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第2章矩陣2-6矩陣的秩一、矩陣的秩一、矩陣的秩與元素a12相對(duì)應(yīng)的余子式相應(yīng)的代數(shù)余子式矩陣A

的一個(gè)2階子塊矩陣A的一個(gè)2階子式概念辨析：k階子式、矩陣的子塊、余子式、代數(shù)余子式一、矩陣的秩定義：設(shè)矩陣A

中有一個(gè)不等于零的

r階子式

D，且所有r+1

階子式（如果存在的話）全等于零，那么

D稱(chēng)為矩陣A的最高階非零子式，數(shù)r稱(chēng)為矩陣

A

的秩，記作R(A)．規(guī)定：零矩陣的秩等于零．根據(jù)行列式按行（列）展開(kāi)法則可知，矩陣A

中任何一個(gè)r+2階子式（如果存在的話）都可以用r+1階子式來(lái)表示．如果矩陣A

中所有

r+1階子式都等于零，那么所有r+2階子式也都等于零．事實(shí)上，所有高于r+1階的子式（如果存在的話）也都等于零．

因此矩陣

A

的秩就是A

中非零子式的最高階數(shù)．一、矩陣的秩一、矩陣的秩二、矩陣的秩的計(jì)算根據(jù)上面定理，為求矩陣的秩，只要用初等行變換把矩陣化成行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是該矩陣的秩．二、矩陣的秩的計(jì)算二、矩陣的秩的計(jì)算二、矩陣的秩的計(jì)算二、矩陣的秩的計(jì)算例求矩陣的秩，并求A

的一個(gè)最高階非零子式．解

（1）先用初等行變換把矩陣化成行階梯形矩陣．行階梯形矩陣有3個(gè)非零行，故R(A)=3

．二、矩陣的秩的計(jì)算（2）求A的最高階非零子式．選取行階梯形矩陣中非零行的第一個(gè)非零元所在的列，第一、二、四列.R(A0)=3，計(jì)算

A0的前

3行構(gòu)成的子式因此這就

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