA2x)所以(2)求|A|解由A3x3AxA2x得A(3xAxA2x)0因?yàn)閤AxA2x線性無關(guān)故3xAxA2x0即方程Ax0有非零解所以R(A)3|A|022．求下列齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系:(1)(2)(3).解(1)所以原方程組等價(jià)于取得;取得.因此基礎(chǔ)解系為(2)所以原方程組等價(jià)于取得;取得.因此基礎(chǔ)解系為(3)原方程組即為取得取得取得所以基礎(chǔ)解系為23．設(shè),求一個(gè)矩陣,使,且.解由于,所以可設(shè).則由可得,解此非齊次線性方程組可得唯一解，故所求矩陣．24．求一個(gè)齊次線性方程組,使它的基礎(chǔ)解系為.解顯然原方程組的通解為,()即消去得此即所求的齊次線性方程組.25設(shè)四元齊次線性方程組III求(1)方程I與II的基礎(chǔ)解系(2)I與II的公共解解(1)由方程I得取(x3x4)T(10)T得(x1x2)T(00)T取(x3x4)T(01)T得(x1x2)T(11)T因此方程I的基礎(chǔ)解系為1(0010)T2(1101)T由方程II得取(x3x4)T(10)T得(x1x2)T(01)T取(x3x4)T(01)T得(x1x2)T(11)T因此方程II的基礎(chǔ)解系為1(0110)T2(1101)T(2)I與II的公共解就是方程III的解因?yàn)榉匠探MIII的系數(shù)矩陣所以與方程組III同解的方程組為取x41得(x1x2x3)T(112)T方程組III的基礎(chǔ)解系為(1121)T因此I與II的公共解為xc(1121)TcR26．設(shè)階矩陣滿足,為階單位矩陣,證明(提示:利用矩陣性質(zhì)6和8。)證明所以由21題所證可知又由11題所證可知由此．27設(shè)A為n階矩陣(n2)A*為A的伴隨陣證明證明當(dāng)R(A)n時(shí)|A|0故有|AA*|||A|E||A|0|A*|0所以R(A*)n當(dāng)R(A)n1時(shí)|A|0故有AA*|A|E0即A*的列向量都是方程組Ax0的解因?yàn)镽(A)n1所以方程組Ax0的基礎(chǔ)解系中只含一個(gè)解向量即基礎(chǔ)解系的秩為1因此R(A*)1當(dāng)R(A)n2時(shí)A中每個(gè)元素的代數(shù)余子式都為0故A*O從而R(A*)028．求下列非齊次方程組的一個(gè)解及對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系：(1)(2)解(1)(2)29．設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3，已知是它的三個(gè)解向量．且，求該方程組的通解．解由于矩陣的秩為3，，一維．故其對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系含有一個(gè)向量，且由于均為方程組的解，由非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)性質(zhì)得為其基礎(chǔ)解系向量，故此方程組的通解：，30設(shè)有向量組Aa1(210)Ta2(215)Ta3(114)T及b(11)T問為何值時(shí)(1)向量b不能由向量組A線性表示(2)向量b能由向量組A線性表示且表示式唯一(3)向量b能由向量組A線性表示且表示式不唯一并求一般表示式解(1)當(dāng)40時(shí)R(A)R(Ab)此時(shí)向量b不能由向量組A線性表示(2)當(dāng)4時(shí)R(A)R(Ab)3此時(shí)向量組a1a2a3線性無關(guān)而向量組a1a2a3b線性相關(guān)故向量b能由向量組A線性表示且表示式唯一(3)當(dāng)40時(shí)R(A)R(Ab)2此時(shí)向量b能由向量組A線性表示且表示式不唯一當(dāng)40時(shí)方程組(a3a2a1)xb的解為cR因此b(2c1)a3(3c1)a2ca1即bca1(3c1)a2(2c1)a3cR31設(shè)a(a1a2a3)Tb(b1b2b3)Tc(c1c2c3)T證明三直線l1a1xb1yc10l2a2xb2yc20(ai2bi20i123)l3a3xb3yc30相交于一點(diǎn)的充分必要條件為向量組ab線性無關(guān)且向量組abc線性相關(guān)證明三直線相交于一點(diǎn)的充分必要條件為方程組即有唯一解上述方程組可寫為xaybc因此三直線相交于一點(diǎn)的充分必要條件為c能由ab唯一線性表示而c能由ab唯一線性表示的充分必要條件為向量組ab線性無關(guān)且向量組abc線性相關(guān)32設(shè)矩陣A(a1a2a3a4)其中a2a3a4線性無關(guān)a12a2a3向量ba1a2a3a4求方程Axb的通解解由ba1a2a3a4知(1111)T是方程Axb的一個(gè)解由a12a2a3得a12a2a30知(1210)T是Ax0的一個(gè)解由a2a3a4線性無關(guān)知R(A)3故方程Axb所對(duì)應(yīng)的齊次方程Ax0的基礎(chǔ)解系中含一個(gè)解向量因此(1210)T是方程Ax0的基礎(chǔ)解系方程Axb的通解為xc(1210)T(1111)TcR33．設(shè)是非齊次線性方程組的一個(gè)解,是對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系,證明:(1)線性無關(guān)；(2)線性無關(guān)。證明(1)反證法,假設(shè)線性相關(guān),則存在著不全為0的數(shù)使得下式成立:(1)其中,否則,線性相關(guān),而與基礎(chǔ)解系不是線性相關(guān)的產(chǎn)生矛盾。由于為特解，為基礎(chǔ)解系，故得而由(1)式可得故，而題中,該方程組為非齊次線性方程組,得產(chǎn)生矛盾,假設(shè)不成立,故線性無關(guān).(2)反證法,假使線性相關(guān).則存在著不全為零的數(shù)使得下式成立:（2）即1)若,由于是線性無關(guān)的一組基礎(chǔ)解系,故,由(2)式得此時(shí)與假設(shè)矛盾.2)若由題(1)知,線性無關(guān),故與假設(shè)矛盾,綜上,假設(shè)不成立,原命題得證.34.設(shè)是非齊次線性方程組的個(gè)解，為實(shí)數(shù)，滿足.證明也是它的解.證明由于是非齊次線性方程組的個(gè)解.故有而即（）從而也是方程的解．35．設(shè)非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為，是它的個(gè)線性無關(guān)的解(由題24知它確有個(gè)線性無關(guān)的解)．試證它的任一解可表示為（其中）.證明設(shè)為的任一解．由題設(shè)知：線性無關(guān)且均為的解．取，則它的均為的解．用反證法證：線性無關(guān)．反設(shè)它們線性相關(guān)，則存在不全為零的數(shù)：使得即亦即由線性無關(guān)知矛盾，故假設(shè)不對(duì)．線性無關(guān)，為的一組基．由于均為的解，所以為的解可由線性表出．令則,證畢．36．設(shè)問是不是向量空間為什么證明集合成為向量空間只需滿足條件：若，則若，則是向量空間，因?yàn)椋?.,且故故不是向量空間，因?yàn)椋汗?故當(dāng)時(shí)，37．試證:由所生成的向量空間就是.證明設(shè)于是故線性無關(guān).由于均為三維,且秩為3,所以為此三維空間的一組基,故由所生成的向量空間就是.38．由所生成的向量空間記作,由所生成的向量空間記作,試證.證明設(shè),任取中一向量,可寫成,要證,從而得由得上式中,把看成已知數(shù),把看成未知數(shù)有唯一解同理可證:()故39．驗(yàn)證為的一個(gè)基,并把用這個(gè)基線性表示.解由于即矩陣的秩為3.故線性無關(guān)，則為的一個(gè)基.設(shè)，則故設(shè)，則故線性表示為40已知R3的兩個(gè)基為a1(111)Ta2(101)Ta3(101)Tb1(121)Tb2(234)Tb3(343)T求由基a1a2a3到基b1b2b3的過渡矩陣P解設(shè)e1e2e3是三維單位坐標(biāo)向量組則于是由基a1a2a3到基b1b2b3的過渡矩陣為第五章相似矩陣及二次型1．試用施密特法把下列向量組正交化：(1)；(2)解(1)根據(jù)施密特正交化方法:令，，，故正交化后得:．根據(jù)施密特正交化方法:令;,故正交化后得2．下列矩陣是不是正交矩陣并說明理由:(1);(2)．解(1)第一個(gè)行向量非單位向量,故不是正交陣．該方陣每一個(gè)行向量均是單位向量，且兩兩正交，故為正交陣．3設(shè)x為n維列向量xTx1令HE2xxT證明H是對(duì)稱的正交陣證明因?yàn)镠T(E2xxT)TE2(xxT)TE2(xxT)TE2(xT)TxTE2xxT所以H是對(duì)稱矩陣因?yàn)镠THHH(E2xxT)(E2xxT)E2xxT2xxT(2xxT)(2xxT)E4xxT4x(xTx)xTE4xxT4xxTE所以H是正交矩陣4．設(shè)與都是階正交陣，證明也是正交陣．證明因?yàn)槭请A正交陣，故，故也是正交陣．5．求下列矩陣的特征值和特征向量:(1);(2);(3).并問它們的特征向量是否兩兩正交解(1)①.故的特征值為．②當(dāng)時(shí),解方程,由得基礎(chǔ)解系所以是對(duì)應(yīng)于的全部特征值向量．當(dāng)時(shí),解方程,由得基礎(chǔ)解系所以是對(duì)應(yīng)于的全部特征向量．③故不正交．(2)①.故的特征值為．②當(dāng)時(shí)，解方程，由得基礎(chǔ)解系故是對(duì)應(yīng)于的全部特征值向量.當(dāng)時(shí),解方程，由得基礎(chǔ)解系故是對(duì)應(yīng)于的全部特征值向量當(dāng)時(shí)，解方程，由得基礎(chǔ)解系故是對(duì)應(yīng)于的全部特征值向量．③，，，所以兩兩正交．(3)=,當(dāng)時(shí)，取為自由未知量，并令，設(shè).故基礎(chǔ)解系為當(dāng)時(shí)，可得基礎(chǔ)解系綜上所述可知原矩陣的特征向量為6設(shè)A為n階矩陣證明AT與A的特征值相同證明因?yàn)閨ATE||(AE)T||AE|T|AE|所以AT與A的特征多項(xiàng)式相同從而AT與A的特征值相同7設(shè)n階矩陣A、B滿足R(A)R(B)n證明A與B有公共的特征值有公共的特征向量證明設(shè)R(A)rR(B)t則rtn若a1a2anr是齊次方程組Ax0的基礎(chǔ)解系顯然它們是A的對(duì)應(yīng)于特征值0的線性無關(guān)的特征向量類似地設(shè)b1b2bnt是齊次方程組Bx0的基礎(chǔ)解系則它們是B的對(duì)應(yīng)于特征值0的線性無關(guān)的特征向量由于(nr)(nt)n(nrt)n故a1a2anrb1b2bnt必線性相關(guān)于是有不全為0的數(shù)k1k2knrl1l2lnt使k1a1k2a2knranrl1b1l2b2lnrbnr0記k1a1k2a2knranr(l1b1l2b2lnrbnr)則k1k2knr不全為0否則l1l2lnt不全為0而l1b1l2b2lnrbnr0與b1b2bnt線性無關(guān)相矛盾因此0是A的也是B的關(guān)于0的特征向量所以A與B有公共的特征值有公共的特征向量8設(shè)A23A2EO證明A的特征值只能取1或2證明設(shè)是A的任意一個(gè)特征值x是A的對(duì)應(yīng)于的特征向量則(A23A2E)x2x3x2x(232)x0因?yàn)閤0所以2320即是方程2320的根也就是說1或29設(shè)A為正交陣且|A|1證明1是A的特征值證明因?yàn)锳為正交矩陣所以A的特征值為1或1因?yàn)閨A|等于所有特征值之積又|A|1所以必有奇數(shù)個(gè)特征值為1即1是A的特征值10設(shè)0是m階矩陣AmnBnm的特征值證明也是n階矩陣BA的特征值證明設(shè)x是AB的對(duì)應(yīng)于0的特征向量則有(AB)xx于是B(AB)xB(x)或BA(Bx)(Bx)從而是BA的特征值且Bx是BA的對(duì)應(yīng)于的特征向量11已知3階矩陣A的特征值為123求|A35A27A|解令()3527則(1)3(2)2(3)3是(A)的特征值故|A35A27A||(A)|(1)(2)(3)3231812已知3階矩陣A的特征值為123求|A*3A2E|解因?yàn)閨A|12(3)60所以A可逆故A*|A|A16A1A*3A2E6A13A2E令()61322則(1)1(2)5(3)5是(A)的特征值故|A*3A2E||6A13A2E||(A)|(1)(2)(3)15(5)2513．設(shè)都是階方陣，且，證明與相似．證明則可逆則與相似．14設(shè)矩陣可相似對(duì)角化求x解由得A的特征值為16231因?yàn)锳可相似對(duì)角化所以對(duì)于231齊次線性方程組(AE)x0有兩個(gè)線性無關(guān)的解因此R(AE)1由知當(dāng)x3時(shí)R(AE)1即x3為所求15已知p(111)T是矩陣的一個(gè)特征向量(1)求參數(shù)ab及特征向量p所對(duì)應(yīng)的特征值解設(shè)是特征向量p所對(duì)應(yīng)的特征值則(AE)p0即解之得1a3b0(2)問A能不能相似對(duì)角化并說明理由解由得A的特征值為1231由知R(AE)2所以齊次線性方程組(AE)x0的基礎(chǔ)解系只有一個(gè)解向量因此A不能相似對(duì)角化16．試求一個(gè)正交的相似變換矩陣,將下列對(duì)稱矩陣化為對(duì)角矩陣:(1);(2)．解(1)故得特征值為．當(dāng)時(shí)，由.解得.單位特征向量可取:當(dāng)時(shí),由.解得.單位特征向量可取:當(dāng)時(shí),由.解得．單位特征向量可取:得正交陣.(2)，故得特征值為當(dāng)時(shí)，由.解得此二個(gè)向量正交,單位化后,得兩個(gè)單位正交的特征向量;單位化得當(dāng)時(shí),由.解得.單位化.得正交陣.．17．設(shè)矩陣與相似，求；并求一個(gè)正交陣P，使.解方陣與相似，則與的特征多項(xiàng)式相同，即．18設(shè)3階方陣A的特征值為122231對(duì)應(yīng)的特征向量依次為p1(011)Tp2(111)Tp3(110)T求A.解令P(p1p2p3)則P1APdiag(221)APP1因?yàn)樗?9設(shè)3階對(duì)稱陣A的特征值為112130對(duì)應(yīng)1、2的特征向量依次為p1(122)Tp2(212)T求A解設(shè)則Ap12p1Ap22p2即①②再由特征值的性質(zhì)有x1x4x61230③由①②③解得令x60得x20因此20．設(shè)3階對(duì)稱矩陣的特征值6，3，3，與特征值6對(duì)應(yīng)的特征向量為,求.解設(shè).由，知①3是的二重特征值,根據(jù)實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì)定理知的秩為1，故利用①可推出秩為1.則存在實(shí)的使得②成立．由①②解得．得．21設(shè)a(a1a2an)Ta10AaaT(1)證明0是A的n1重特征值證明設(shè)是A的任意一個(gè)特征值x是A的對(duì)應(yīng)于的特征向量則有Axx2xA2xaaTaaTxaTaAxaTax于是可得2aTa從而0或aTa設(shè)12n是A的所有特征值因?yàn)锳aaT的主對(duì)角線性上的元素為a12a22an2所以a12a22an2aTa12n這說明在12n中有且只有一個(gè)等于aTa而其余n1個(gè)全為0即0是A的n1重特征值(2)求A的非零特征值及n個(gè)線性無關(guān)的特征向量解設(shè)1aTa2n0因?yàn)锳aaaTa(aTa)a1a所以p1a是對(duì)應(yīng)于1aTa的特征向量對(duì)于2n0解方程Ax0即aaTx0因?yàn)閍0所以aTx0即a1x1a2x2anxn0其線性無關(guān)解為p2(a2a100)Tp3(a30a10)Tpn(an00a1)T因此n個(gè)線性無關(guān)特征向量構(gòu)成的矩陣為22設(shè)求A100解由得A的特征值為112535對(duì)于11解方程(AE)x0得特征向量p1(100)T對(duì)于15解方程(A5E)x0得特征向量p2(212)T對(duì)于15解方程(A5E)x0得特征向量p3(121)T令P(p1p2p3)則P1APdiag(155)APP1A100P100P1因?yàn)?00diag(151005100)