選修31《數(shù)學(xué)史選講》全冊(cè)解讀節(jié)選第五講微積分的誕生

《數(shù)學(xué)史選講》解讀

第一講早期的算術(shù)與幾何

第二講古希臘數(shù)學(xué)第三講中國(guó)古代數(shù)學(xué)瑰寶第四講平面解析幾何的產(chǎn)生

第五講微積分的誕生第六講

近代數(shù)學(xué)兩巨星第七講千古謎題第八講對(duì)無(wú)窮的深入思考劉徽的數(shù)學(xué)成就

劉徽的《九章算術(shù)注》包含了他本人的許多創(chuàng)造，其中最突出的成就是“割圓術(shù)”和求積理論。若設(shè)圓面積為，內(nèi)接正n邊形邊長(zhǎng)為，面積為則OABCD第五講微積分的誕生17世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)成就是微積分的發(fā)明。微積分是描述運(yùn)動(dòng)過(guò)程的數(shù)學(xué)，它的產(chǎn)生為力學(xué)、天文學(xué)以及后來(lái)的電磁學(xué)等提供了必不可少的工具。微積分產(chǎn)生的前提有兩個(gè)：幾何坐標(biāo)和函數(shù)概念。而這兩個(gè)方面由于笛卡兒和費(fèi)馬等人的工作，其基礎(chǔ)已基本具備?，F(xiàn)代科技的推動(dòng)力對(duì)微積分的發(fā)明起了直接推動(dòng)作用的是現(xiàn)代科技的發(fā)展。17世紀(jì)，開(kāi)普勒提出行星運(yùn)行定律，從數(shù)學(xué)上推證這些定律成了當(dāng)時(shí)自然科學(xué)的中心課題，伽利略的自由落體定律、動(dòng)量定律、拋物體運(yùn)動(dòng)性質(zhì)等也激起了人們用數(shù)學(xué)方法研究動(dòng)力學(xué)的熱情。凡此一切都?xì)w結(jié)為如下一些基本問(wèn)題：確定非勻速運(yùn)動(dòng)物體的速度和加速度需要研究瞬時(shí)變化率問(wèn)題；望遠(yuǎn)鏡的設(shè)計(jì)需要確定透鏡曲面上任一點(diǎn)的法線(xiàn)因而需要研究曲線(xiàn)的切線(xiàn)問(wèn)題；確定炮彈的最大射程等需要研究最大、最小值；確定行星運(yùn)行的路程、向徑掃過(guò)的面積等又需要計(jì)算曲線(xiàn)長(zhǎng)、曲邊圖形的面積等。這一切都需要有一種新的計(jì)算工具的誕生。牛頓、萊布尼茨之前的微積分方法微積分理論的建立聚集了許許多多數(shù)學(xué)家的努力，如：開(kāi)普勒的求積術(shù)卡瓦列里不可分量原理笛卡兒求切線(xiàn)方程的“圓法”費(fèi)馬求極大、極小值的方法巴羅的“微分三角形”沃利斯的“無(wú)窮算術(shù)”

流數(shù)術(shù)解決的基本問(wèn)題牛頓在《流數(shù)簡(jiǎn)論》中提出并解決了如下基本問(wèn)題：（1）設(shè)有兩個(gè)或更多個(gè)物體在同一時(shí)間內(nèi)描畫(huà)線(xiàn)段x，y，z，…，已知表示這些線(xiàn)段關(guān)系的方程，求它們的速度p，q，r，…。（2）已知表示線(xiàn)段x和運(yùn)動(dòng)速度之比p/q的關(guān)系方程式，求另一線(xiàn)段y。微積分基本定理這兩個(gè)問(wèn)題實(shí)際上是對(duì)微積分可解決的一些特殊問(wèn)題的一般化，如求瞬時(shí)速度、切線(xiàn)斜率就可歸結(jié)為第一問(wèn)題，而第二問(wèn)題明顯是第一問(wèn)題的逆運(yùn)算。牛頓把他問(wèn)題（2）看成問(wèn)題（1）的逆運(yùn)算，并給出了標(biāo)準(zhǔn)解法?！读鲾?shù)簡(jiǎn)論》討論了如何借助于逆運(yùn)算來(lái)求面積，從而建立了“微積分基本定理”。牛頓的誕生伽利略去世的那一年，牛頓誕生了。牛頓（1643—1727）的時(shí)代，正是科學(xué)在英國(guó)興起的時(shí)代。1662年，英國(guó)皇家學(xué)會(huì)成立，以其為中心出現(xiàn)了一大批熱心科學(xué)研究和技術(shù)發(fā)明的人，他們的許多新發(fā)現(xiàn)和發(fā)明使英國(guó)成了當(dāng)時(shí)歐洲科學(xué)技術(shù)的中心。牛頓的學(xué)習(xí)生涯牛頓出生在一個(gè)中等農(nóng)戶(hù)家庭，是個(gè)遺腹子，而且早產(chǎn)，出生后勉強(qiáng)活了下來(lái)。中學(xué)時(shí)學(xué)習(xí)成績(jī)并不突出，但十分喜歡做機(jī)械玩具和模型。17歲時(shí)，他母親把他從當(dāng)時(shí)就讀的中學(xué)召回田莊務(wù)農(nóng)，但牛頓不喜歡干農(nóng)活。在牛頓的舅舅和格蘭瑟姆中學(xué)校長(zhǎng)的竭力勸說(shuō)下，他母親才在九個(gè)月后允許牛頓返校學(xué)習(xí)。當(dāng)時(shí)史托克斯校長(zhǎng)對(duì)牛頓的母親說(shuō)：“在繁雜的農(nóng)活中埋沒(méi)這樣一位天才，對(duì)世界來(lái)說(shuō)將是多么巨大的損失?！焙髞?lái)牛頓在他舅舅的支持下就讀于劍橋大學(xué)三一學(xué)院。牛頓成為盧卡斯教授1665-1666年，牛頓為躲避倫敦的瘟疫而回到家鄉(xiāng)愛(ài)爾索普。這期間他發(fā)現(xiàn)了二項(xiàng)式定理和流數(shù)法，進(jìn)行了顏色的試驗(yàn)，并開(kāi)始思考萬(wàn)有引力問(wèn)題。1667年回到劍橋被選為三一學(xué)院的研究員，1669年接替巴羅成為數(shù)學(xué)盧卡斯教授。1670年起，在劍橋大學(xué)正式開(kāi)課，但由于過(guò)于艱深，他的講課沒(méi)能受到學(xué)生的歡迎。從光學(xué)研究到引力的研究1670年起，牛頓主要研究光學(xué)，制造反射望遠(yuǎn)鏡，發(fā)現(xiàn)了太陽(yáng)光的合成性質(zhì)，并被選為皇家學(xué)會(huì)會(huì)員。正是在光學(xué)領(lǐng)域中發(fā)生了他與胡克（R.Hooke，1635—1703）的爭(zhēng)吵，既影響了科學(xué)研究的氣氛，也影響了牛頓的健康。經(jīng)過(guò)近十年的中斷，1679年底牛頓的注意力重新集中于引力的研究，并于80年代上半期全力寫(xiě)成了《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》。《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》1687年，哈雷（天文學(xué)家，皇家學(xué)會(huì)會(huì)員，發(fā)現(xiàn)了著名的哈雷彗星，約76年出現(xiàn)一次，是太陽(yáng)系的一個(gè)成員）用自己的錢(qián)資助，出版了牛頓的著作《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》。這本書(shū)被公認(rèn)為科學(xué)史上最偉大的著作（愛(ài)因斯坦稱(chēng)贊為“無(wú)比輝煌的演繹成就”）。它成了理論力學(xué)、天文學(xué)、宇宙學(xué)的可以補(bǔ)充但不可超越的理論基石。全書(shū)的核心是力學(xué)三定律（慣性定律、加速度定律、作用與反作用定律）和萬(wàn)有引力定律。萬(wàn)有引力定律萬(wàn)有引力定律是從開(kāi)普勒行星運(yùn)行三大定律中用數(shù)學(xué)方法推導(dǎo)出來(lái)的，其公式是

它是一個(gè)普遍的公式。牛頓的萬(wàn)有引力定律使日心說(shuō)得意被人們所廣泛接受。而推導(dǎo)這一公式的數(shù)學(xué)工具正是微積分方法。

《光學(xué)》自《原理》出版后，牛頓幾乎停止了自然科學(xué)方面的研究工作。到1704年，胡克去世后，他發(fā)表了《光學(xué)》，把自己三四十年前對(duì)光學(xué)的研究工作加以整理出版，其中包括了對(duì)光的反射、折射、色散的研究?！对怼泛汀豆鈱W(xué)》是牛頓的兩部基本著作?；始覍W(xué)會(huì)會(huì)長(zhǎng)、造幣局局長(zhǎng)長(zhǎng)1693年，牛頓精神分裂癥的癥狀日見(jiàn)嚴(yán)重，于是離開(kāi)了劍橋大學(xué)，1695年任造幣局督辦，1699年任造幣局局長(zhǎng)，同年被選為巴黎科學(xué)院的外籍院士。1703年，當(dāng)了30年英國(guó)皇家學(xué)會(huì)會(huì)員后任皇家學(xué)會(huì)會(huì)長(zhǎng)，1705年被女皇封為爵士，成為貴族。晚年頗為孤寂，只有一個(gè)外甥女與他做伴，直到1727年去世。蒲柏的詩(shī)牛頓死后被葬于英國(guó)的皇家墓地西敏寺。為了頌揚(yáng)這位偉人，當(dāng)時(shí)英國(guó)著名的詩(shī)人蒲柏（A.Pope，1688—1744）曾寫(xiě)道：NatureandNature’slawslayhidinnight,Godsaid“l(fā)etNewtonbe”andallwaslight.這兩句銘文后來(lái)被鑄在鐵板上,鑲嵌在牛頓誕生的屋子的墻上。

萊布尼茨的微積分1684年萊布尼茲發(fā)表了他的第一篇微積分學(xué)論文《一種求極大與極小值和求切線(xiàn)的新方法》，簡(jiǎn)稱(chēng)《新方法》，這也是數(shù)學(xué)史上第一篇正式發(fā)表的微積分文獻(xiàn)。文中定義了微分并廣泛采用了微分記號(hào)dx、dy、dny等（用difference的首字母）。1686年，發(fā)表了第一篇積分學(xué)論文《深?yuàn)W的幾何與不可分量及無(wú)限的分析》，文中初步論述了積分或求積問(wèn)題與微分或切線(xiàn)問(wèn)題的互逆關(guān)系。并引進(jìn)了積分符號(hào)（sum首字母的拉長(zhǎng)）。牛頓的積分號(hào)是字母上加一點(diǎn)或一撇。萊布尼茨的其它貢獻(xiàn)萊布尼茨的博學(xué)多才在科學(xué)史上是罕見(jiàn)的，他的著作涉及數(shù)學(xué)、力學(xué)、機(jī)械、地質(zhì)、邏輯、哲學(xué)、法律、外交、神學(xué)、語(yǔ)言學(xué)等。在1666年發(fā)表的《組合藝術(shù)》等相關(guān)文稿中，提出了符號(hào)邏輯的思想，引導(dǎo)了布爾、羅素等人的數(shù)理邏輯。在1679年撰寫(xiě)的《二進(jìn)制算術(shù)》首創(chuàng)了二進(jìn)記數(shù)法。萊布尼茨還是制造計(jì)算機(jī)的先驅(qū)，1674年在巴黎科學(xué)院當(dāng)眾演示了他制成的“算術(shù)計(jì)算機(jī)”，這是第一臺(tái)能做四則運(yùn)算的計(jì)算機(jī)。微積分優(yōu)先權(quán)的爭(zhēng)議牛頓和萊布尼茨兩人作為當(dāng)時(shí)的大名人，相互敬慕還曾有書(shū)信來(lái)往。1687年，牛頓在《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》中首次發(fā)表他的流數(shù)方法時(shí)，在前言中有這樣一段話(huà)：“十年前，我在給學(xué)問(wèn)淵博的數(shù)學(xué)家萊布尼茨的信中曾指出：我發(fā)現(xiàn)了一種方法，可用以求極大值、極小值、作切線(xiàn)以及解決其它類(lèi)似的問(wèn)題，……。這位名人回信說(shuō)他也發(fā)現(xiàn)了類(lèi)似的方法，并把他的方法給我看了。他的方法與我的大同小異，除了用語(yǔ)、符號(hào)、算式和量的產(chǎn)生方式外，沒(méi)有實(shí)質(zhì)性區(qū)別。”但在第三版的時(shí)候牛頓刪去了這段話(huà)，原因是他們之間發(fā)生了優(yōu)先權(quán)的爭(zhēng)議。

微積分的發(fā)展18世紀(jì)微積分繼續(xù)深入發(fā)展，這種發(fā)展是與廣泛的應(yīng)用緊密相連的。18世紀(jì)可以說(shuō)是分析的時(shí)代，也是向現(xiàn)代數(shù)學(xué)過(guò)渡的重要時(shí)期。對(duì)于微積分算法的推廣，英國(guó)與歐洲大陸國(guó)家是循著不同的路線(xiàn)進(jìn)行的，英國(guó)學(xué)者仍然維護(hù)牛頓的傳統(tǒng)用幾何語(yǔ)言論證流數(shù)法，歐洲大陸學(xué)者則采用萊布尼茨的分析方法。參考文獻(xiàn)[1]駱祖英．?dāng)?shù)學(xué)史教學(xué)導(dǎo)論．杭州：浙江教育出版社，1996[2]李文林．?dāng)?shù)學(xué)史教程．北京：高等教育出版社，2000[3]汪曉勤，韓祥臨．中學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)史．北京：科學(xué)出版社，2002[4]張奠宙．?dāng)?shù)