第十六屆“中環(huán)杯”小學(xué)生思維能力訓(xùn)練活動(dòng)五年級(jí)決賽詳解

第十六屆“第十六屆“中環(huán)杯”小學(xué)生思維能力訓(xùn)練活動(dòng)五年級(jí)決賽第十六屆“中環(huán)杯”中小學(xué)生思維能力訓(xùn)練活動(dòng)五年級(jí)決賽2016年3月5日1230~1400考試時(shí)間：90分鐘滿分：100分A（本大題共8小題，每題68分）【第1題】 計(jì)算：20161111 。 21 42 27 54 【分析與解】計(jì)算。 20161111 21 42 27 5420161

11

1 21 42 201611 14 18201612016114 1814411232PAGE3題】E、ULSR、T分別表示12、34、5、6（不同的字母表示不同的數(shù)字⑴EUL6；⑵SRUT18；⑶UT15；⑷SL8。則六位數(shù)EULSRT。【分析與解】EUL6而1236；所以E,U,L1,2,3；SRUT18而654318；所以S,R,U,T6,5,4,3；⑶因?yàn)閁T15；而1511535所以,T；⑷因?yàn)镾L8；而81824；所以S,L2,4。由⑴和⑶，得U3，則T5L2S4；E1R6EULSRT132465。一個(gè)超過20的自然數(shù)N在14進(jìn)制與20進(jìn)制中都可以表示為回文（回文數(shù)就是指正讀與倒讀都一樣的數(shù)比如123213443都是回文數(shù)而12331不是回文數(shù)。N的最小值為 （答案用10進(jìn)制表示?！痉治雠c解】N20；所以N在14進(jìn)制與20進(jìn)制中都不是一位數(shù)；NNaabb；即Na14ab20b；N15a21b；N既是15的倍數(shù)又是21的倍數(shù)；N是357105

14 20而1057755

，符合題意；10 14 20故N的最小值為105。一位父親要將他的財(cái)產(chǎn)分給他的孩子：首先將1000元以及剩余財(cái)產(chǎn)的110

給老大，其次將2000元以及剩余財(cái)產(chǎn)的110

給老二，再次將3000元以及剩余財(cái)產(chǎn)的110

給老三，以此類推。結(jié)果發(fā)現(xiàn)每個(gè)孩子都分到了相同數(shù)量的財(cái)產(chǎn)。這位父親一共有 個(gè)孩子?！痉治雠c解】（方法一）設(shè)這個(gè)父親的財(cái)產(chǎn)有x元；由老大與老二分得財(cái)產(chǎn)相同，得1000x100012000x10001120001；10

10

10 解得x81000；老大分得1000810001000110

9000元；即每個(gè)孩子都分到了9000元；這位父親一共有8100090009個(gè)孩子。（方法二）因?yàn)槊總€(gè)孩子都分到了相同數(shù)量的財(cái)產(chǎn)；所以老大與老二分得財(cái)產(chǎn)相同；老大分得1000元以及剩余財(cái)產(chǎn)（這里的剩余我們記為A）的1；10老二分得2000元以及剩余財(cái)產(chǎn)（B）1；10那么A的110

B的110

多200010001000元；A比B多1000110

10000元；從A到B依次減少A的110

和2000元；故A的110

為1000020008000元；A為8000110

80000元；這個(gè)父親的財(cái)產(chǎn)有10008000081000元；老大分得1000810001000110

9000元；即每個(gè)孩子都分到了9000元；這位父親一共有8100090009個(gè)孩子。（方法三）設(shè)這位父親一共有n個(gè)孩子；則倒數(shù)第二個(gè)孩子分得1000n1元以及剩余的1；10最后一個(gè)孩子分得1000n元；這1000n元是倒數(shù)第二個(gè)孩子分得1000n之后剩余的1

9；每個(gè)孩子都分到了相同數(shù)量的財(cái)產(chǎn)；由倒數(shù)第二個(gè)孩子與最后一個(gè)孩子分得財(cái)產(chǎn)相同，得1000n11000n11000n；9

10 10解得n9；這位父親一共有9個(gè)孩子?！镜?題】如圖一個(gè)長方形的表格有8列將數(shù)字1、2…按一定順序填入表格（從左往右填等一行填滿后進(jìn)入下一行還是從左往右填一個(gè)學(xué)生先將填有數(shù)字1的格子涂黑接下來跳過1個(gè)格子將填有數(shù)字3格子涂黑；接下來跳過2個(gè)格子，將填有數(shù)字6的格子涂黑；接下來跳過3個(gè)格子，將填有數(shù)字10的格子涂黑。依次類推，直到所有列都含有至少一個(gè)黑格為止（不再繼續(xù)涂黑了。那么，他涂黑的最后一個(gè)格子里的數(shù)字為 。12345678910111213141516【分析與解】（方法一）第1個(gè)涂黑的格子為1；第2個(gè)涂黑的格子為312；第3個(gè)涂黑的格子為6123；第4個(gè)涂黑的格子為101234；……依次類推，第n個(gè)涂黑的格子為12n。123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100101102103104105106107108109110111112113114115116117118119120這樣我們可以得到涂黑的格子依次為11mod8，1233mod8，12366mod8，1234102mod8，125157mod8，126215mod8，127284mod8，128364mod8，129455mod8，1210557mod8，1211662mod8，1212786mod8，1213913mod8，12141051mod8，12151200mod8，至此8余0~7的數(shù)都出現(xiàn)了；即所有列都含有至少一個(gè)黑格；他涂黑的最后一個(gè)格子里的數(shù)字為120。（方法二）第1個(gè)涂黑的格子為1；第2個(gè)涂黑的格子為312；第3個(gè)涂黑的格子為6123；第4個(gè)涂黑的格子為101234；……依次類推，第n個(gè)涂黑的格子為12n。涂黑的格子mod8的余數(shù)依次為1，3，6，2，7，5，4，…至此，除了8余0，其余mod8余1~7都已經(jīng)出現(xiàn)；故我們只要考慮12n0mod8；8|12n1nn1；216|nn1；nn1故16|n或16|n1；我們希望n要盡可能的??；則取n116；n15；這樣，他涂黑的最后一個(gè)格子里的數(shù)字為1215115152120。PAGE6題】一個(gè)瓶子里有1001個(gè)藍(lán)球、1000個(gè)紅球、1000個(gè)綠球，同時(shí)小明手中還有足夠的這三種顏色的球。接下來，小明每次從瓶子中取出兩個(gè)球，然后再按照下面的規(guī)則將一個(gè)球或兩個(gè)球放入瓶中。⑴如果取出一個(gè)藍(lán)球、一個(gè)綠球，則放回去一個(gè)紅球；⑵如果取出一個(gè)紅球、一個(gè)綠球，則放回去一個(gè)紅球；⑶如果取出兩個(gè)紅球，則放回去兩個(gè)藍(lán)球；⑷如果取出的兩個(gè)球不是上面3種情況，則放回去一個(gè)綠球。不斷重復(fù)上述操作，直到瓶中只剩下一個(gè)球?yàn)橹?。剩下的一個(gè)球是 球（填“紅“藍(lán)“綠“不確定”【分析與解】操作類問題；奇偶性。取球的情況紅、藍(lán)、綠三種顏色的球的個(gè)數(shù)變化拿出的兩個(gè)球放回的一個(gè)球或兩個(gè)球藍(lán)球個(gè)數(shù)紅球個(gè)數(shù)綠球個(gè)數(shù)⑴1個(gè)藍(lán)球、1個(gè)綠球1個(gè)紅球111⑵1個(gè)紅球、1個(gè)綠球1個(gè)紅球不變不變1⑶2個(gè)紅球2個(gè)藍(lán)球22不變⑷2個(gè)藍(lán)球1個(gè)綠球2不變12個(gè)綠球1個(gè)綠球不變不變11個(gè)藍(lán)球、1個(gè)紅球1個(gè)綠球111從表中我們可以觀察出，紅球個(gè)數(shù)與藍(lán)球個(gè)數(shù)的奇偶性同時(shí)發(fā)生變化；而開始瓶子里有1001個(gè)藍(lán)球、1000個(gè)紅球；即開始時(shí)，藍(lán)球有奇數(shù)個(gè)，紅球有偶數(shù)個(gè)，藍(lán)球與紅球個(gè)數(shù)的奇偶性不同；則無論怎么操作，藍(lán)球與紅球個(gè)數(shù)的奇偶性始終不同；0個(gè)藍(lán)球、0個(gè)紅球、1個(gè)綠球”的情況。而我們注意到，放回去的球的情況，沒有“放回去1即也不可能出現(xiàn)“1個(gè)藍(lán)球、0個(gè)紅球、0個(gè)綠球”的情況。綜上所述，剩下的一個(gè)球是紅球。從圖a的正六邊形網(wǎng)格中選出圖b的形狀，有 種不同的選法（注意：圖b可以旋轉(zhuǎn)。圖b圖a【分析與解】計(jì)數(shù)。首先，我們考慮圖b不旋轉(zhuǎn)的情況下；一共與有4565424種不同的選法；再結(jié)合圖b有3種不同的方向，且每種方向選法數(shù)相同；故從圖a的正六邊形網(wǎng)格中選出圖b的形狀，有24372種不同的選法。如圖，在△ABC中，ABC90，BC8。D和E分別是AB和AC上的點(diǎn)，使得CDDE，DCBEDA。若△EDC的面積為50，則AB的長度為 。CEA D B【分析與解】幾何；勾股定理，弦圖；相似三角形，金字塔模型。CEAEEFABF在△BCD與△FDE中，CBDDFE90 DCBEDF CDDE

F D B所以△BCD≌△FDE；（弦圖的一半）ECEABCFDBDFEBCDFDE；因?yàn)锽90；所以BCDBDC90；所以FDEBDC90；因?yàn)镕DECDEBDC180；所以CDE90；這樣我們可以得到△EDC是等腰直角三角形；且由S△EDC50，得CDDE10；而BCFD8；再結(jié)合勾股定理，得BDFE6。

F D B在△在△ABC和△AFE中， BACFAEABCAFE90；所以△ABC∽△AFE；（金字塔模型；CEA F D BCEA所以EFAF；BC AB6AB14；

F D B8 AB解得AB56。B本大題共4小題，每題8分，共2【第9題】將如圖兩種由單位小正方形組成的圖（這種圖形的面積均為3放入814的大長方形網(wǎng)格中要求任意兩塊圖形之間不存在公共點(diǎn)。那么814的大長方形網(wǎng)格中最多可以放入兩種類型的圖形共 個(gè)【分析與解】在814的大長方形網(wǎng)格中，有915135個(gè)格點(diǎn)；而無論是“L型”還是“一字型”的三連塊，每個(gè)都有8個(gè)格點(diǎn)；1358167；故在814的大長方形網(wǎng)格中，可以放入兩種類型的圖形的個(gè)數(shù)不超過16另一方面，擺放16個(gè)的例子可以構(gòu)造出來（構(gòu)造方式不惟一。造法一 造法二綜上所述，814的大長方形網(wǎng)格中最多可以放入兩種類型的圖形共16個(gè)。10題】Sn表示自然數(shù)n的數(shù)碼和，比如S1231236。如果兩個(gè)不同的正整數(shù)m、n，滿足 m100 n100 mn

，那么我們就稱m、n構(gòu)成一個(gè)數(shù)對(duì)m,n。mSnn2Sm數(shù)對(duì)m,n共有 對(duì)?！痉治雠c解】數(shù)論，同余；計(jì)數(shù)。我們知道，一個(gè)數(shù)與其數(shù)字之和mod9nSnmod9；則nSn0mod9；由mSnn2Sm，得SmnSnmSm0mod9；m0mod9；m是9的倍數(shù)；因?yàn)閙100且m為正整數(shù)；所以m9，18，27，…，99，代入nSnm2Sm進(jìn)行逐一計(jì)算；nab10ab（b為廣義兩位數(shù)；Snab；nSn9a，即9am2Sm⑴當(dāng)m9時(shí)，Sm9，9a992，a1，舍去；⑵當(dāng)m18時(shí)，Sm189，9a1892，a0，n1~9，有9對(duì)；m27Sm2799a2792a1n10~19，有10對(duì)；m36Sm3699a3692a2n20~29，有10對(duì)；m45Sm4599a4592a3n30~39，有10對(duì)；m54Sm5499a5492a4n40~49，有10對(duì)；m63Sm6399a6392a5n50~59，有10對(duì)；m72Sm7299a7292a6n60~69，有10對(duì)；⑼當(dāng)m81時(shí)，Sm819，9a8192，a7，n70~79，有10對(duì)；⑽當(dāng)m90時(shí)，Sm909，9a9092，a9，n80~89，有10對(duì)；m99Sm99189a99182a7n70~79，有10對(duì)；綜上所述，數(shù)對(duì),n共有90109對(duì)。9個(gè)10【第11題】如圖，正方形ABCD的邊長為4，正方形CEFG的邊長為12，D、C、E三點(diǎn)在一條直線上。聯(lián)結(jié)DF，作GI//DF與DA的延長線交于點(diǎn)I。作IHDF與DF交于點(diǎn)H。則IH的長度為 。BHG FBHIAD C E【分析與解】幾何，勾股定理，相似三角形。（方法一）JBHJBHIAD C E過點(diǎn)G作GJDF，垂足為J。Rt△DEFE90EF12DE41216；DF20；因?yàn)镋90；所以EDFEFD90；因?yàn)镋FGJFGEFD90；所以EDFJFG；在△DEF和△FJG中，DEFFJG90 EDFJFG ；所以△DEF∽△FJG；所以FEDF；GJ FG12

20；12解得GJ36；5因?yàn)镚I//DFIHDFGJDF；IHGJ；IH36。5（方法二）BHK G FBHIAD C E分別延長DI、FG，相交于點(diǎn)K。Rt△KDFK90KD12KF41216；DF20；因?yàn)镚I//DF；所以△KDF∽△KIG；（金字塔模型）所以KFKDDF；KG KI IG所以161220；4 KI IG解得KI3，IG5；S△KIGKGKI24326；S△KDFKFKD21612296；S梯形DFGIS△KDFS△KIG96690；S梯形DFGIIGDFIH2；520IH290IH36。5【第12題】將一個(gè)444的立方體切割成64個(gè)111的小立方體然后將其中16個(gè)111的小立方體染成紅色要求與任意一條棱平行的4個(gè)小立方體中都正好有1個(gè)小方體被染成紅色不同的染色方法有 （旋轉(zhuǎn)后相同的染色方法也視為不同的染色方法。【分析與解】一個(gè)444的立方體，從上往下一共有4層，每層是一個(gè)441的長方體；由題意“與任意一條棱平行的4個(gè)小立方體中，都正好有1每層441中，都正好有4個(gè)正方體染成紅色；且從上往下看，每層染成紅色的小立方體的俯視圖為一個(gè)44對(duì)這個(gè)44正方形，我們分別用“1234”各4個(gè)，表示第1、2、3、4層對(duì)應(yīng)的小方格染成紅色；并且按照題意，這個(gè)44正方形中，每行、每列“1234”各1個(gè)。故問題轉(zhuǎn)化為“用“1234”各4個(gè)填在一個(gè)44正方形中，要求每行、每列“1234”各1個(gè)，不同的填法有多少種？”我們先考慮“11個(gè)，且不同列，有432124種填法；我們不妨設(shè)為圖1的情況。1111圖122”有3種填法；我們不妨設(shè)為圖2的情況；12111圖2222（如圖3）222（如圖4）222（如圖5）1221221122112121221121221213 4 533”有23”填在第三列（如圖6~8；123211232112211231212211231221216 7 8圖6余下的有2（如圖9和圖10圖7余下的有1（如圖11）圖8余下的有1（如圖12）123421412342143341243211234214343123421123441233412234112343142241343219 10

圖11

圖122”填在第23”填在第3列，有4不同的填法有24324576種。原題不同的染色方法有576種。本大題共2小題，每題100【第13題】A、BBk（k1BA途中，兩車在CABDCD1k（請(qǐng)寫出解題過程）AD 2【分析與解】行程問題。甲A BD C乙因?yàn)锳B的中點(diǎn)為D點(diǎn)；所以ADBD1AB；2因?yàn)镃D1；AD 2所以AD:DC:CB2:1:1；BAkAC由相同的時(shí)間，速度比等于路程比，得1kABBCACBA413412；k2。【第14題】如圖，根據(jù)下面的要求填滿此表：⑴每個(gè)小方格內(nèi)填入一個(gè)數(shù)字，這個(gè)數(shù)字必須是小于10的自然數(shù)；；⑶最左邊列的小方格不能填入數(shù)字0；⑷從上往下數(shù)第1pqpq都是質(zhì)數(shù)；⑸從上往下數(shù)第2（比如3、5；⑹從上往下數(shù)第3行的四個(gè)數(shù)碼從左至右構(gòu)成一個(gè)四位數(shù)，這個(gè)四位數(shù)是一個(gè)完全平方數(shù)；⑺從上往下數(shù)第4行的四個(gè)數(shù)碼從左至右構(gòu)成一個(gè)四位數(shù)，這個(gè)四位數(shù)是37的倍數(shù)?！痉治雠c解】數(shù)論綜合。ABCDEFCDEEGGEHGG每個(gè)小方格填上字母，同一區(qū)域內(nèi)的小方格填字母，相同的字母代表相同的數(shù)字，不同的字母既可以代表不同的數(shù)字也可以代表相同的數(shù)字。由⑹得，EEGG是完全平方數(shù)；完全平