勾股定理的應(yīng)用(必考題)

、如圖：（1）你能得到關(guān)于a，b，c的一個等式嗎？寫出你的過程．

（2）請用一句話描述你的發(fā)現(xiàn)：在直角三角形中，______

（3）請應(yīng)用你學(xué)到的新知識解決下面這個問題：將一根長為30cm的筷子置于底面直徑為5cm，高12cm的圓柱形的空水杯中，則露出杯子外面的長度最短是______cm，最長是______

cm．如果把圓柱體換成一個長，寬，高分別為6，8，24的無蓋長方體盒子．那么這根筷子露出盒子外面的長度最短是______cm．

某樓梯的側(cè)面視圖如圖所示，其中AB=6.5米，BC=2.5米，∠C=90°，樓梯的寬度為6米，因某種活動要求鋪設(shè)紅色地毯，則在AB段樓梯所鋪地毯的面積應(yīng)為

．

如圖所示，一只小螞蟻從棱長為1的正方體的頂點A出發(fā)，經(jīng)過每個面的中心點后，又回到A點，螞蟻爬行最短程S滿足（）

A．5＜S≤6B．6＜S≤7C．7＜S≤8D．8＜S≤9如圖，已知：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，將一塊三角尺的直角頂點與斜邊AB的中點M重合，當(dāng)三角尺繞著點M旋轉(zhuǎn)時，兩直角邊始終保持分別與邊BC、AC交于D，E兩點（D、E不與B、A重合）．

（1）試說明：MD=ME；

（2）求四邊形MDCE的面積．

小明在測量學(xué)校旗桿的高度時發(fā)現(xiàn)，旗桿的繩子垂到地上還多一米，當(dāng)他把繩子拉直并把繩子的下端觸地時，繩子離開旗桿5米，求旗桿的高度．

6、印度數(shù)學(xué)家什迦邏（1141年-1225年）曾提出過“荷花問題”：

平平湖水清可鑒，面上半尺生紅蓮．

出泥不染亭亭立，忽被強風(fēng)吹一邊，

離開原處二尺遠(yuǎn)，花貼湖面像睡蓮．

能算諸君請解題，湖水如何知深淺？

7、如圖，在每個小方格的面積為1的4×4的方格紙上畫一個正方形ABCD，使正方形ABCD的面積為5，并計算正方形的邊長和周長．

8、在下列4×4各圖中，每個小正方形的邊長都為1，請在每一個圖中分別畫出一條線段，且它們的長度均表示不等的無理數(shù)．表示：______

9、自動門開啟的連動裝置如圖所示，∠AOB為直角，滑桿AB為定長100cm，端點A，B可分別在OA，OB上滑動，當(dāng)滑桿AB的位置如圖所示時，OA=80cm、若端點A向上滑動10cm，則端點B滑動的距離（）

A．大于10cmB．等于10cmC．小于10cmD．不能確定在甲村至乙村的公路旁有一塊山地正在開發(fā)，現(xiàn)有一C處需要爆破，已知點C與公路上的停靠站A的距離為300米，與公路上另一?？空綛的距離為400米，且CA⊥CB，如圖，為了安全起見，爆破點C周圍半徑250米范圍內(nèi)不得進(jìn)入，問在進(jìn)行爆破時，公路AB段是否有危險，是否而需要暫時封鎖？請通過計算進(jìn)行說明．如圖1，四根長度一定的木條，其中AB=6cm，CD=15cm，將這四根木條用小釘絞合在一起，構(gòu)成一個四邊形ABCD（在A、B、C、D四點處是可以活動的）．現(xiàn)固定AB邊不動，轉(zhuǎn)動這個四邊形，使它的形狀改變，在轉(zhuǎn)動的過程中有以下兩個特殊位置．

位置一：當(dāng)點D在BA的延長線上時，點C在線段AD上（如圖2）；

位置二：當(dāng)點C在AB的延長線上時，∠C=90°．

（1）在圖2中，若設(shè)BC的長為x，請用x的代數(shù)式表示AD的長；

（2）在圖3中畫出位置二的準(zhǔn)確圖形；（各木條長度需符合題目要求）

（3）利用圖2、圖3求圖1的四邊形ABCD中，BC、AD邊的長．

20、如圖，小明準(zhǔn)備建一個鮮花大棚，棚寬BE=4米，高AE=3米，長AD=10米，棚的斜面用矩形玻璃ABCD遮蓋，不計墻的厚度，請計算陽光透過的最大面積．

公園里有一塊形如四邊形ABCD的草地，測得BC=CD=20米，∠A=45°，∠B=∠C=120°，請求出這塊草地面積．

22、如圖，在兩面墻之間有一個底端在A點的梯子，當(dāng)它靠在一側(cè)墻上時，梯子的頂端在B點；當(dāng)它靠在另一側(cè)墻上時，梯子的頂端在D點．已知∠BAC=60°，∠DAE=45°，點D到地面的垂直距離DE=3m．則點B到地面的垂直距離BC是

．如圖在一塊直角三角形地被分成BD分成兩塊，其中斜邊AB長為13m，一條直角邊BC長為5m，∠BDC=45°，要在△ABD內(nèi)種草皮，已知這種草皮每平方米售價a元，則購買這種草皮至少需要

元．

24、一個游泳愛好者，要橫跨一條寬AC=8m的河流，由于水流速度的原因，這位游泳愛好者向下游偏離了BC=6m，這位游泳愛好者在橫跨河流的實際游泳距離為多少米？

已知，△ABC是邊長3cm的等邊三角形．動點P以1cm/s的速度從點A出發(fā)，沿線段AB向點B運動．

（1）如圖1，設(shè)點P的運動時間為t（s），那么t=______（s）時，△PBC是直角三角形；

（2）如圖2，若另一動點Q從點B出發(fā)，沿線段BC向點C運動，如果動點P、Q都以1cm/s的速度同時出發(fā)．設(shè)運動時間為t（s），那么t為何值時，△PBQ是直角三角形？

（3）如圖3，若另一動點Q從點C出發(fā)，沿射線BC方向運動．連接PQ交AC于D．如果動點P、Q都以1cm/s的速度同時出發(fā)．設(shè)運動時間為t（s），那么t為何值時，△DCQ是等腰三角形？

（4）如圖4，若另一動點Q從點C出發(fā)，沿射線BC方向運動．連接PQ交AC于D，連接PC．如果動點P、Q都以1cm/s的速度同時出發(fā)．請你猜想：在點P、Q的運動過程中，△PCD和△QCD的面積有什么關(guān)系？并說明理由．羅師傅想將一個正方形ABCD（四個角都是直角，四條邊都相等）的余料，修剪成四邊形ABEF的零件（如圖），要求∠AFE為直角．他是這樣做的：取CD的中點F，取BC的四等分點E（即），然后沿AF、FE剪裁就得到四邊形AFEB．你認(rèn)為這樣剪裁得到的四邊形AFEB符合要求嗎？請說明理由．

如圖，是一個三級臺階，它的每一級的長、寬和高分別等于5cm，3cm和1cm，A和B是這個臺階的兩個相對的端點，A點上有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物．請你想一想，這只螞蟻從A點出發(fā)，沿著臺階面爬到B點，最短線路是多少？

28、一塊試驗田的形狀如圖所示，已知：∠CAB=90°，AC=3m，AB=4m，BD=13m，DC=12m．求這塊試驗田的面積．如圖，小李準(zhǔn)備建一個蔬菜大棚，棚寬4m，高3m，長8m，棚的斜面用塑料薄膜遮蓋，不計墻的厚度，若塑料薄膜每平方米1.2元，問小李至少要花多少錢？

（30題）八年級三班小明和小亮同學(xué)學(xué)習(xí)了“勾股定理”之后，為了測得下圖風(fēng)箏CE的高度，他們進(jìn)行了如下操作：

（1）測得BD的長度為25米．

（2）根據(jù)手中剩余線的長度計算出風(fēng)箏線BC的長為65米．

（3）牽線放風(fēng)箏的小明身高1.6米．

求風(fēng)箏的高度CE．如圖，一個電子跳蚤在4×5的網(wǎng)格（網(wǎng)格中小格子均為邊長為1的正方形）中，沿A→B→C→A跳了一圈，它跳的總路程是

．課間，小聰拿著老師的等腰直角三角板玩，不小心掉到兩墻之間（如圖所示），∠ACB=90°，AC=BC，從三角板的刻度可知AB=20cm，小聰很快就知道了砌墻磚塊的厚度（每塊磚的厚度相等）為

cm．

由于水資源缺乏，B，C兩地不得不從黃河上的揚水站A處引水，這就需要在A，B，C之間鋪設(shè)地下輸水管道．有人設(shè)計了3種鋪設(shè)方案（圖中實線表示管道鋪設(shè)線路）．在圖（2）中，AD⊥BC于點D，且BC=DC；在圖（3）中，OA=OB=OC，且AO的延長線交BC于點E，AE⊥BC，BE=EC，OE=．為減少滲漏，節(jié)約水資源，并降低工程造價，鋪設(shè)線路應(yīng)盡量縮短．若△ABC恰好是一個邊長為a的等邊三角形，請你通過計算，判斷哪一個鋪設(shè)方案最好．

某消防隊進(jìn)行消防演練，在模擬現(xiàn)場，有一建筑物發(fā)生了火災(zāi)，消防車到達(dá)后，發(fā)現(xiàn)離建筑物的水平距離最近為12米，即AD=BC=12米，此時建筑物中距地面12.8米高的P處有一被困人員需要救援，已知消防云梯的車身高AB是3.8米．為此消防車的云梯至少應(yīng)伸長多少米？

明朝數(shù)學(xué)家程大位在他的著作《算法統(tǒng)宗》中寫了一首計算秋千繩索長度的詞《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺離地°送行二步恰竿齊，五尺板高離地…”翻譯成現(xiàn)代文為：如圖，秋千OA靜止的時候，踏板離地高一尺（AC=1尺），將它往前推進(jìn)兩步（EB=10尺），此時踏板升高離地五尺（BD=5尺），求秋千繩索（OA或OB）的長度．

兩根電線桿AB、CD，AB=5m，CD=3m，它們的底部相距8m，現(xiàn)在要在兩根電線桿底端之間（線段BD上）選一點E，由E分別向兩根電線桿頂端拉鋼索AE、CE．若使鋼索AE與CE相等，那么點E應(yīng)該選在距點B多少米處？

37、如圖，是一塊四邊形草坪，∠B=∠D=90°，AB=24m，BC=7m，CD=15m，求草坪面積．中日釣魚島爭端持續(xù)，我海監(jiān)船加大釣魚島海域的巡航維權(quán)力度．如圖，OA⊥OB，OA=45海里，OB=15海里，釣魚島位于O點，我國海監(jiān)船在點B處發(fā)現(xiàn)有一不明國籍的漁船，自A點出發(fā)沿著AO方向勻速駛向釣魚島所在地點O，我國海監(jiān)船立即從B處出發(fā)以相同的速度沿某直線去攔截這艘漁船，結(jié)果在點C處截住了漁船．

（1）請用直尺和圓規(guī)作出C處的位置；

（2）求我國海監(jiān)船行駛的航程BC的長39、探索：請你利用圖1驗證勾股定理．

（2）應(yīng)用：如圖2，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，分別以AC、BC為直徑作半圓，面積分別記為S1、S2，則S1+S2的值等于______．（請直接寫出結(jié)果）

（3）拓展：如圖3所示，MN表示一條鐵路，A、B是兩個城市，它們到鐵路所在直線MN的垂直距離分別為AC=40千米，BD=60千米，且CD=80千米，現(xiàn)要在CD之間設(shè)一個中轉(zhuǎn)站O，求出O應(yīng)建在離C點多少千米處，才能使它到A、B兩個城市的距離相等．

如圖，A，B是筆直公路l同側(cè)的兩個村莊，且兩個村莊到公路的距離分別是300m和500m，兩村莊之間的距離為d（已知d2=400000m2），現(xiàn)要在公路上建一汽車?？空?，使兩村到停靠站的距離之和最小，問最小值是多少？

如圖，點A是4×5網(wǎng)格圖形中的一個格點（小正方形的頂點），圖中每個小正方形的邊長為1，以A為其中的一個頂點，腰長等于的格點等腰直角三角形（三角形的三個頂點都是格點）的個數(shù)是（）

A．10B．12C．14D．16如圖，以數(shù)軸的單位長線段為邊作一個矩形，以數(shù)軸的原點為旋轉(zhuǎn)中心，將過原點的對角線逆時針旋轉(zhuǎn)，使對角線的另一端點落在數(shù)軸負(fù)半軸的點A處，則點A表示的數(shù)是

．

43、閱讀下面的情景對話，然后解答問題：

老師：我們新定義一種三角形，兩邊平方和等于第三邊平方的2倍的三角形叫做奇異三角形．

小華：等邊三角形一定是奇異三角形！

小明：那直角三角形是否存在奇異三角形呢？

（1）根據(jù)“奇異三角形”的定義，請你判斷小華提出的命題：“等邊三角形一定是奇異三角形”這句話是對還是錯？______

（2）在Rt△ABC中，兩邊長分別是a=5、c=10，這個三角形是否是奇異三角形？請說明理由．

（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b＞a，若Rt△ABC是奇異三角形，求（b+c）：a的值．44、如圖，已知1號、4號兩個正方形的面積和為7，2號、3號兩個正方形的面積和為4，則a，b，c三個正方形的面積和為（）

A．11B．15C．10D．22如圖，是2002年8月北京第24屆國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)，由4個全等的直角三角形拼合而成．若圖中大小正方形的面積分別為和4，則直角三角形的兩條直角邊邊長分別為

．

如圖，小明在廣場上先向東走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向東走70米，小明到達(dá)的終止點與原出發(fā)點的距離為（）米．

A．80B．100C．110D．180如圖，A，B兩地之間有一座山，汽車原來從A地到B地須經(jīng)C地沿折線A-C-B行駛，現(xiàn)開通隧道后，汽車直接沿直線AB行駛．已知AC=10km，∠A=30°，∠B=45°，則隧道開通后，汽車從A地到B地比原來少走多少千米？（結(jié)果精確到0.1km）（參考數(shù)據(jù)：≈1.41）

如圖，讓兩個長為12，寬為8的矩形重疊，已知圖中線段AB長為7