函數(shù)與方程章末歸納整合（人教A版必修1）

章末歸納整合

1．方程的根與函數(shù)的零點方程f(x)＝0有實數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點?函數(shù)y＝f(x)有零點．2．零點判斷法如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內有零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的根．注意由f(a)·f(b)<0可判定在(a，b)內至少有一個變號零點c，除此之外，還可能有其他的變號零點與不變號零點．當f(a)·f(b)>0，則f(x)在(a，b)內可能有零點，也可能無零點．3．二分法只能求出連續(xù)函數(shù)變號零點，另外應注意初始區(qū)間的選擇．4．解決函數(shù)應用題關鍵在于理解題意，提高閱讀能力．一方面要加強對常見函數(shù)模型的理解，弄清其產生的實際背景，把數(shù)學問題生活化．另一方面，要不斷拓寬知識面，提高間接的生活閱歷，諸如了解一些物價、行程、產值、利潤環(huán)保等實際問題，也可以涉及角度、面積、體積、造價等最優(yōu)化問題，培養(yǎng)實際問題數(shù)學化的意識和能力．一、函數(shù)的零點與方程根的關系確定函數(shù)零點的個數(shù)有兩個基本方法，一是利用圖象研究與x軸的交點個數(shù)或轉化成兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)定性判斷．二是判斷區(qū)間(a，b)內是否有零點，可應用f(a)·f(b)<0判斷，但還需結合函數(shù)的圖象和單調性，特別是二重根容易漏掉．【例1】

若方程|ax|＝x＋a(a>0)有兩個解，則a的取值范圍是(

)A．(1，＋∞) B．(0,1)C．(0，＋∞) D．?解析：分三種情況，在同一坐標系中畫出y＝|ax|和y＝x＋a的圖象如圖：結合圖象可知方程|ax|＝x＋a有兩個解時，有a>1.答案：A二、函數(shù)模型及應用把握函數(shù)模型的分類，熟練掌握不同類型應用題的解題步驟，比較例題的類型．通過體會實例來掌握各類應用題的解法．函數(shù)模型的應用實例主要包含三個方面：(1)利用給定的函數(shù)模型解決實際問題；(2)建立確定性函數(shù)模型解決問題；(3)建立擬合函數(shù)模型解決實際問題．三、函數(shù)與方程思想函數(shù)與方程有密切的聯(lián)系，例如函數(shù)f(x)的零點對應著方程f(x)＝0的根．方程的問題可以利用它對應的函數(shù)的性質來解決，而函數(shù)的許多問題則需要方程來解決．函數(shù)的思想是從變量出發(fā)研究的整體性質，而方程則是從未知數(shù)的角度出發(fā)研究函數(shù)在某一狀態(tài)下的性質，函數(shù)問題和方程問題可以相互轉化．【例3】

如圖，二次函數(shù)y＝－mx2＋4m的頂點坐標為(0,2)，矩形ABCD

的頂點B，C在x軸上，A，D在拋物線上，矩形ABCD在拋物線與x軸所圍成的圖形內．(1)求二次函數(shù)解析式．(2)設A點坐標為(x，y)，試求矩形ABCD的周長p關于x的函數(shù)解析式，并求x的取值范圍．四、數(shù)形結合思想的應用函數(shù)的解析式與函數(shù)圖象是函數(shù)的兩種不同表現(xiàn)形式，因此在解決數(shù)學問題時，可以通過數(shù)與形的相互轉化達到“以形助數(shù)，以數(shù)解形”的目的，數(shù)形結合的思想可以將復雜問題簡單化，抽象問題直觀化，此類問題通常是解的個數(shù)的判斷和解的范圍的確定等．【例4】

求不等式x－1<log6(x＋3)的所有整數(shù)解．解：設y1＝x－1，y2＝log6(x＋3)，在同一坐標系中作出它們的圖象如圖所示，兩圖象有兩個交點，一交點的橫坐標顯然在－3和－2之間，另一個交點設為P.因為x＝1時，log6(1＋3)－(1－1)>0；x＝2時，log6(2＋3)－(2－1)<0，所以1<xP<2.綜上，原不等式的所有整數(shù)解集為{－2，－1,0,1}．五、分類討論思想現(xiàn)實世界豐富多彩，同一問題存在各種不同的方面，那么就需要對同一問題的不同方面分類分別研究，函數(shù)中常涉及關于參數(shù)的問題，有的參數(shù)在不同的取值范圍內的值會引起函數(shù)性質的不同變化，如對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的底數(shù)、二次函數(shù)的二次項系數(shù)等．【例5】

某企業(yè)買勞保工作服和手套，市場價每套工作服53元，手套3元一副，該企業(yè)聯(lián)系了兩家商店，由于用貨量大，這兩家商店都給出了優(yōu)惠辦法．商店一：買一贈一，買一套工作服贈一副手套；商店二：打折，按總價的95%收款．該企業(yè)需要工作服75套，手套若干(不少于75副)，若你是企業(yè)老板，你選擇哪一家商店？解：設需要手套x副，付款數(shù)為y元．商店一的優(yōu)惠辦法：y1＝75×53＋3·(x－75)＝3x＋3750(x≥75)．商店二的優(yōu)惠辦法：y2＝(75×53＋3x)×95%＝2.85x＋3776.25(x≥75)．令y1＝y(tǒng)2，即3x＋3750＝2.85x＋3776.25，解得x＝175，即購買175副手套時，兩商店優(yōu)惠相同．令y3＝y(tǒng)1－y2，即y3＝0.15x－26.25，當75≤x<175時，y3<0，即y1<