《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課件 4.1 數(shù)學(xué)期望

概率論

與數(shù)理統(tǒng)計(jì)理學(xué)院數(shù)學(xué)系“悟道詩---嚴(yán)加安”隨機(jī)非隨意，概率破玄機(jī)；無序隱有序，統(tǒng)計(jì)解迷離．第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征第一節(jié)數(shù)學(xué)期望二、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望一、隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)四、小結(jié)一、隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律是定義1：若則稱為離散型隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，簡稱期望或均值，記為.隨機(jī)變量，求．例1：解：因?yàn)?，故其概率函?shù)為于是按照數(shù)學(xué)期望的定義有隨機(jī)變量，求．例2：解：因?yàn)?，故其概率函?shù)為于是按照數(shù)學(xué)期望的定義有設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度是定義2：若則稱為連續(xù)型隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，簡稱期望或均值，記為.隨機(jī)變量，求．例3：解：因?yàn)?，故其概率密度為于是按照?shù)學(xué)期望的定義有隨機(jī)變量，求．例4：解：因?yàn)?，故其概率密度為于是按照?shù)學(xué)期望的定義有隨機(jī)變量，求．例5：解：因?yàn)?，故其概率密度為于是按照?shù)學(xué)期望的定義有求其數(shù)學(xué)期望．隨機(jī)變量服從柯西（Cauchy）分布，概率密度為例6：解：因?yàn)楣势鋽?shù)學(xué)期望不存在．二、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量的函數(shù)依然是隨機(jī)變量，故隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望一般可以通過求得其概率分布再進(jìn)行數(shù)學(xué)期望求解．但是這種方法一般比較繁瑣，況且有時(shí)我們并不想知道隨機(jī)變量函數(shù)的具體分布，這時(shí)我們將利用如下定理直接計(jì)算隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望．設(shè)

為一隨機(jī)變量，

且存在，則定理1：（1）若是離散型隨機(jī)變量，其概率函數(shù)為則的數(shù)學(xué)期望為（2）若是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為，則的數(shù)學(xué)期望為求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望．設(shè)隨機(jī)變量的概率分布如下例7：解：方法一：易求得的概率分布為故其數(shù)學(xué)期望-10120.20.10.30.4-1030.30.50.2求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望．設(shè)隨機(jī)變量的概率分布如下例7：解：方法二：按照公式的數(shù)學(xué)期望-10120.20.10.30.4因?yàn)?，其概率密度為設(shè)隨機(jī)變量，求及例8：解：故設(shè)隨機(jī)變量，求及例8：解：國際市場每年對我國某種出口商品的需求量是隨機(jī)變量（噸），其服從區(qū)間上的均勻分布，每售出一噸該商品，可為國家賺取外匯3萬元；若銷售不出去，則每噸商品需要貯存費(fèi)1萬元．問該商品應(yīng)出口多少噸才能使國家的平均收益最大？例9：解：設(shè)該商品應(yīng)出口噸，顯然．國家收益（單位：萬元）是需求量的函數(shù)，記為，故有例9：解：由題意，的概率密度為則的數(shù)學(xué)期望為例9：解：是的函數(shù)，為使最大，易知于是，該商品應(yīng)出口3500噸才能使國家的平均收益最大.設(shè)

為二隨機(jī)變量，

且存在，則定理2：（1）若是離散型隨機(jī)變量，其概率函數(shù)為則的數(shù)學(xué)期望為（2）若是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為，則的數(shù)學(xué)期望為設(shè)為常量，則三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)利用性質(zhì)求解數(shù)學(xué)期望往往比直接求法簡潔．（1）設(shè)為常量，則（4）設(shè)隨機(jī)變量獨(dú)立，則（2）設(shè)為常量，則（3）該性質(zhì)亦可推廣至有限情形.隨機(jī)變量，求．例10：解：引入且相互獨(dú)立，則又，故隨機(jī)變量，求．例11：解：引入（但不一定獨(dú)立），則又，故因