專題02函數(shù)的概念和性質(zhì)（講）（解析版）

第一篇熱點、難點突破篇專題02函數(shù)的概念和性質(zhì)（講）真題體驗感悟高考1．（2022·天津·高考真題）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合中間值法可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】因為，故.故答案為：C.2．（2021·全國·高考真題（理））設(shè)函數(shù)的定義域為R，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當時，．若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】通過是奇函數(shù)和是偶函數(shù)條件，可以確定出函數(shù)解析式，進而利用定義或周期性結(jié)論，即可得到答案．【詳解】因為是奇函數(shù)，所以①；因為是偶函數(shù)，所以②．令，由①得：，由②得：，因為，所以，令，由①得：，所以．思路一：從定義入手．所以．思路二：從周期性入手由兩個對稱性可知，函數(shù)的周期．所以．故選：D．3．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)的定義域為R，且，則（

）A． B． C．0 D．1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意賦值即可知函數(shù)的一個周期為，求出函數(shù)一個周期中的的值，即可解出．【詳解】因為，令可得，，所以，令可得，，即，所以函數(shù)為偶函數(shù)，令得，，即有，從而可知，，故，即，所以函數(shù)的一個周期為．因為，，，，，所以一個周期內(nèi)的．由于22除以6余4，所以．故選：A．4．（2022·全國·高考真題（文））若是奇函數(shù)，則_____，______．【答案】

；

．【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義即可求出．【詳解】[方法一]：奇函數(shù)定義域的對稱性若，則的定義域為，不關(guān)于原點對稱若奇函數(shù)的有意義，則且且，函數(shù)為奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點對稱，，解得，由得，，，故答案為：；．[方法二]：函數(shù)的奇偶性求參函數(shù)為奇函數(shù)[方法三]：因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以其定義域關(guān)于原點對稱．由可得，，所以，解得：，即函數(shù)的定義域為，再由可得，．即，在定義域內(nèi)滿足，符合題意．故答案為：；．5.（2015·福建·高考真題（理））若函數(shù)（且）的值域是，則實數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【解析】【詳解】試題分析：由于函數(shù)的值域是，故當時，滿足，當時，由，所以，所以，所以實數(shù)的取值范圍.總結(jié)規(guī)律預測考向（一）規(guī)律與預測1.高考對此部分內(nèi)容的命題多集中于函數(shù)的概念、函數(shù)的性質(zhì)及分段函數(shù)等，主要考查求函數(shù)的定義域、分段函數(shù)的函數(shù)值的求解或分段函數(shù)中參數(shù)的求解及函數(shù)圖象的識別．難度屬中等及以上.2.以基本初等函數(shù)的圖象、性質(zhì)為載體，利用函數(shù)性質(zhì)比較大小是常見題型.3.函數(shù)的對稱性、奇偶性、周期性及單調(diào)性是函數(shù)的四大性質(zhì)，在高考中常常將它們綜合在一起命題，考查性質(zhì)的綜合、靈活地應(yīng)用能力．4.此部分內(nèi)容多以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，函數(shù)零點的個數(shù)判斷及參數(shù)范圍是高考的熱點，有時在壓軸題的位置，多與導數(shù)、不等式、創(chuàng)新性問題結(jié)合命題．（二）本專題考向展示考點突破典例分析考向一函數(shù)的概念與表示【核心知識】函數(shù)的定義域求具體函數(shù)的定義域時，注意要使函數(shù)有意義.復合函數(shù)的定義域(1)若f(x)的定義域為[m，n]，則在f(g(x))中，m≤g(x)≤n，從中解得x的范圍即為f(g(x))的定義域．(2)若f(g(x))的定義域為[m，n]，則由m≤x≤n確定的g(x)的范圍即為f(x)的定義域．二．分段函數(shù)分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，值域等于各段函數(shù)值域的并集．【典例分析】典例1.（2022·浙江·高考真題）已知，則（

）A．25 B．5 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的互化，冪的運算性質(zhì)以及對數(shù)的運算性質(zhì)即可解出．【詳解】因為，，即，所以．故選：C.典例2.（2022·北京·高考真題）函數(shù)的定義域是_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)偶次方根的被開方數(shù)非負、分母不為零得到方程組，解得即可；【詳解】解：因為，所以，解得且，故函數(shù)的定義域為；故答案為：典例3.（2022·天津市瑞景高三期中）已知函數(shù)，則（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)自變量所在的范圍代入解析式求解即可.【詳解】∵，∴，則.故選：B.典例4.（浙江·高考真題（理））已知函數(shù)，則，的最小值是．【答案】，.【解析】【詳解】，若：，當且僅當時，等號成立；若：，當且僅當時，等號成立，故可知．【特別提醒】對于分段函數(shù)的求值(解不等式)問題，必須依據(jù)條件準確找出利用哪一段求解.考向二單調(diào)性與奇偶性【核心知識】1．函數(shù)的奇偶性(1)定義：若函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，則有：f(x)是偶函數(shù)?f(－x)＝f(x)＝f(|x|)；f(x)是奇函數(shù)?f(－x)＝－f(x)．(2)判斷方法：定義法、圖象法、奇偶函數(shù)性質(zhì)法(如奇函數(shù)×奇函數(shù)是偶函數(shù))．2．函數(shù)單調(diào)性判斷方法：定義法、圖象法、導數(shù)法．復合函數(shù)的單調(diào)性牢記“同增異減”.3.奇函數(shù)在其圖象關(guān)于原點對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在其圖象關(guān)于原點對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相反的單調(diào)性，即“奇同偶反”.【典例分析】典例5.（2021·全國·高考真題（理））設(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】分別求出選項的函數(shù)解析式，再利用奇函數(shù)的定義即可.【詳解】由題意可得，對于A，不是奇函數(shù)；對于B，是奇函數(shù)；對于C，，定義域不關(guān)于原點對稱，不是奇函數(shù)；對于D，，定義域不關(guān)于原點對稱，不是奇函數(shù).故選：B典例6.（2019·全國·高考真題（理））設(shè)是定義域為的偶函數(shù)，且在單調(diào)遞減，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由已知函數(shù)為偶函數(shù)，把，轉(zhuǎn)化為同一個單調(diào)區(qū)間上，再比較大?。驹斀狻渴荝的偶函數(shù)，．，又在(0，+∞)單調(diào)遞減，∴，，故選C．典例7.（2020·海南·高考真題）若定義在的奇函數(shù)f(x)在單調(diào)遞減，且f(2)=0，則滿足的x的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】首先根據(jù)函數(shù)奇偶性與單調(diào)性，得到函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的符號，再根據(jù)兩個數(shù)的乘積大于等于零，分類轉(zhuǎn)化為對應(yīng)自變量不等式，最后求并集得結(jié)果.【詳解】因為定義在上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，所以在上也是單調(diào)遞減，且，，所以當時，，當時，，所以由可得：或或解得或，所以滿足的的取值范圍是，故選：D.典例8.（2019·全國·高考真題（理））已知是奇函數(shù)，且當時，.若，則__________.【答案】-3【解析】【分析】當時，代入條件即可得解.【詳解】因為是奇函數(shù)，且當時，．又因為，，所以，兩邊取以為底的對數(shù)得，所以，即．【規(guī)律方法】1.研究函數(shù)問題務(wù)必遵循“定義域優(yōu)先”的原則．2.利用函數(shù)的奇偶性和周期性可以把不在已知區(qū)間上的問題轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上求解.考向三基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用【核心知識】一．指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，a≠1)互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于y＝x對稱，它們的圖象和性質(zhì)分0<a<1，a>1兩種情況，著重關(guān)注兩函數(shù)圖象的異同．二．冪函數(shù)y＝xα的圖象和性質(zhì)，主要掌握α＝1,2,3，，－1五種情況．典例8.（2020·海南·高考真題）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先求出的定義域，然后求出的單調(diào)遞增區(qū)間即可.【詳解】由得或所以的定義域為因為在上單調(diào)遞增所以在上單調(diào)遞增所以故選：D典例9.（2022·福建·福州高三階段練習）若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先得到在上單調(diào)遞增，則，然后再逐個分析判斷即可.【詳解】因為，所以，令，因為和在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，所以由，得，對于A，當時，滿足，而，所以A錯誤，對于B，當時，滿足，而，所以B錯誤，對于C，當時，滿足，而，所以C錯誤，對于D，因為，所以，因為在上單調(diào)遞增，所以，所以D正確，故選：D典例10.【多選題】（2022·重慶·高三階段練習）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合不等式的性質(zhì)逐項分析即得.【詳解】A選項，∵，∴單調(diào)遞增，∴，故A錯誤；B選項，由可知函數(shù)單調(diào)遞增，又，故，∴，即，故B正確；C選項，由題可知，，，故，即，故C正確；D選項，函數(shù)單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，，故，故D錯誤.故選：BC.典例11.（2022·重慶·高三階段練習）已知且，函數(shù)有最小值，則的取值范圍是___________.【答案】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得當時函數(shù)無最小值，不符合題意；當時，利用基本不等式求出在上的最小值，利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出在上的值域為，列出不等式，解之即可.【詳解】當時，x在（0，a）上單調(diào)遞增，所以值域為（-∞，1），故函數(shù)f（x）無最小值，不符合題意；當時，上有，所以，當且僅當即時等號成立，所以的最小值為x在（0，a）上單調(diào)遞減，所以值域為（1，+∞），故函數(shù)f（x）有最小值只需，即，所.故答案為：.【規(guī)律方法】1．三招破解指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)值的大小比較(1)底數(shù)相同，指數(shù)不同的冪用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行比較；(2)底數(shù)相同，真數(shù)不同的對數(shù)值用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較；(3)底數(shù)不同、指數(shù)也不同，或底數(shù)不同、真數(shù)也不同的兩個數(shù)，常引入中間量或結(jié)合圖象比較大?。?．[特別提醒](1)對于含參數(shù)的指數(shù)、對數(shù)問題，在應(yīng)用單調(diào)性時，要注意對底數(shù)進行討論；(2)解決對數(shù)問題時，首先要考慮定義域，其次再利用性質(zhì)求解.考向四周期性與對稱性【核心知識】1.周期性常用的幾個結(jié)論如下：（1）對時，若或（）恒成立，則是的一個周期；（2）對時，若或或（）恒成立，則是的一個周期；（3）若為偶函數(shù)，其圖象又關(guān)于對稱，則是以為一個周期的周期函數(shù)；（4）若為奇函數(shù)，其圖象又關(guān)于對稱，則是以為一個周期的周期函數(shù).2.函數(shù)的對稱性：若，則函數(shù)關(guān)于中心對稱；若，則函數(shù)關(guān)于對稱.【典例分析】典例12.（2021·全國·高考真題）已知函數(shù)的定義域為，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】推導出函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，由已知條件得出，結(jié)合已知條件可得出結(jié)論.【詳解】因為函數(shù)為偶函數(shù)，則，可得，因為函數(shù)為奇函數(shù)，則，所以，，所以，，即，故函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，因為函數(shù)為奇函數(shù)，則，故，其它三個選項未知.故選：B.典例13.（2022·全國·高考真題（理））已知函數(shù)的定義域均為R，且．若的圖像關(guān)于直線對稱，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)對稱性和已知條件得到，從而得到，，然后根據(jù)條件得到的值，再由題意得到從而得到的值即可求解.【詳解】因為的圖像關(guān)于直線對稱，所以，因為，所以，即，因為，所以，代入得，即，所以，.因為，所以，即，所以.因為，所以，又因為，聯(lián)立得，，所以的圖像關(guān)于點中心對稱，因為函數(shù)的定義域為R，所以因為，所以.所以.故選：D典例14.（2022·江蘇·南京市第一高三期中）已知是定義在上的奇函數(shù)且為偶函數(shù)，當時，且．若，則____．【答案】8【分析】根據(jù)已知條件可得的對稱中心，對稱軸，可得為的一個周期，由、以及列關(guān)于的方程組，進而可得時，的解析式，再利用周期性即可求解.【詳解】解：因為為奇函數(shù)，所以的圖象關(guān)于點中心對稱，因為為偶函數(shù)，所以的圖象關(guān)于直線對稱，根據(jù)條件可知，則，即為的一個周期，則，又因為，，所以，解得或（舍），所以當時，，所以，故答案為：.【總結(jié)提升】1.函數(shù)的周期性常常通過函數(shù)的奇偶性得到，函數(shù)的奇偶性體現(xiàn)的是一種對稱關(guān)系，而函數(shù)的單調(diào)性體現(xiàn)的是函數(shù)值隨自變量變化而變化的規(guī)律.因此在解題時，往往需要借助函數(shù)的奇偶性和周期性來確定函數(shù)在另一個區(qū)間上的單調(diào)性，即實現(xiàn)區(qū)間的轉(zhuǎn)換，再利用單調(diào)性解決相關(guān)問題.2．求函數(shù)周期的方法求一般函數(shù)周期常用遞推法和換元法，形如y＝Asin(ωx＋φ)，用公式T＝計算．遞推法：若f(x＋a)＝－f(x)，則f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以周期T＝2a.換元法：若f(x＋a)＝f(x－a)，令x－a＝t，x＝t＋a，則f(t)＝f(t＋2a)，所以周期T＝2a．3.判斷函數(shù)的周期只需證明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可證明函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為T，函數(shù)的周期性常與函數(shù)的其他性質(zhì)綜合命題．4.根據(jù)函數(shù)的周期性，可以由函數(shù)局部的性質(zhì)得到函數(shù)的整體性質(zhì)，在解決具體問題時，要注意結(jié)論：若T是函數(shù)的周期，則kT(k∈Z且k≠0)也是函數(shù)的周期．考向五函數(shù)的零點【核心知識】1．函數(shù)的零點及其與方程根的關(guān)系對于函數(shù)f(x)，使f(x)＝0的實數(shù)x叫做函數(shù)f(x)的零點．函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)的零點就是方程f(x)＝g(x)的根，即函數(shù)y＝f(x)的圖象與函數(shù)y＝g(x)的圖象交點的橫坐標．2．零點存在性定理如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的根．典例15.（2022·北京·北師大實驗高三期中）設(shè)函數(shù)則其零點所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分別計算，，，，，根據(jù)零點存在定理結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，得到答案.【詳解】函數(shù)，所以，，，，，又，因為函數(shù)在上為單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，結(jié)合零點存在定理，可知的零點所在區(qū)間為.故選：B.典例16.【多選題】（2022·湖北·仙桃市田家炳實驗高級高三階段練習）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，對都有成立，當且時，有，則下列說法正確的是（

）A．B．在上有5個零點C．D．直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸【答案】ABC【分析】根據(jù)和奇函數(shù)的結(jié)論：求出和函數(shù)的周期，進而判斷出ABC正確；舉反例判斷出D正確性．【詳解】由題意，令x＝0代入得，，∵函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，∴，則f（1）＝0，故選項A正確；又∵對?x∈R都有成立，∴f（x）＝f（x＋2），則函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù)，又由得∴f（2022）＝f（2×1011＋0）＝f（0）＝0故選項C正確；又f（?2）＝f（0）＝f（2）＝0，故在上，均為的零點∵當x∈（0，1]且時，有，即當時有∴在（0，1]上單調(diào)遞減，由奇函數(shù)的性質(zhì)可得上單調(diào)遞減，再由周期性可得在，，（0，1]，上均單調(diào)遞減，在[?2，2]上有5個零點，即選項B正確；，若直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸，則，得，由選項C得不是函數(shù)的零點，故選項D不正確，故選：ABC．典例17.（2020·山東·高考真題）若，則實數(shù)的值是______.【答案