《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課件 1.1 隨機事件

概率論

與數(shù)理統(tǒng)計理學院數(shù)學系“悟道詩---嚴加安”隨機非隨意，概率破玄機；無序隱有序，統(tǒng)計解迷離．第一章隨機事件及其概率第一節(jié)隨機事件二、隨機事件四、小結一、隨機試驗與樣本空間三、隨機事件的關系及其運算

在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象.如：“水從高處流向低處”確定性現(xiàn)象的特征：條件完全決定結果“同性電荷必然互斥”“太陽不會從西邊升起”（1）確定性現(xiàn)象一、隨機試驗與樣本空間結果可能為:“1”,“2”,“3”,“4”,“5”,“6”.

實例2

“拋擲一枚骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)”.

實例1

“用同一門炮向同一目標發(fā)射同一種炮彈多發(fā)，觀察彈著落點的情況”.結果:“彈著點會不盡相同”.（2）隨機現(xiàn)象隨機現(xiàn)象的特點：

概率論是研究和揭示隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的一門數(shù)學學科.

在概率論中，把在一定條件下可以重復試驗或觀察，且能預知所有可能結果，但每次試驗的結果不能預知，而大量重復試驗的結果卻能呈現(xiàn)出某種規(guī)律性的現(xiàn)象稱為隨機現(xiàn)象．條件不能完全決定結果

與隨機現(xiàn)象相應的試驗稱為隨機試驗，簡稱為試驗．對隨機現(xiàn)象所做的試驗如果滿足：（1）可重復性，即在相同條件下可重復進行；定義1：（2）可知性，即每次試驗的所有可能結果不止一個且都明確可知；（3）隨機性，即每次試驗結果出現(xiàn)前無法預知會出現(xiàn)哪個結果．我們稱這樣的試驗為隨機試驗，有時簡稱試驗，通常用大寫英文字母等表示．E1：拋擲一枚硬幣,觀察正面、反面出現(xiàn)的情況；下面給出幾個隨機試驗的具體例子：

E2：拋擲一枚硬幣兩次,觀察正面出現(xiàn)的次數(shù)；

E3

：在東西南北四面同樣受敵時，同時選擇兩個方向突圍；

E4

：拋一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)；例1：

E5

：記錄某放射性物質(zhì)在一分鐘內(nèi)放射的粒子數(shù)；

E6：在一批燈泡中任意抽取一個，測試它的壽命x；

E7：考察一個汽車通過十字路口時遇紅燈的停留時間t；

E8：考察用同一把尺子測量不同物體長度時取整的舍入誤差r.隨機試驗E的所有可能結果構成的集合稱為樣本空間，記作Ω

或S．定義2：因此，例1中隨機試驗E1的樣本空間為樣本空間的每一個元素，即隨機試驗的每個結果稱為樣本點，通常用或等表示．若記H=正面、T=反面，則E1的樣本空間也可以表示為隨機試驗E2的樣本空間為隨機試驗E3的樣本空間為隨機試驗E4的樣本空間為同學們可試著寫一寫隨機試驗E5~E8的樣本空間．隨機試驗E5的樣本空間為隨機試驗E6的樣本空間為隨機試驗E7的樣本空間為隨機試驗E8的樣本空間為二、隨機事件隨機試驗的樣本空間Ω

中用來表示某些結果的樣本點的集合稱為隨機事件，簡稱事件．定義3：隨機事件是樣本空間Ω

的子集，用大寫英文字母等表示．對于隨機現(xiàn)象，我們關心的往往不只是其所有的可能結果，而更加關心某些部分結果．如：擲骰子出現(xiàn)偶數(shù)點、燈泡壽命超過5000小時．

如：在試驗E4中,骰子“出現(xiàn)1點”,“出現(xiàn)2點”,“出現(xiàn)6點”,“點數(shù)不大于4”,“點數(shù)為偶數(shù)”等都為隨機事件．

是所有樣本點構成的集合,它在每次試驗中都必然發(fā)生,稱為必然事件,空集

不含任何樣本點,在每次試驗中都不會發(fā)生,稱為不可能事件．

由一個樣本點組成的單點集{e}稱為基本事件．不可能事件與必然事件是特殊的隨機事件．注：

設試驗為從裝有三個白球(記為1,2,3號)與兩個黑球(記為4,5號)的袋中任取兩個球．(a)如果只觀察顏色，則樣本空間為(b)如果只觀察號碼，則樣本空間為其中ωi

j是樣本點,表示取出的是第i號球和第j號球．在E4中，基本事件有6個：如：在E5中，基本事件有無窮個：例2：（3個樣本點）（10個樣本點）三、隨機事件的關系及其運算

1.包含關系若事件A發(fā)生必導致B發(fā)生,則稱事件B

包含事件A,

記作

B包含A

BA若事件A包含事件B,而且事件B包含事件A,則稱事件A與事件B相等,記作A=B.任何一個隨機事件都是樣本空間

的一個子集，故隨機事件之間的關系與運算可以看作集合之間的關系與運算．

2.相等關系

3.事件的和（或并）若事件A

與事件B至少一個發(fā)生，則稱事件A與事件B

的和(或并)

,記作推廣

稱為可列個事件和，簡記為和，簡記為稱為n個事件的,

ABA與B的并

4.事件的交（或積）若事件A與事件B

都發(fā)生，則稱事件A與事件B

的交(或積)

,記作簡記推廣

稱為可列個事件和，簡記為或的和，簡記為或稱為

n

個事件的

BAA與B的交

5.事件的差若事件A

發(fā)生且事件

B

不發(fā)生，則稱事件A與事件B

的差

,記作

即如：在擲骰子的實驗中，事件A為“出現(xiàn)奇數(shù)點”，事件

B

為“點數(shù)不大于4”，則A與B的差6.互不相容（或互斥）事件若事件A

與事件

B兩個不相容事件A

與B的和記作A

+

B；n個

注：不能同時發(fā)生，則稱事件A與事件B互不相容（或互斥），記作互不相容事件的和記作（簡作）；可列個互不相容事件的和記作（簡記作）.A與B互斥

7.對立事件在每次隨機試驗中，若事件A

與事件注：任意隨機事件A均存在對立事件且唯一.件B

有且僅有一個發(fā)生，即且，則稱事件A與事件B互為對立事件（或逆事件），記作A與B對立由對立事件定義可知：事件的運算律：（1）交換律：（2）結合律：（3）分配律：（4）德摩根（DeMorgan）律(或?qū)ε悸?：注：以上運算律可推廣到有限多個或可列多個情形.例3：甲、乙、丙三人各投籃一次，記A“甲投中”，B“乙投中”，C“丙投中”，用上述三個事件分別表示下述各事件：（1）甲未投中：（2）甲投中而乙未投中：（3）三人中只有丙未投中：（4）三人中至少有一人投中：（5）三人中至少有一人未投中：（6）三人中恰有一人投中：（7）三人中恰有兩人投中：（8）三均未投中：（9）三人中至少兩人投中：（10）三人中至多一人投中：（11）三人中至多兩人投中：注：用簡單事件表示復雜事件，表示方法往往不唯一，如：例3的（5）和（11），對于同一事件，表示方法簡繁立見.所以，在解決具體問題時，根據(jù)需要選擇一種恰當?shù)姆椒〞箚栴}描述變得簡潔有效.小結1.主要概念：樣本點，樣本空間，隨機事件.2.用樣本空間的子集表示