304 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性

§3.4

函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性一、函數(shù)單調(diào)性的判定法二、曲線的凹凸性與拐點(diǎn)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習(xí)函數(shù)單調(diào)性的判定法曲線的凹凸性與拐點(diǎn)第三章f

(x)>0f

(x)<0觀察結(jié)果函數(shù)單調(diào)增加時(shí)導(dǎo)數(shù)大于零

函數(shù)單調(diào)減少時(shí)導(dǎo)數(shù)小于零

觀察與思考

函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有什么關(guān)系？目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習(xí)函數(shù)單調(diào)性的判定法曲線的凹凸性與拐點(diǎn)函數(shù)單調(diào)性的判定法一、函數(shù)單調(diào)性的判定法定理1(函數(shù)單調(diào)性的判定法)

設(shè)函數(shù)f(x)在[a

b]上連續(xù)

在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)

(1)如果在(a

b)內(nèi)f

(x)>0

則f(x)在[a

b]上單調(diào)增加

(2)如果在(a

b)內(nèi)f

(x)<0

則f(x)在[a

b]上單調(diào)減少

由拉格朗日中值公式

有

f(x2)

f(x1)=f

(x)(x2

x1)(x1<x<x2)

因?yàn)閒

(x)>0

x2

x1>0

所以

f(x2)

f(x1)

f

(x)(x2

x1)>0

即f(x1)<f(x2).即f(x)在(a

b)內(nèi)單調(diào)增加

證明

只證(1)

在(a

b)內(nèi)任取兩點(diǎn)x1

x2(x1<x2)

一、函數(shù)單調(diào)性的判定法目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習(xí)函數(shù)單調(diào)性的判定法曲線的凹凸性與拐點(diǎn)函數(shù)單調(diào)性的判定法說(shuō)明：判定法中的開(kāi)區(qū)間可換成其他各種區(qū)間

定理1(函數(shù)單調(diào)性的判定法)

設(shè)函數(shù)f(x)在[a

b]上連續(xù)

在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)

(1)如果在(a

b)內(nèi)f

(x)>0

則f(x)在[a

b]上單調(diào)增加

(2)如果在(a

b)內(nèi)f

(x)<0

則f(x)在[a

b]上單調(diào)減少

例1

判定函數(shù)y

x

sinx

在[0

2p]上的單調(diào)性

解

因?yàn)樵?0,2p)內(nèi)

y

1

cosx>0

所以函數(shù)y

x

sinx

在[0

2p]上的單調(diào)增加

一、函數(shù)單調(diào)性的判定法目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習(xí)函數(shù)單調(diào)性的判定法曲線的凹凸性與拐點(diǎn)函數(shù)單調(diào)性的判定法因?yàn)樵?

0)內(nèi)y

<0

所以函數(shù)y

ex

x

1在(

0]上單調(diào)減少

因?yàn)樵?0

)內(nèi)y

>0

所以函數(shù)y

ex

x

1在[0

)上單調(diào)增加

解

函數(shù)y

ex

x

1的定義域?yàn)?

)

y

ex

1

例2

討論函數(shù)y

ex

x

1的單調(diào)性

一、函數(shù)單調(diào)性的判定法目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習(xí)函數(shù)單調(diào)性的判定法曲線的凹凸性與拐點(diǎn)函數(shù)單調(diào)性的判定法

解

函數(shù)的定義域?yàn)?

)

所以函數(shù)在[0

)上單調(diào)增加

因?yàn)閤>0時(shí)

y

>0

所以函數(shù)在(

0]上單調(diào)減少

因?yàn)閤<0時(shí)

y

<0

例3

一、函數(shù)單調(diào)性的判定法目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習(xí)函數(shù)單調(diào)性的判定法曲線的凹凸性與拐點(diǎn)函數(shù)單調(diào)性的判定法說(shuō)明:

單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)除駐點(diǎn)外,也可是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).例如,2)如果函數(shù)在某駐點(diǎn)兩邊導(dǎo)數(shù)同號(hào),

則不改變函數(shù)的單調(diào)性.例如,一、函數(shù)單調(diào)性的判定法目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習(xí)函數(shù)單調(diào)性的判定法曲線的凹凸性與拐點(diǎn)函數(shù)單調(diào)性的判定法

1

設(shè)函數(shù)y

f(x)在[a

b]上連續(xù)

在(a

b)內(nèi)可導(dǎo)

x1

x2是

f

(x)的兩個(gè)相鄰的零點(diǎn)

問(wèn)f(x)在[x1

x2]上是否單調(diào)？

2

如何把區(qū)間[a

b]劃分成一些小區(qū)間

使函數(shù)

f(x)在每個(gè)小區(qū)間上都是單調(diào)的？討論

(1)確定函數(shù)的定義域

(2)求出導(dǎo)數(shù)f

(x)

(3)求出f

(x)全部零點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)

(4)判斷或列表判斷

(5)綜合結(jié)論

確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟一、函數(shù)單調(diào)性的判定法目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習(xí)函數(shù)單調(diào)性的判定法曲線的凹凸性與拐點(diǎn)函數(shù)單調(diào)性的判定法xf

(x)f(x)

例4

確定函數(shù)f(x)

2x3

9x2

12x

3的單調(diào)區(qū)間

解

這個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)?

)

f

(x)

6x2

18x

12

6(x

1)(x

2)

導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)為x1

1、x2

2

函數(shù)f(x)在區(qū)間(

1]和[2

)內(nèi)單調(diào)增加

在區(qū)間[1

2]上單調(diào)減少

(

1)(1

2)(2

)↗↘↗＋－＋

y

2x3

9x2

12x

3

列表

一、函數(shù)單調(diào)性的判定法目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習(xí)函數(shù)單調(diào)性的判定法曲線的凹凸性與拐點(diǎn)函數(shù)單調(diào)性的判定法說(shuō)明：

一般地

如果f

(x)在某區(qū)間內(nèi)的有限個(gè)點(diǎn)處為零

在其余各點(diǎn)處均為正(或負(fù))時(shí)

那么f(x)在該區(qū)間上仍舊是單調(diào)增加(或減少)的

例5

討論函數(shù)y

x3的單調(diào)性

解

函數(shù)的定義域?yàn)?

)

y

3x2

顯然當(dāng)x

0時(shí)

y

0;

當(dāng)x

0時(shí)

y

>0

因此函數(shù)y

x3在區(qū)間(

0]及[0,

)內(nèi)都單調(diào)增加

函數(shù)在(

)內(nèi)是單調(diào)增加的

一、函數(shù)單調(diào)性的判定法目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習(xí)函數(shù)單調(diào)性的判定法曲線的凹凸性與拐點(diǎn)函數(shù)單調(diào)性的判定法因?yàn)楫?dāng)x>1時(shí)

f

(x)>0

所以f(x)在[1

)上f(x)單調(diào)增加

例6

證明

因此當(dāng)x>1時(shí)

f(x)>f(1)=0

即一、函數(shù)單調(diào)性的判定法目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習(xí)函數(shù)單調(diào)性的判定法曲線的凹凸性與拐點(diǎn)函數(shù)單調(diào)性的判定法二、曲線的凹凸性與拐點(diǎn)函數(shù)曲線除了有升有降之外,還有不同的彎曲方向,如何根據(jù)函數(shù)本身判斷函數(shù)曲線的彎曲方向呢？曲線的凹凸性與拐點(diǎn)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習(xí)函數(shù)單調(diào)性的判定法曲線的凹凸性與拐點(diǎn)曲線的凹凸性定義設(shè)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)

如果對(duì)I上任意兩點(diǎn)x1

x2

恒有那么稱f(x)在I上的圖形是凹的

那么稱f(x)在I上的圖形是凸的

如果恒有二、曲線的凹凸性與拐點(diǎn)曲線的凹凸性與拐點(diǎn)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習(xí)函數(shù)單調(diào)性的判定法曲線的凹凸性與拐點(diǎn)觀察與思考

觀察切線斜率的變化與曲線凹凸性的關(guān)系.二、曲線的凹凸性與拐點(diǎn)曲線的凹凸性與拐點(diǎn)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習(xí)函數(shù)單調(diào)性的判定法曲線的凹凸性與拐點(diǎn)定理2(曲線凹凸性的判定法)

設(shè)f(x)在[a

b]上連續(xù)

在(a

b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù).

若在(a

b)內(nèi)f

(x)>0

則f(x)在[a

b]上的圖形是凹的

若在(a

b)內(nèi)f

(x)<0

則f(x)在[a

b]上的圖形是凸的

例7

判斷曲線y

ln

x

的凹凸性

因?yàn)樵诤瘮?shù)y

ln

x的定義域(0

)內(nèi)

y

<0

所以曲線y

ln

x是凸的

解

二、曲線的凹凸性與拐點(diǎn)曲線的凹凸性與拐點(diǎn)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習(xí)函數(shù)單調(diào)性的判定法曲線的凹凸性與拐點(diǎn)

例8

判斷曲線y

x3的凹凸性

解

y

3x2

y

6x

由y

0

得x

0.

因?yàn)楫?dāng)x<0時(shí)

y

<0

所以曲線在(

0]內(nèi)是凸的

因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí)

y

>0

所以曲線在[0

)內(nèi)是凹的

說(shuō)明:1)若在某點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)為0,則曲線的凹凸性不變.在其兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)不變號(hào),二、曲線的凹凸性與拐點(diǎn)曲線的凹凸性與拐點(diǎn)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習(xí)函數(shù)單調(diào)性的判定法曲線的凹凸性與拐點(diǎn)拐點(diǎn)

連續(xù)曲線y

f(x)上凹弧與凸弧的分界點(diǎn)稱為該曲線的拐點(diǎn)

拐點(diǎn)討論

如何確定曲線y

f(x)的拐點(diǎn)？如果(x0,

f(x0))是拐點(diǎn)且

f

(x0)=0存在,問(wèn)f

(x0)=？

如何找可能的拐點(diǎn)？二、曲線的凹凸性與拐點(diǎn)曲線的凹凸性與拐點(diǎn)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習(xí)函數(shù)單調(diào)性的判定法曲線的凹凸性與拐點(diǎn)提示

如果在x0的左右兩側(cè)f

(x)異號(hào),則(x0,

f(x0))是拐點(diǎn).

在拐點(diǎn)(x0,

f(x0))處f

(x0)=0或f

(x0)不存在.

只有f

(x0)等于零或不存在,(x0,

f(x0))才可能是拐點(diǎn).2)根據(jù)拐點(diǎn)的定義及上述定理,可得拐點(diǎn)的判別法如下:若曲線或不存在,但在兩側(cè)異號(hào),則點(diǎn)是曲線的一個(gè)拐點(diǎn).二、曲線的凹凸性與拐點(diǎn)曲線的凹凸性與拐點(diǎn)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習(xí)函數(shù)單調(diào)性的判定法曲線的凹凸性與拐點(diǎn)

例9

求曲線y

2x3

3x2

2x

14的拐點(diǎn)

解

y

6x2

6x

12

只有f

(x0)等于零或不存在,(x0,

f(x0))才可能是拐點(diǎn).如果在x0的左右兩側(cè)f

(x)異號(hào),則(x0,

f(x0))是拐點(diǎn).二、曲線的凹凸性與拐點(diǎn)曲線的凹凸性與拐點(diǎn)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習(xí)函數(shù)單調(diào)性的判定法曲線的凹凸性與拐點(diǎn)

例10

求曲線y

3x4

4x3

1的拐點(diǎn)及凹、凸的區(qū)間

解

(1)函數(shù)y

3x4

4x3

1的定義域?yàn)?

)

(4)列表判斷

在區(qū)間(

0]和[2/3

)上曲線是凹的;

在區(qū)間[0

2/3]上曲線是凸的

點(diǎn)(0

1)和(2/3

11/27)是曲線的拐點(diǎn)

(0)0(02/3)2/3(2/3

)＋－＋∪∩∪00111/27f

(x)f(x)x二、曲線的凹凸性與拐點(diǎn)曲線的凹凸性與拐點(diǎn)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束小結(jié)與作業(yè)思考與練習(xí)函數(shù)單調(diào)性的判定法曲線的凹凸性與拐點(diǎn)討論

曲線y

x4是否有拐點(diǎn)？提示

y

4x3

y

12x2

當(dāng)x

0時(shí)

y

>0

在區(qū)間(

)