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文檔簡(jiǎn)介
§3.4
函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性一、函數(shù)單調(diào)性的判定法二、曲線的凹凸性與拐點(diǎn)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習(xí)函數(shù)單調(diào)性的判定法曲線的凹凸性與拐點(diǎn)第三章f
(x)>0f
(x)<0觀察結(jié)果函數(shù)單調(diào)增加時(shí)導(dǎo)數(shù)大于零
函數(shù)單調(diào)減少時(shí)導(dǎo)數(shù)小于零
觀察與思考
函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有什么關(guān)系?目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習(xí)函數(shù)單調(diào)性的判定法曲線的凹凸性與拐點(diǎn)函數(shù)單調(diào)性的判定法一、函數(shù)單調(diào)性的判定法定理1(函數(shù)單調(diào)性的判定法)
設(shè)函數(shù)f(x)在[a
b]上連續(xù)
在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)
(1)如果在(a
b)內(nèi)f
(x)>0
則f(x)在[a
b]上單調(diào)增加
(2)如果在(a
b)內(nèi)f
(x)<0
則f(x)在[a
b]上單調(diào)減少
由拉格朗日中值公式
有
f(x2)
f(x1)=f
(x)(x2
x1)(x1<x<x2)
因?yàn)閒
(x)>0
x2
x1>0
所以
f(x2)
f(x1)
f
(x)(x2
x1)>0
即f(x1)<f(x2).即f(x)在(a
b)內(nèi)單調(diào)增加
證明
只證(1)
在(a
b)內(nèi)任取兩點(diǎn)x1
x2(x1<x2)
一、函數(shù)單調(diào)性的判定法目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習(xí)函數(shù)單調(diào)性的判定法曲線的凹凸性與拐點(diǎn)函數(shù)單調(diào)性的判定法說(shuō)明:判定法中的開(kāi)區(qū)間可換成其他各種區(qū)間
定理1(函數(shù)單調(diào)性的判定法)
設(shè)函數(shù)f(x)在[a
b]上連續(xù)
在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)
(1)如果在(a
b)內(nèi)f
(x)>0
則f(x)在[a
b]上單調(diào)增加
(2)如果在(a
b)內(nèi)f
(x)<0
則f(x)在[a
b]上單調(diào)減少
例1
判定函數(shù)y
x
sinx
在[0
2p]上的單調(diào)性
解
因?yàn)樵?0,2p)內(nèi)
y
1
cosx>0
所以函數(shù)y
x
sinx
在[0
2p]上的單調(diào)增加
一、函數(shù)單調(diào)性的判定法目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習(xí)函數(shù)單調(diào)性的判定法曲線的凹凸性與拐點(diǎn)函數(shù)單調(diào)性的判定法因?yàn)樵?
0)內(nèi)y
<0
所以函數(shù)y
ex
x
1在(
0]上單調(diào)減少
因?yàn)樵?0
)內(nèi)y
>0
所以函數(shù)y
ex
x
1在[0
)上單調(diào)增加
解
函數(shù)y
ex
x
1的定義域?yàn)?
)
y
ex
1
例2
討論函數(shù)y
ex
x
1的單調(diào)性
一、函數(shù)單調(diào)性的判定法目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習(xí)函數(shù)單調(diào)性的判定法曲線的凹凸性與拐點(diǎn)函數(shù)單調(diào)性的判定法
解
函數(shù)的定義域?yàn)?
)
所以函數(shù)在[0
)上單調(diào)增加
因?yàn)閤>0時(shí)
y
>0
所以函數(shù)在(
0]上單調(diào)減少
因?yàn)閤<0時(shí)
y
<0
例3
一、函數(shù)單調(diào)性的判定法目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習(xí)函數(shù)單調(diào)性的判定法曲線的凹凸性與拐點(diǎn)函數(shù)單調(diào)性的判定法說(shuō)明:
單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)除駐點(diǎn)外,也可是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).例如,2)如果函數(shù)在某駐點(diǎn)兩邊導(dǎo)數(shù)同號(hào),
則不改變函數(shù)的單調(diào)性.例如,一、函數(shù)單調(diào)性的判定法目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習(xí)函數(shù)單調(diào)性的判定法曲線的凹凸性與拐點(diǎn)函數(shù)單調(diào)性的判定法
1
設(shè)函數(shù)y
f(x)在[a
b]上連續(xù)
在(a
b)內(nèi)可導(dǎo)
x1
x2是
f
(x)的兩個(gè)相鄰的零點(diǎn)
問(wèn)f(x)在[x1
x2]上是否單調(diào)?
2
如何把區(qū)間[a
b]劃分成一些小區(qū)間
使函數(shù)
f(x)在每個(gè)小區(qū)間上都是單調(diào)的?討論
(1)確定函數(shù)的定義域
(2)求出導(dǎo)數(shù)f
(x)
(3)求出f
(x)全部零點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)
(4)判斷或列表判斷
(5)綜合結(jié)論
確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟一、函數(shù)單調(diào)性的判定法目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習(xí)函數(shù)單調(diào)性的判定法曲線的凹凸性與拐點(diǎn)函數(shù)單調(diào)性的判定法xf
(x)f(x)
例4
確定函數(shù)f(x)
2x3
9x2
12x
3的單調(diào)區(qū)間
解
這個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)?
)
f
(x)
6x2
18x
12
6(x
1)(x
2)
導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)為x1
1、x2
2
函數(shù)f(x)在區(qū)間(
1]和[2
)內(nèi)單調(diào)增加
在區(qū)間[1
2]上單調(diào)減少
(
1)(1
2)(2
)↗↘↗+-+
y
2x3
9x2
12x
3
列表
一、函數(shù)單調(diào)性的判定法目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習(xí)函數(shù)單調(diào)性的判定法曲線的凹凸性與拐點(diǎn)函數(shù)單調(diào)性的判定法說(shuō)明:
一般地
如果f
(x)在某區(qū)間內(nèi)的有限個(gè)點(diǎn)處為零
在其余各點(diǎn)處均為正(或負(fù))時(shí)
那么f(x)在該區(qū)間上仍舊是單調(diào)增加(或減少)的
例5
討論函數(shù)y
x3的單調(diào)性
解
函數(shù)的定義域?yàn)?
)
y
3x2
顯然當(dāng)x
0時(shí)
y
0;
當(dāng)x
0時(shí)
y
>0
因此函數(shù)y
x3在區(qū)間(
0]及[0,
)內(nèi)都單調(diào)增加
函數(shù)在(
)內(nèi)是單調(diào)增加的
一、函數(shù)單調(diào)性的判定法目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習(xí)函數(shù)單調(diào)性的判定法曲線的凹凸性與拐點(diǎn)函數(shù)單調(diào)性的判定法因?yàn)楫?dāng)x>1時(shí)
f
(x)>0
所以f(x)在[1
)上f(x)單調(diào)增加
例6
證明
因此當(dāng)x>1時(shí)
f(x)>f(1)=0
即一、函數(shù)單調(diào)性的判定法目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習(xí)函數(shù)單調(diào)性的判定法曲線的凹凸性與拐點(diǎn)函數(shù)單調(diào)性的判定法二、曲線的凹凸性與拐點(diǎn)函數(shù)曲線除了有升有降之外,還有不同的彎曲方向,如何根據(jù)函數(shù)本身判斷函數(shù)曲線的彎曲方向呢?曲線的凹凸性與拐點(diǎn)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習(xí)函數(shù)單調(diào)性的判定法曲線的凹凸性與拐點(diǎn)曲線的凹凸性定義設(shè)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)
如果對(duì)I上任意兩點(diǎn)x1
x2
恒有那么稱f(x)在I上的圖形是凹的
那么稱f(x)在I上的圖形是凸的
如果恒有二、曲線的凹凸性與拐點(diǎn)曲線的凹凸性與拐點(diǎn)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習(xí)函數(shù)單調(diào)性的判定法曲線的凹凸性與拐點(diǎn)觀察與思考
觀察切線斜率的變化與曲線凹凸性的關(guān)系.二、曲線的凹凸性與拐點(diǎn)曲線的凹凸性與拐點(diǎn)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習(xí)函數(shù)單調(diào)性的判定法曲線的凹凸性與拐點(diǎn)定理2(曲線凹凸性的判定法)
設(shè)f(x)在[a
b]上連續(xù)
在(a
b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù).
若在(a
b)內(nèi)f
(x)>0
則f(x)在[a
b]上的圖形是凹的
若在(a
b)內(nèi)f
(x)<0
則f(x)在[a
b]上的圖形是凸的
例7
判斷曲線y
ln
x
的凹凸性
因?yàn)樵诤瘮?shù)y
ln
x的定義域(0
)內(nèi)
y
<0
所以曲線y
ln
x是凸的
解
二、曲線的凹凸性與拐點(diǎn)曲線的凹凸性與拐點(diǎn)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習(xí)函數(shù)單調(diào)性的判定法曲線的凹凸性與拐點(diǎn)
例8
判斷曲線y
x3的凹凸性
解
y
3x2
y
6x
由y
0
得x
0.
因?yàn)楫?dāng)x<0時(shí)
y
<0
所以曲線在(
0]內(nèi)是凸的
因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí)
y
>0
所以曲線在[0
)內(nèi)是凹的
說(shuō)明:1)若在某點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)為0,則曲線的凹凸性不變.在其兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)不變號(hào),二、曲線的凹凸性與拐點(diǎn)曲線的凹凸性與拐點(diǎn)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習(xí)函數(shù)單調(diào)性的判定法曲線的凹凸性與拐點(diǎn)拐點(diǎn)
連續(xù)曲線y
f(x)上凹弧與凸弧的分界點(diǎn)稱為該曲線的拐點(diǎn)
拐點(diǎn)討論
如何確定曲線y
f(x)的拐點(diǎn)?如果(x0,
f(x0))是拐點(diǎn)且
f
(x0)=0存在,問(wèn)f
(x0)=?
如何找可能的拐點(diǎn)?二、曲線的凹凸性與拐點(diǎn)曲線的凹凸性與拐點(diǎn)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習(xí)函數(shù)單調(diào)性的判定法曲線的凹凸性與拐點(diǎn)提示
如果在x0的左右兩側(cè)f
(x)異號(hào),則(x0,
f(x0))是拐點(diǎn).
在拐點(diǎn)(x0,
f(x0))處f
(x0)=0或f
(x0)不存在.
只有f
(x0)等于零或不存在,(x0,
f(x0))才可能是拐點(diǎn).2)根據(jù)拐點(diǎn)的定義及上述定理,可得拐點(diǎn)的判別法如下:若曲線或不存在,但在兩側(cè)異號(hào),則點(diǎn)是曲線的一個(gè)拐點(diǎn).二、曲線的凹凸性與拐點(diǎn)曲線的凹凸性與拐點(diǎn)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習(xí)函數(shù)單調(diào)性的判定法曲線的凹凸性與拐點(diǎn)
例9
求曲線y
2x3
3x2
2x
14的拐點(diǎn)
解
y
6x2
6x
12
只有f
(x0)等于零或不存在,(x0,
f(x0))才可能是拐點(diǎn).如果在x0的左右兩側(cè)f
(x)異號(hào),則(x0,
f(x0))是拐點(diǎn).二、曲線的凹凸性與拐點(diǎn)曲線的凹凸性與拐點(diǎn)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習(xí)函數(shù)單調(diào)性的判定法曲線的凹凸性與拐點(diǎn)
例10
求曲線y
3x4
4x3
1的拐點(diǎn)及凹、凸的區(qū)間
解
(1)函數(shù)y
3x4
4x3
1的定義域?yàn)?
)
(4)列表判斷
在區(qū)間(
0]和[2/3
)上曲線是凹的;
在區(qū)間[0
2/3]上曲線是凸的
點(diǎn)(0
1)和(2/3
11/27)是曲線的拐點(diǎn)
(0)0(02/3)2/3(2/3
)+-+∪∩∪00111/27f
(x)f(x)x二、曲線的凹凸性與拐點(diǎn)曲線的凹凸性與拐點(diǎn)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習(xí)函數(shù)單調(diào)性的判定法曲線的凹凸性與拐點(diǎn)討論
曲線y
x4是否有拐點(diǎn)?提示
y
4x3
y
12x2
當(dāng)x
0時(shí)
y
>0
在區(qū)間(
)
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