近世代數(shù)基礎(chǔ)

近世代數(shù)主講教師:劉興祥延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院代數(shù)與數(shù)學(xué)教育教研室二零壹叁年八月二十八日1延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院

近世代數(shù)基礎(chǔ)

(AbstractAlgebra)2學(xué)歷是銅牌能力是銀牌性格是金牌3挫折比順境更重要夢(mèng)想比條件更重要行動(dòng)比空想更重要失敗比成功更重要方向比努力更重要45678近世代數(shù)基礎(chǔ)(AbstractAlgebra)

近世代數(shù)是以群、環(huán)、域等代數(shù)系統(tǒng)為其基本內(nèi)容的一門數(shù)學(xué)分支.它對(duì)高等代數(shù)中的數(shù)域、多項(xiàng)式、矩陣、線性空間等概念做了進(jìn)一步的概括,加之群、環(huán)、域等代數(shù)系統(tǒng)具有抽象性的特點(diǎn)并適宜于培養(yǎng)學(xué)生抽象思維和邏輯推理能力.因而近世代數(shù)不僅是將來學(xué)習(xí)現(xiàn)代代數(shù)的一個(gè)入門書,而且與幾何、拓?fù)洹⒎汉陀邢迶?shù)學(xué)等學(xué)科都有著密切的聯(lián)系.910第一章

緒論11第1講

緒論一關(guān)于代數(shù)的觀念二數(shù)學(xué)史的發(fā)展階段三代數(shù)發(fā)展的階段(數(shù)學(xué)發(fā)展史)四代數(shù)學(xué)發(fā)展的四個(gè)階段五幾類與近世代數(shù)的應(yīng)用有關(guān)的實(shí)際問題12

第二章基本概念13

第1講集合及其之間的關(guān)系——集合第2講集合及其之間的關(guān)系——對(duì)應(yīng)關(guān)系(映射)(人造關(guān)系)

第3講代數(shù)運(yùn)算適應(yīng)的規(guī)則——運(yùn)算律第4講與代數(shù)運(yùn)算發(fā)生關(guān)系的映射——同態(tài)映射第5講等價(jià)關(guān)系與分類14第1講基本概念之集合及其之間的關(guān)系

—集合1

集合與集合元素的定義2集合與集合元素的表示符號(hào)3集合與集合元素之間的關(guān)系——屬于關(guān)系4集合的分類標(biāo)準(zhǔn)及分類5集合的表示方法6集合之間的內(nèi)在關(guān)系——包含關(guān)系7集合運(yùn)算8運(yùn)算律9特殊集合的表示符號(hào)10集合的補(bǔ)充說明11包含與排斥原理15第2講基本概念之集合及其之間的關(guān)系

—對(duì)應(yīng)關(guān)系(映射)(人造關(guān)系)1映射概念回憶2映射及相關(guān)定義3映射的充要條件4映射舉例5符號(hào)說明6映射的合成及相關(guān)結(jié)論7映射及其映射相等概念的推廣8集合及其之間的關(guān)系——特殊的映射（代數(shù)運(yùn)算）9集合及其之間的關(guān)系——一一映射

16

第3講基本概念之代數(shù)運(yùn)算適應(yīng)的規(guī)則

——運(yùn)算律

1與一種代數(shù)運(yùn)算發(fā)生關(guān)系的運(yùn)算律（1）結(jié)合律（2）交換律（3）消去律2與兩種代數(shù)運(yùn)算發(fā)生關(guān)系的運(yùn)算律（1）第一分配律（2）第二分配律17

第4講基本概念之與代數(shù)運(yùn)算發(fā)生關(guān)系的映射

——同態(tài)映射

1同態(tài)映射

2同態(tài)滿射

3同構(gòu)映射

4自同構(gòu)映射

5舉例

18

第5講基本概念之等價(jià)關(guān)系與集合的分類

——商集

1商集2等價(jià)關(guān)系3集合的分類4集合A上的等價(jià)關(guān)系與集合A的分類之間的聯(lián)系19第三章群

20第1講代數(shù)系統(tǒng)第2講半群第3講群的定義及性質(zhì)第4講有限群第5講子群的定義及性質(zhì)第6講群中元素的階第7講循環(huán)群第8講變換群第9講特殊子群第10講群的同態(tài)與同構(gòu)第11講群與對(duì)稱的關(guān)系21第1講代數(shù)系統(tǒng)

2代數(shù)系統(tǒng)的舉例1代數(shù)系統(tǒng)及子代數(shù)系統(tǒng)的定義22第2講半群

1

半群、子半群、交換半群的定義及判定定理2半群的舉例3半群中冪的定義及性質(zhì)23

1群的第一定義

第3講群的定義及性質(zhì)

2單位元及逆元的定義

3群的第二定義

4

群的舉例

5群的重要性質(zhì)24

第4講有限群

1群的分類及群的階

2有限群的判定定理3由有限集合上代數(shù)運(yùn)算的運(yùn)算表觀察代數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)4有限集合上代數(shù)運(yùn)算適合結(jié)合律的有限群舉例251子群定義

第5講子群的定義及性質(zhì)2子群的判別方法3子群的性質(zhì)26

1元素階的定義

2元素階的舉例

3元素階的性質(zhì)

第6講群中元素的階272循環(huán)群與元素階的關(guān)系

1循環(huán)群的定義及舉例3循環(huán)群的一般形式5循環(huán)群生成元的確定定理第7講循環(huán)群4循環(huán)群的生成元的個(gè)數(shù)定理28第8講變換群

1變換、滿變換、單變換、一一變換的定義及符號(hào)說明2特殊集合關(guān)于乘法的結(jié)論3變換群舉例4特殊的變換群291循環(huán)群子群的一些結(jié)論

第9講特殊子群2循環(huán)群概念的推廣3特殊子群的幾何意義探討4子群的陪集5正規(guī)子群與商群301群的同態(tài)的定義及舉例2同態(tài)的性質(zhì)及結(jié)論3同構(gòu)的性質(zhì)及結(jié)論4循環(huán)群的構(gòu)造及循環(huán)群之間的同態(tài)5同態(tài)基本定理與同構(gòu)定理第10講群的同態(tài)與同構(gòu)31

第11講群與對(duì)稱的關(guān)系

1序言2幾何對(duì)稱3代數(shù)對(duì)稱32

第四章環(huán)論33第1講環(huán)的定義及基本性質(zhì)第2講特殊元素及性質(zhì)第3講環(huán)的分類及特殊環(huán)的性質(zhì)第4講環(huán)的特征第5講子環(huán)、理想(主理想)及素理想和極大理想第6講環(huán)的同態(tài)與同構(gòu)第7講特殊環(huán)第8講商域第9講有限域34

第1講環(huán)的定義及基本性質(zhì)

1環(huán)的定義2環(huán)的舉例3環(huán)的初步性質(zhì)35

第2講特殊元素及性質(zhì)

1特殊元素—零元、負(fù)元及單位元、逆元、零因子

2零因子的性質(zhì)

3求環(huán)中的特殊元素——舉例36第3講環(huán)的分類及特殊環(huán)的性質(zhì)

1特殊環(huán)的定義

2除環(huán)的性質(zhì)

3有限環(huán)的幾個(gè)相關(guān)結(jié)論

4域中元素的計(jì)算方法

5循環(huán)環(huán)的性質(zhì)37

第4講

環(huán)的特征

1環(huán)的特征的定義

2特殊環(huán)的特征(數(shù))及相關(guān)結(jié)論

3舉例38

第5講子環(huán)、理想(主理想)及素理想和極大理想

1子環(huán)

2理想(主理想)3素理想和極大理想39

第6講環(huán)的同態(tài)與同構(gòu)

1環(huán)的同態(tài)及同構(gòu)的定義2環(huán)的同態(tài)的舉例3環(huán)的同態(tài)基本性質(zhì)4

商環(huán)及環(huán)的同態(tài)基本定理5環(huán)的同構(gòu)基本定理40第7講特殊環(huán)

1矩陣環(huán)

2多項(xiàng)式環(huán)

3剩余類環(huán)41

第8講商域

1構(gòu)造域的方法

2挖補(bǔ)定理

3擴(kuò)域定理

4擴(kuò)域的形式

5商域的定義及結(jié)論

6舉例42第9講有限域43

第五章

整環(huán)里的因子分解44第1講不可約元、素元、最大公因子第2講唯一分解環(huán)第3講特殊的唯一分解環(huán)45

1整環(huán)的單位定義及性質(zhì)2整除的定義及性質(zhì)3相伴關(guān)系的性質(zhì)4不可約元5最大公因子6最大公因子、互素的概念推廣到多元的情形第1講不可約元、素元、最大公因子46

第2講唯一分解環(huán)

1唯一分解元、唯一分解元的標(biāo)準(zhǔn)分解式、唯一分解環(huán)、非唯一分解環(huán)舉例2最大公因子的存在性定理、不可約元與素元的關(guān)系定理3唯一分解環(huán)的判定定理47

第3講特殊的唯一分解環(huán)1主理想環(huán)2歐氏環(huán)3唯一分解環(huán)上的一元多項(xiàng)式環(huán)4因子分解與多項(xiàng)式的根48第六章群論補(bǔ)充49第1講共軛元與共軛子群第2講群的直積第3講群在集合上的作用第4講西羅定理50

研究群內(nèi)一些特殊類型的元素和子群第1講共軛元與共軛子群

1中心和中心化子

2共軛元和共軛子群

3共軛子群與正規(guī)化子51一群的外直積

第2講群的直積

1群的外直積的定義

2群的外直積的基本性質(zhì)

3群的外直積定義的推廣

4群的外直積舉例二群的內(nèi)直積

1群的內(nèi)直積定義2群的內(nèi)直積的充要條件3群的內(nèi)直積定義的推廣三群的內(nèi)外直積52一群在集合上的作用的定義第3講群在集合上的作用二群在集合上的作用舉例1置換群在集合上的作用2群在自身集合上的作用3群的共軛變換定義了群在它自身上的作用4群在自身的全體子群的集合上的作用三X中的元素x在G下的軌道1X中的元素x在G下的軌道定義2X中的元素x在G下的軌道舉例四軌道的相關(guān)結(jié)論53

第4講西羅定理54

第一章緒論55

緒論

第一講5657一關(guān)于代數(shù)的觀念二數(shù)學(xué)史的發(fā)展階段三代數(shù)發(fā)展的階段(數(shù)學(xué)發(fā)展史)四代數(shù)學(xué)發(fā)展的四個(gè)階段五幾類與近世代數(shù)的應(yīng)用有關(guān)的實(shí)際問題58一關(guān)于代數(shù)的觀念

從人們的觀念上來看,人們關(guān)于代數(shù)的觀念大致有三種理解：1用字母的代數(shù)2解方程3各種代數(shù)結(jié)構(gòu)的理論59

現(xiàn)代代數(shù)學(xué)的研究對(duì)象不再是以解方程為中心,而重點(diǎn)是研究各樣的代數(shù)結(jié)構(gòu)的代數(shù)性質(zhì)以及它們之間的聯(lián)系.當(dāng)然,所謂代數(shù)結(jié)構(gòu)實(shí)際上就是帶有運(yùn)算的集合.一般說來,這些運(yùn)算還適合某些所希望的若干條件.

初等代數(shù)、高等代數(shù)、線性代數(shù)都稱為經(jīng)典代數(shù).它的研究對(duì)象主要是代數(shù)方程和線性方程組.而現(xiàn)代代數(shù)學(xué)也即近世代數(shù)(又稱為抽象代數(shù)),其主要內(nèi)容是研究60各種代數(shù)系統(tǒng)(代數(shù)結(jié)構(gòu)),而對(duì)于代數(shù)結(jié)構(gòu),其基本成分則是集合和集合上的映射.

而近世代數(shù)就像古典代數(shù)那樣,是關(guān)于運(yùn)算的學(xué)說,是計(jì)算規(guī)則的學(xué)說,但它不把自己局限在研究數(shù)的運(yùn)算的性質(zhì)上,而是企圖研究更具一般性的元素上運(yùn)算的性質(zhì),這種趨向是現(xiàn)實(shí)中的要求所提示的.近世代數(shù)已廣泛應(yīng)用于近代物理學(xué)、近代科學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、數(shù)字通訊、系統(tǒng)工程等領(lǐng)域.61二數(shù)學(xué)史的發(fā)展階段1萌芽階段2初等數(shù)學(xué)階段3高等數(shù)學(xué)階段4近代數(shù)學(xué)階段5現(xiàn)代數(shù)學(xué)階段62三代數(shù)發(fā)展的階段(數(shù)學(xué)發(fā)展史)63四代數(shù)學(xué)發(fā)展的四個(gè)階段

代數(shù)學(xué)經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的發(fā)展過程,抽象代數(shù)(近世代數(shù))是19世紀(jì)最后20年直到20世紀(jì)前30年才發(fā)展起來的現(xiàn)代數(shù)學(xué)分支.1最初的文字?jǐn)⑹鲭A段

2代數(shù)的簡(jiǎn)化文字階段

3符號(hào)代數(shù)階段

4結(jié)構(gòu)代數(shù)階段641最初的文字?jǐn)⑹鲭A段

古希臘之前直到丟番圖(Diophantine,公元250年)時(shí)代,代數(shù)學(xué)處于最初的文字?jǐn)⑹鲭A段,這一階段除古希臘數(shù)學(xué)之外還包括古巴比倫、古埃及與古代中國(guó)的數(shù)學(xué).此時(shí)算術(shù)或代數(shù)尚未形成任何簡(jiǎn)化的符號(hào)表達(dá)法,代數(shù)運(yùn)算則都采用通常的語言敘述方式表達(dá),因而代數(shù)推理也都采用直觀的方法.在中國(guó)古代則有著名的籌算法,而在古希臘則借助于幾何圖形的變換方法.最典型的代表是畢達(dá)哥拉斯(Pythagoras,公元前585-497)幾何數(shù)論方法.例如通過圖形的組合可以得到不要認(rèn)為簡(jiǎn)單的幾何變換只能產(chǎn)生簡(jiǎn)單的代數(shù)結(jié)論,恰當(dāng)?shù)乩脦缀螆D形的變換有時(shí)也會(huì)產(chǎn)生重要的代數(shù)結(jié)論(如勾股定理與勾股數(shù).652簡(jiǎn)化文字階段

缺乏符號(hào)運(yùn)算的代數(shù)當(dāng)然是相當(dāng)原始的代數(shù)學(xué).直到古希臘數(shù)學(xué)后期,數(shù)學(xué)家丟番圖才開始把通常的語言敘述作簡(jiǎn)化,利用簡(jiǎn)化的文字符號(hào)代替一些相對(duì)固定的代數(shù)表達(dá)式.這一時(shí)期稱為代數(shù)的簡(jiǎn)化文字階段,這一時(shí)期大致延續(xù)到歐洲文藝復(fù)興時(shí)代.丟番圖對(duì)代數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了突出的貢獻(xiàn),《算術(shù)》一書是丟番圖留下來的著作,該著作研究了一系列不定方程的求解問題.例如把一個(gè)平方數(shù)表為兩個(gè)平方數(shù)之和的問題.后來歐拉發(fā)現(xiàn)了正整數(shù)能夠表為兩個(gè)整數(shù)平方和的充分必要條件.把一個(gè)給定的整數(shù)表為四個(gè)數(shù)的和再加上這四個(gè)數(shù)的平方和.求兩個(gè)有理數(shù)使它們的和等于它們的立方和,例如七分之五與七分之八等等.正是在丟番圖關(guān)于整數(shù)諸如此類表法研究的基礎(chǔ)上,17世紀(jì)偉大的法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬(PierredeFermat,1601-1665)提出了不定方程xn+yn=zn在n≥3時(shí)不可解問題.19世紀(jì)費(fèi)馬問題的研究也是導(dǎo)致近世代數(shù)理想論產(chǎn)生的重要契機(jī).663符號(hào)代數(shù)階段

這一階段是經(jīng)過歐洲文藝復(fù)興之后的好幾位數(shù)學(xué)家的努力而達(dá)到(它大致在17世紀(jì)完成).它的標(biāo)志是用字母表示數(shù),這一過程使代數(shù)學(xué)達(dá)到了現(xiàn)在我們看到的這種符號(hào)演算形式.較早的代表著作是德國(guó)數(shù)學(xué)家M.Stiefel(1486-1567)1553年的著述《綜合算術(shù)》.其利用10進(jìn)制小數(shù)表示實(shí)數(shù).對(duì)代數(shù)學(xué)的符號(hào)體系做出了重要貢獻(xiàn)的另一位代表人物是法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)(F.Viete,1540-1603).韋達(dá)是第一個(gè)系統(tǒng)使用字母表示數(shù)的人,在代數(shù)、三角學(xué)等許多方面都做出了杰出的貢獻(xiàn).674結(jié)構(gòu)代數(shù)階段

這一階段代數(shù)學(xué)的研究對(duì)象不再是個(gè)別的數(shù)字運(yùn)算,而是抽象的運(yùn)算系統(tǒng)(如群、環(huán)、域等)的代數(shù)結(jié)構(gòu).它起因于年輕的法國(guó)數(shù)學(xué)家EvaristeGalois(1811-1832)對(duì)代數(shù)方程式解的研究.Galois引入了群與擴(kuò)域的工具,解決了高次方程的求根問題.這個(gè)問題是在16世紀(jì)中葉,兩位意大利數(shù)學(xué)家G.Cardano(1506)與L.Ferrari(1545)發(fā)現(xiàn)了三、四次方程的求根公式之后一直困擾數(shù)學(xué)家達(dá)三百年之久的代數(shù)學(xué)難題.Galois擺脫了前人關(guān)于根的計(jì)算方法的研究途徑,發(fā)現(xiàn)根的對(duì)稱性群的結(jié)構(gòu)能夠決定根的可解性.Galois的研究不但確立了群論在數(shù)學(xué)中的地位,同時(shí)也開創(chuàng)了結(jié)構(gòu)代數(shù)這個(gè)新型的代數(shù)學(xué)研究方向.

在數(shù)學(xué)家們致力于解決高次方程的求根問題的同時(shí),CarlGauss(1777-1855)為了解決Fermat問題,開始一般性的研究代數(shù)數(shù)域.他的學(xué)生E.Kummer(1810-1893)在Gauss方法的基礎(chǔ)上引入理想數(shù),使Fermat問題的研究推進(jìn)了一步.直到19世紀(jì)末已建立了群、環(huán)、域的系統(tǒng)理論.68

1834年愛爾蘭數(shù)學(xué)家WilliamR.Hamiton(1805-1865)在Gauss把復(fù)數(shù)解釋為二元數(shù)這一思想的啟發(fā)下創(chuàng)建了一種奇特的不交換的數(shù)系,后來稱之為Hamiton四元數(shù).

三大進(jìn)展奠定了近世代數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ).1931年荷蘭數(shù)學(xué)家B.L.van.der.Waerden出版了兩卷本《近世代數(shù)學(xué)》,1955年該書第四版更名為《代數(shù)學(xué)》.這一著作標(biāo)志著群、環(huán)、域等抽象結(jié)構(gòu)理論已經(jīng)成為現(xiàn)代代數(shù)學(xué)的主要研究對(duì)象,該著作同時(shí)也成為現(xiàn)代結(jié)構(gòu)主義數(shù)學(xué)的起點(diǎn).1951年美國(guó)數(shù)學(xué)家N.Jacobson又出版了新的代數(shù)學(xué)著作,書名為《抽象代數(shù)學(xué)講義》(共三卷).因此近世代數(shù)也被稱為抽象代數(shù).69五幾類與近世代數(shù)的應(yīng)用有關(guān)的實(shí)際問題1項(xiàng)鏈問題2分子結(jié)構(gòu)的計(jì)數(shù)問題3正多面體的著色問題4圖的構(gòu)造與計(jì)數(shù)問題5開關(guān)線路的構(gòu)造與計(jì)數(shù)問題6數(shù)字通信的可靠性問題7幾何作圖問題8代數(shù)方程根式的求解問題70

1)基本問題:用黑白兩種顏色的珠子做成有五顆珠子的項(xiàng)鏈,問可以做成多少種不同的項(xiàng)鏈？

2)問題解決思路:枚舉法

3)問題推廣:用n種顏色的珠子做成m顆珠子的項(xiàng)鏈,問可做成多少種不同類型的項(xiàng)鏈？1項(xiàng)鏈問題71數(shù)

學(xué)

表

述

把m顆珠子做成一個(gè)項(xiàng)鏈用一個(gè)正m邊形來代替,其中每個(gè)頂點(diǎn)代表一顆珠子.從任意正m邊形一個(gè)頂點(diǎn)開始,沿逆時(shí)針方向,依次給每個(gè)頂點(diǎn)標(biāo)以碼:1,2,3,…,m.這樣的一個(gè)項(xiàng)鏈稱之為有標(biāo)號(hào)的項(xiàng)鏈.由于每一顆珠子的顏色有n種選擇,因此由乘法原理,這些有標(biāo)號(hào)的項(xiàng)鏈共有種.但是其中有一些項(xiàng)鏈可通過旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度或反轉(zhuǎn)180度使它們完全重合.對(duì)于這些項(xiàng)鏈稱它們?yōu)楸举|(zhì)上是相同的.對(duì)那些無論怎樣旋轉(zhuǎn)或反轉(zhuǎn)都不能使它們重合的項(xiàng)鏈,稱之為本質(zhì)上不相同的項(xiàng)鏈,即為問題所提的不同類型的項(xiàng)鏈.當(dāng)n與m較小時(shí),不難用枚舉法求得問題的解答.但隨著n與m的增加,用枚舉法越來越難,因而必須尋找更為有效的可解決一般正整數(shù)n與m的方法.采用群論可解決此問題,且至今尚未發(fā)現(xiàn)其它更為簡(jiǎn)單和有效的方法.722分子結(jié)構(gòu)的計(jì)數(shù)問題1)背景:在化學(xué)中研究有某幾種元素可合成多少種不同物質(zhì)的問題,可以知道人們?cè)诖笞匀恢袑ふ一蛉斯ず铣蛇@些物質(zhì).

2)問題:在一個(gè)苯環(huán)上結(jié)合原子或原子團(tuán),問可以形成多少種不同的化合物？

3)轉(zhuǎn)化:如果假定苯環(huán)上相鄰原子之間的鍵都是互相等價(jià)的,則此問題就是兩種顏色六顆珠子的項(xiàng)鏈問題.73其中:下圖中外圈球右邊兩個(gè)每個(gè)代表一個(gè),其余四個(gè)每個(gè)代表一個(gè);內(nèi)圈每個(gè)代表一個(gè)

.743正多面體的著色問題1)問題:用n種顏色對(duì)正六面體的面著色,問有多少種不同的著色方法？2)數(shù)學(xué)模型:為了將問題中的概念量化:設(shè)n種顏色的集合為,正六面體的面集合為,則每一種著色法對(duì)應(yīng)一個(gè)映射:,反之,每一個(gè)映射對(duì)應(yīng)一種著色法.

由于每一面的顏色有n種選擇,所以全部著色法的總數(shù)為,但這樣的著色與面的編號(hào)有關(guān),其中有些著色可適當(dāng)旋轉(zhuǎn)正六面體使它們完全重合,對(duì)這些著色法,稱它們?yōu)楸举|(zhì)上是相同的.因而我們的問題轉(zhuǎn)化為求本質(zhì)上不同的著色法的數(shù)目.

當(dāng)n很小時(shí),不難用枚舉法求得結(jié)果,如當(dāng)n取2時(shí),本質(zhì)上不同的著色數(shù)為10,對(duì)于一般的情況則必須用群論方法才能解決.75

4圖的構(gòu)造與計(jì)數(shù)問題

1)圖的概念：設(shè)稱為頂點(diǎn)集合,是由的一些二元子集構(gòu)成的集合,稱為邊集,則有序?qū)ΨQ為一個(gè)圖.2)圖的畫法:

每一個(gè)頂點(diǎn)用圓圈表示,對(duì)邊集中的每一對(duì)元素用一條直線或曲線連接頂點(diǎn)與.頂點(diǎn)的位置及邊的長(zhǎng)短、形狀均無關(guān)緊要.

76一個(gè)圖可以代表一個(gè)電路、水網(wǎng)絡(luò)、通訊網(wǎng)絡(luò)、交通網(wǎng)絡(luò)、地圖等有形的結(jié)構(gòu),也可以代表一些抽象關(guān)系.例如:可用一個(gè)圖代表一群人之間的關(guān)系,其中點(diǎn)代表單個(gè)人,凡有邊相連的的兩個(gè)點(diǎn)表示他們之間互相認(rèn)識(shí),否則表示不認(rèn)識(shí),則這個(gè)圖就表示出這群人之間的關(guān)系.

圖論中自然會(huì)涉及到某類圖有多少個(gè)的問題.773)問題:畫出所有點(diǎn)數(shù)為3的圖.解決辦法:首先畫出3個(gè)頂點(diǎn):1,2,3,在每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)之間有“無邊”和“有邊”兩種情況,因而全部有8種情況,每種情況對(duì)應(yīng)一個(gè)圖.213132123321321321321321784)推廣:當(dāng)點(diǎn)數(shù)為時(shí),共可形成個(gè)二元子集,每個(gè)二元子集可以對(duì)應(yīng)圖中的邊或不對(duì)應(yīng)邊兩種情況,故可形成個(gè)圖.我們觀察上圖中的8個(gè)圖,可以發(fā)現(xiàn)有些圖是完全相同的,如不考慮它們的頂點(diǎn)號(hào),這些圖可完全重合,這樣的圖稱它們是同構(gòu)的,可以看出:上圖中有4個(gè)互不同構(gòu)的圖.那么,對(duì)于一般的情況,也即頂點(diǎn)數(shù)為的圖中互不同構(gòu)的圖有多少個(gè)呢?這個(gè)問題也不能用初等方法解決.79

1)問題:一個(gè)有兩種狀態(tài)的電子元件稱為一個(gè)開關(guān),例如普通的電燈開關(guān)、二極管等.由一些開關(guān)組成的二端網(wǎng)絡(luò)稱為開關(guān)線路.一個(gè)開關(guān)線路的兩端也只有兩種狀態(tài):通與不通.我們的問題是:用n個(gè)開關(guān)可以構(gòu)造多少種不同的開關(guān)線路？5

開關(guān)

線路

的構(gòu)

造與

計(jì)數(shù)

問題80

2)模型：我們用個(gè)變量代表個(gè)開關(guān),每個(gè)變量的取值為0或1且代表開關(guān)的兩種狀態(tài).開關(guān)線路的狀態(tài)也用一個(gè)變量來表示,它的取值也是0或1代表開關(guān)線路的兩種狀態(tài).是的函數(shù),稱為開關(guān)函數(shù),記為,其中每一個(gè)函數(shù)對(duì)應(yīng)一個(gè)開關(guān)線路.3)數(shù)學(xué)計(jì)算：由于每一個(gè)函數(shù)對(duì)應(yīng)一個(gè)開關(guān)線路,因而開關(guān)線路的數(shù)目就是開關(guān)函數(shù)的數(shù)目.又由于的定義域的點(diǎn)數(shù)目為,在定義域的每一個(gè)點(diǎn)上的取值有兩種可能.所以全部開關(guān)函數(shù)的數(shù)目為,這就是個(gè)開關(guān)的開關(guān)線路的數(shù)目.4)總結(jié)上面考慮的開關(guān)線路中的開關(guān)是有標(biāo)號(hào)的,有一些開關(guān)線路結(jié)構(gòu)完全相同,只是標(biāo)號(hào)不同,我們稱這些開關(guān)線路本質(zhì)上是相同的.要進(jìn)一步解決本質(zhì)上的開關(guān)線路的數(shù)目問題,必須用群論方法.

816數(shù)字通信的可靠性問題現(xiàn)代通信中用數(shù)字代表信息,用電子設(shè)備進(jìn)行發(fā)送、傳遞和接收,并用計(jì)算機(jī)加以處理.由于信息量大,在通信過程中難免出現(xiàn)錯(cuò)誤.為了減少錯(cuò)誤,除了改進(jìn)設(shè)備外,還可以從信息的表示方法上想辦法.由數(shù)字表示信息的方法稱為編碼.編碼學(xué)就是一門研究高效編碼方法的科學(xué).以下通過兩個(gè)簡(jiǎn)單的例子說明檢錯(cuò)碼與糾錯(cuò)碼的概念.82

簡(jiǎn)單檢錯(cuò)碼的編碼方法:奇偶性檢錯(cuò)碼設(shè)用六位二進(jìn)制碼來表示26個(gè)英文字母,其中前五位順序表示字母,第六位作檢錯(cuò)用,當(dāng)前五位的數(shù)碼中1的個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí),第六位取1,否則第六位取0.這樣編出來的碼中1的個(gè)數(shù)始終是偶數(shù)個(gè).例如:A:000011;B:000101;C:000110;D:001001……用這種碼傳遞信息時(shí)可檢查錯(cuò)誤.當(dāng)接收一方收到的碼中含有奇數(shù)個(gè)1時(shí),則可斷定該信息是錯(cuò)誤的,可要求發(fā)送者重發(fā).因而,同樣的設(shè)備,用這種編碼方法可提高通信的準(zhǔn)確度.但是,人們并不滿足僅僅發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤,能否不通過重發(fā)的辦法,僅從信息本身來糾正其錯(cuò)誤呢?這在一定程度上也可用編碼方法解決.

83簡(jiǎn)單糾錯(cuò)碼的編碼方法:重復(fù)碼設(shè)用3位二進(jìn)制重復(fù)碼表示A,B兩個(gè)字母如下:A:000;B:111則接受的一方對(duì)收到的信息碼不管其中是否有錯(cuò),均可譯碼如下:

接收信息:000;001;010;011;100;101;110;111

譯碼:A;A;A;B;A;B;B;B

這就意味著對(duì)其中的信息做了糾正.

利用近世代數(shù)方法可得到更高效的檢錯(cuò)碼與糾錯(cuò)碼.84

古代數(shù)學(xué)家們?cè)岢隽艘粋€(gè)有趣的作圖問題:用圓規(guī)及沒有刻度和記號(hào)的直尺可做出那些圖形?為什么會(huì)提這樣的問題呢?一方面是由于生產(chǎn)發(fā)展的需要,且圓規(guī)、直尺(最初的的直尺是無刻度的)是當(dāng)時(shí)丈量土地的基本工具;另一方面,從幾何學(xué)觀點(diǎn)看,古人認(rèn)為直線與圓弧是構(gòu)成一切平面圖形的要素.據(jù)說古人還認(rèn)為只有使用圓規(guī)與直尺作圖才能確保其嚴(yán)密性.且整個(gè)平面幾何學(xué)是以圓規(guī)與直尺作為基本的工具.

歷史上有幾個(gè)幾何作圖問題曾經(jīng)困擾人們很長(zhǎng)時(shí)間,它們是:1二倍立方體問題作一個(gè)立方體使其體積等于已知立方體體積的二倍.2三等分任意角問題給定任意一個(gè)角,將其三等分.3圓化方問題給定一個(gè)已知圓,作一個(gè)正方形使其面積等于已知圓的面積.4n等分一個(gè)圓周

這些問題直到近世代數(shù)理論出現(xiàn)以后才得到完全解決.

7幾何作圖問題858代數(shù)方程根式求解問題

我們知道,任何一個(gè)一元二次代數(shù)方程可用根式表示它的兩個(gè)解.對(duì)于一元三次和四次代數(shù)方程,故人們經(jīng)過長(zhǎng)期的努力也巧妙地做到了這一點(diǎn).于是人們自然會(huì)問:是否任何次的代數(shù)方程的根均可用根式表示?許多努力都失敗了,但這些努力促使了近世代數(shù)的產(chǎn)生,并最終解決了這個(gè)問題.19世紀(jì)初,法國(guó)數(shù)學(xué)家埃瓦里斯特·伽羅華是法國(guó)數(shù)學(xué)家(évaristeGalois,1811年10月25日－1832年5月31日,與尼爾斯·阿貝爾并稱為現(xiàn)代群論的創(chuàng)始人.)在研究五次代數(shù)方程的解法是提出了著名的伽羅華理論,成為近世代數(shù)的先驅(qū).但他的工作在當(dāng)時(shí)未被數(shù)學(xué)家所認(rèn)識(shí),且由于且由于其它原因于21歲過早地去世了.直到19世紀(jì)后期,他的理論才有其他的數(shù)學(xué)家加以進(jìn)一步的發(fā)展和系統(tǒng)闡述.86第一章練習(xí)題87

第二章基本概念8889

第二講基本概念之集合及其之間的關(guān)系——集合90集合的概念是德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾(G.Cantor,1845-1918)于1894年所首先建立的.到現(xiàn)在,集合論不僅已成為數(shù)學(xué)的一個(gè)專門理論和獨(dú)立學(xué)科,而且廣泛地應(yīng)用到數(shù)學(xué)的各個(gè)分支.

在近世代數(shù)中,不僅每章每節(jié)甚至幾乎處處離不開集合,由此可見集合的重要性.但這只是問題的一方面.另一方面我們?cè)谶@里講集合主要是為了在近世代數(shù)中講最基本的概念:群、環(huán)、域而作準(zhǔn)備,并不是要對(duì)集合本身的理論作太多和深入的闡述.這是因?yàn)?在近世代數(shù)中只用到集合的一些初步概念,諸如子集、真子集、集合的相等、冪集、交集、并集、差集以及集合的差、余集和它們的簡(jiǎn)單性質(zhì),而并不用到集合理論的其它內(nèi)容及知識(shí).911

集合與集合元素的定義2集合與集合元素的表示符號(hào)3集合與集合元素之間的關(guān)系——屬于關(guān)系4集合的分類標(biāo)準(zhǔn)及分類5集合的表示方法6集合之間的內(nèi)在關(guān)系——包含關(guān)系7集合運(yùn)算8運(yùn)算律9特殊集合的表示符號(hào)10集合的補(bǔ)充說明11包含與排斥原理921集合與集合元素的定義集合正如像以前所學(xué)初等幾何學(xué)中的點(diǎn)、線、面等概念一樣,也是一種不加定義而可直接引入的最基本的原始概念.931.1集合定義

把隨便一些對(duì)象(事物)放在一起做為一個(gè)整體進(jìn)行研究的話,這個(gè)整體就叫做集合(這是描述性定義);組成集合的對(duì)象或事物叫做這個(gè)集合的元素.定義2.1941)線性方程組AX=B的解向量的集合.2)多項(xiàng)式f(x)的零點(diǎn)的集合.3)數(shù)域P上所有m行n列的矩陣的集合.4)延安市全體居民身份證號(hào)碼的集合.5)延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院2011級(jí)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的全體學(xué)生的集合.6)延安大學(xué)2011年西安世界園藝會(huì)志愿者的集合.7)大學(xué)生技能測(cè)試的所有項(xiàng)目的集合.8)延安大學(xué)2013—2014學(xué)年第一學(xué)期所有公選課的課程名稱的集合.1.2集合舉例例2.195集合是不能嚴(yán)格定義的,因?yàn)槎x是用已知概念去定義未知概念,然而集合是數(shù)學(xué)中的一個(gè)最基礎(chǔ)及最基本的概念,不能再用其它數(shù)學(xué)概念來定義,正如哲學(xué)中的物質(zhì)概念一樣,它只能描述而不能定義.盡管集合沒有定義,但我們都能理解它是什么意思,可以說具有特定性質(zhì)的抽象或具體的事物的全體稱為集合.1.3集合定義的注意問題96

若干個(gè)(有限個(gè)或無限個(gè))固定事物的全體稱為集合;組成一個(gè)集合的事物稱為這個(gè)集合的元素(濃度或元數(shù)).1.4集合的等價(jià)定義定義2.2972集合與集合元素的表示符號(hào)集合:大寫字母表示如集合的元素:小寫字母表示如983集合與集合元素之間的關(guān)系

——屬于關(guān)系定義2.3994.1集合的分類標(biāo)準(zhǔn)及分類標(biāo)準(zhǔn)1:元素的個(gè)數(shù)分類:有限集合與無限集合為了集合的另外的一個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn),先給出一個(gè)定義.標(biāo)準(zhǔn)2:與自然數(shù)集合或其子集進(jìn)行比較分類:可數(shù)集合與不可數(shù)集合定義2.44

集合的分類1004.2集合等勢(shì)的判斷準(zhǔn)則定理2.11014.3集合等勢(shì)的判斷準(zhǔn)則的應(yīng)用例2.2例2.3例2.4對(duì)于無限集合等勢(shì)的問題以下按區(qū)間(開,閉)進(jìn)行舉例：102103104問題1055集合的表示方法給出集合的方式,不外乎以下兩種．列舉法:把集合中的所有元素都描寫出來(也即列出它的全部元素).但須注意列舉法不僅可以表示有限集合,而且還可以表示有些有規(guī)律的無限集合.

描述法:用性質(zhì)描述出集合(也即給出這個(gè)集合中的元素所具有的特征性質(zhì)).定義2.5定義2.6106子集:設(shè)是兩個(gè)集合,如果集合的每一個(gè)元素都是集合的元素,那么就稱集合是集合的子集,記為:讀作集合屬于集合(集合包含集合或集合被包含于集合).6.1子集定義2.7

6集合之間的內(nèi)在關(guān)系—包含關(guān)系107真子集:設(shè)是兩個(gè)集合,如果集合的每一個(gè)元素都是集合的元素,但集合中至少有一個(gè)元素不屬于集合,那么就稱集合是集合的真子集,記作

.6.2真子集定義2.8108集合相等:如果集合與集合是由完全相同的元素組成的,就說集合與集合相等,記作

6.3集合相等定義2.9109

性質(zhì)1定理2.26.4幾個(gè)定義的邏輯等價(jià)式110

性質(zhì)2(包含關(guān)系)定理2.36.5幾個(gè)關(guān)系的自反性、反對(duì)稱性、對(duì)稱性及傳遞性111

性質(zhì)3(相等關(guān)系)定理2.4112性質(zhì)4(真包含關(guān)系)定理2.51137.1集合運(yùn)算定義7集合運(yùn)算定義2.10定義2.11定義2.12定義2.13114定義2.14定義2.15定義2.16115

7.2集合運(yùn)算之關(guān)于子集之間的運(yùn)算(即我們通常所說的集合運(yùn)算

定義2.17定義2.18定義2.19定義2.20116定義2.21定義2.23定義2.221177.3.1文氏圖的用法文氏圖可以用來描述集合之間的關(guān)系及其運(yùn)算.在文氏圖中全集用矩形表示,子集用圓形區(qū)域表示,陰影區(qū)域表示運(yùn)算結(jié)果的集合.7.3集合的圖形表示—文氏圖1187.3.2文氏圖的特點(diǎn)文氏圖表示法的優(yōu)點(diǎn)是直觀和形象,富有啟發(fā)性,幫助我們理解各種概念和定理,所以文氏圖可作為思考的出發(fā)點(diǎn).1197.3.3文氏圖應(yīng)注意的問題但文氏圖絕不能用作推理的依據(jù),因?yàn)橹庇^是不可靠的,只有邏輯推理才是可靠的.1207.3.4文氏圖的適用范圍當(dāng)集合的數(shù)目較多時(shí),文氏圖將變得很復(fù)雜.也即對(duì)于集合的數(shù)目較少時(shí),文氏圖適用.1217.3.5.1A∩B

可用下圖陰影部分表示BBA(B)A(2)若BA則A∩B=B(3)若A=B則A∩B=A=B(1)若AB則A∩B=AA7.3.5文氏圖表示舉例（例2.5）122A

BAB

A與B相切

相交的特例A∩BAA∩B

BA∩B=

AB(5)A與B分離A∩B=

(4)A與B相交 A∩BAA∩B

B1237.3.5.2A∪B可用下圖陰影部分表示(1)若AB則A∪B=BBABA(B)A(2)若BA則A∪B=A(3)若A=B則A∪B=A=B124A

B(4)A與B相交

A∪BA

B

(5)A與B相切

相并的特例AB(6)A與B分離

A∪B1251261277.4元素不屬于集合運(yùn)算結(jié)果的判斷準(zhǔn)則定理2.61288運(yùn)算律定理2.71299特殊集合的表示符號(hào)及性質(zhì)第一類:空集

;全集:

空集的絕對(duì)唯一性;全集的相對(duì)唯一性;空集表示形式的多樣性.130

第二類:特殊集合13110集合的補(bǔ)充說明集合的概念應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：1)元素的確定性；2)元素的無序性；3)元素的互異性；4)集合可以作為元素,但是不能做為它自己的元素；5)元素與集合之間的關(guān)系是個(gè)體與整體的關(guān)系,應(yīng)嚴(yán)加區(qū)分.13211.1包含與排斥原理的特殊形式定理2.811包含與排斥原理13311.2包含與排斥原理舉例例2.6例2.7例2.8134135136137138139思考題

1)包含關(guān)系的重要性質(zhì)有那些？2)相等關(guān)系的重要性質(zhì)有那些？3)運(yùn)算律是否成立及如何得出？4)寫出集合的并、交、差這三個(gè)運(yùn)算所適合的所有運(yùn)算律并加以證明.1401)寫出并證明包含排斥原理的一般形式.

習(xí)題2)舉出包含排斥原理在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用實(shí)例三個(gè).141

第三講基本概念之

集合及其之間的關(guān)系—對(duì)應(yīng)關(guān)系(映射)(人造關(guān)系)1421映射概念回憶2映射及相關(guān)定義3映射的充要條件4映射舉例5符號(hào)說明6映射的合成及相關(guān)結(jié)論7映射及其映射相等概念的推廣8集合及其之間的關(guān)系——特殊的映射(代數(shù)運(yùn)算）9集合及其之間的關(guān)系——一一映射

143：

映射是兩個(gè)集合之間建立的一種聯(lián)系,也是近代數(shù)學(xué)上最基本的概念之一,我們借助“法則”來說明映射的含義.

：：

1映射概念回憶144

2.1.1映射的定義定義2.242.1映射的定義及圖形2映射145

2.1.2映射的圖形定義2.251462.2定義域、像、原像的定義定義2.261472.3映射與通常函數(shù)的關(guān)系1481491503映射的充要條件定理2.91514.1例2.94映射舉例1521531544.2例2.101554.3從映射舉例觀察結(jié)論1564.4映射相等定理2.10定義2.271575符號(hào)說明158

6.1映射的合成的定義

定義2.286映射的合成1596.2映射合成的性質(zhì)

定理2.11160

7.1映射的一般概念定義2.297映射概念的推廣161

7.2映射相等定義2.30162

設(shè)和是任意三個(gè)非空集合,則到的任何一個(gè)映射

都稱為從的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算.

8.1代數(shù)運(yùn)算定義定義2.318集合及其之間的關(guān)系1631)代數(shù)運(yùn)算是特殊映射；2)代數(shù)運(yùn)算是具有普通計(jì)算法的特征(也即所給代數(shù)運(yùn)算能夠?qū)與b進(jìn)行運(yùn)算,而得到一個(gè)結(jié)果d=a⊙b.)8.2代數(shù)運(yùn)算定義觀察1648.3代數(shù)運(yùn)算描寫符號(hào)1658.4代數(shù)運(yùn)算問題思考

當(dāng)元素a=b時(shí),a與b的次序?qū)Υ鷶?shù)運(yùn)算沒有影響,a與b的次序可以調(diào)換,只是說a⊙b與b⊙a(bǔ)都有意義并且a⊙b=b⊙a(bǔ).但并不是說當(dāng)a⊙b與b⊙a(bǔ)都有意義時(shí)就有a⊙b=b⊙a(bǔ).1668.5有限集合代數(shù)運(yùn)算運(yùn)算表167

假如是一個(gè)的代數(shù)運(yùn)算,也即說集合對(duì)于代數(shù)運(yùn)算是封閉的,也說是集合的代數(shù)運(yùn)算或二元運(yùn)算(二元合成).8.6代數(shù)運(yùn)算的特例：二元合成定義定義2.321688.7代數(shù)運(yùn)算的特例:二元合成舉例例2.111699.1特殊映射的定義1滿射的定義2單射的定義3一一映射的定義4逆映射的定義9集合及其之間的關(guān)系(特殊映射)1709.1.1滿射的定義若在一個(gè)集合A到集合B的映射f之下,集合B的每一個(gè)元都至少是集合A中某一個(gè)元的像,那么f叫做從集合A到集合B的一個(gè)滿射.這時(shí)有f(A)=B..定義2.33171若在一個(gè)集合到集合的映射之下,集合中任意兩個(gè)不同元素在集合中的像不相同,那么叫做從集合到集合的一個(gè)單射.9.1.2單射的定義定義2.34172如果既是滿射又是單射,即如果滿足下列條件:1);2)那么就稱是集合到集合的一個(gè)雙射.9.1.3一一映射的定義定義2.35173

9.1.4逆映射的定義定義2.36--2.381749.2特殊映射的等價(jià)命題1單射的等價(jià)命題2滿射的等價(jià)命題3雙射的等價(jià)命題4可逆映射的等價(jià)命題1759.2.1單射的等價(jià)命題定理2.121761771781791809.2.2滿射的等價(jià)命題定理2.13181證明182證明1831841859.2.3雙射的等價(jià)命題定理2.141869.2.4可逆映射的等價(jià)命題定理2.151879.3一一映射的性質(zhì)

。188

1)假設(shè)是一個(gè)有限集合,是一個(gè)映射,則

2)假設(shè)是一個(gè)有限集合,則

9.4有限集合上幾個(gè)充要條件定理2.16;2.171899.5時(shí)的特殊映射—變換

一個(gè)A到集合A的映射叫做集合A的一個(gè)變換;一個(gè)A到集合A的滿射、單射、一一映射叫做集合A的一個(gè)滿射變換、單射變換、一一變換.

定義2.391909.6特殊變換—單位變換的定義定義2.401911)舉出三個(gè)現(xiàn)實(shí)生活中映射的例子.

2)舉出四個(gè)現(xiàn)實(shí)生活中代數(shù)運(yùn)算的實(shí)例.

思考題192應(yīng)用題

1)你站在某地,你的四周比你所在位置的高低能否建立一個(gè)映射呢?2)能否構(gòu)造一個(gè)集合B,使得大學(xué)畢業(yè)生的集合與B之間可以建立映射?能建立一一映射嗎?(注意:大學(xué)畢業(yè)生的集合你也可以規(guī)定,但不是幾個(gè)人應(yīng)該是一個(gè)學(xué)?；蛞粋€(gè)專業(yè)或一個(gè)縣的大學(xué)畢業(yè)生的集合)3)利用體育上的由:向左轉(zhuǎn)、向右轉(zhuǎn)、向后轉(zhuǎn)、原地不動(dòng)這幾個(gè)動(dòng)作要領(lǐng)能否建立一個(gè)映射呢?193194195

第四講基本概念之

代數(shù)運(yùn)算適應(yīng)的規(guī)則

—運(yùn)算律196一與一種代數(shù)運(yùn)算發(fā)生關(guān)系的運(yùn)算律（一）結(jié)合律（二）交換律（三）消去律二與兩種代數(shù)運(yùn)算發(fā)生關(guān)系的運(yùn)算律（一）第一分配律（二）第二分配律197問題

給一個(gè)集合賦予了代數(shù)運(yùn)算后,猶如使一潭死水泛起了波瀾,好比對(duì)這集合賦予了生命.

一個(gè)代數(shù)運(yùn)算是可以任意規(guī)定的,但未必都會(huì)有用,即任意取幾個(gè)集合,任意規(guī)定幾個(gè)代數(shù)運(yùn)算,很難希望得到好的結(jié)果,因而在以后所遇到的代數(shù)運(yùn)算都適合一些從實(shí)際中得來的規(guī)律(結(jié)合律、交換律、分配律),分與一種運(yùn)算(結(jié)合律、交換律)、兩種運(yùn)算(分配律)發(fā)生關(guān)系的運(yùn)算律.1981結(jié)合律未必都成立例2.13例2.12（一）結(jié)合律一與一種代數(shù)運(yùn)算發(fā)生關(guān)系的運(yùn)算律1992結(jié)合律的定義假如對(duì)于集合上的任意三個(gè)元素來說,都有,則稱一個(gè)集合上的代數(shù)運(yùn)算適合結(jié)合律.定義2.412003加括號(hào)的方式(有多少種呢?)在中任意取出個(gè)元素假如我們寫下這個(gè)記號(hào)這個(gè)符號(hào)在現(xiàn)在當(dāng)然沒有意義了.只有加上括號(hào)才有意義,但是加括號(hào)的步驟不止一種,假設(shè)共有種,我們把由這個(gè)步驟所得的結(jié)果用以下式子來表示:

這個(gè)式子當(dāng)然未必相等,但是它們也可能相等。也未必有意義,何時(shí)有意義呢?201

4有意義的情形假如對(duì)于的任意個(gè)固定的元素來說,所有的都相等,這時(shí)就把由這些不同的加括號(hào)步驟得到的唯一結(jié)果用下式表示:

這時(shí)上式也就有意義了.2025結(jié)合律定理假如一個(gè)集合的代數(shù)運(yùn)算適合結(jié)合律,那么對(duì)于的任意個(gè)元素來說,所有的都相等,因而以下的符號(hào):也就有意義了.定理2.18203設(shè)集合上的代數(shù)運(yùn)算適合結(jié)合律,則對(duì)于中的任意個(gè)元素來說,只要不改變?cè)氐呐帕许樞?任何一種加括號(hào)方法計(jì)算所得的結(jié)果都相同.結(jié)合律定理的等價(jià)形式定理2.192045結(jié)合律定理的證明證明2051交換律的定義一個(gè)到的代數(shù)運(yùn)算適合交換律.假如對(duì)于集合的任意兩個(gè)元素

,都有

.定義2.42（二）交換律2062交換律未必都成立例2.14例2.152073交換律定理假如一個(gè)集合的代數(shù)運(yùn)算同時(shí)適合結(jié)合律和交換律,那么在里,元素的次序的互換不影響運(yùn)算結(jié)果。定理2.202084交換律定理證明證明209（三）消去律定義2.432101問題的提出

結(jié)合律和交換律是只同一種代數(shù)運(yùn)算發(fā)生關(guān)系,而分配律是同兩種代數(shù)運(yùn)算發(fā)生關(guān)系的一種規(guī)律.二與兩種代數(shù)運(yùn)算發(fā)生關(guān)系的運(yùn)算律

——分配律2112第一(左)分配律定義2.44212定理2.212133第二(右)分配律定義2.45214定理2.22215練習(xí)題1)判斷下列定義在有理數(shù)集合上的代數(shù)運(yùn)算是否適合結(jié)合律、交換律、左消去律、右消去律？216217218

思考題

1)現(xiàn)實(shí)生活中的代數(shù)運(yùn)算是否都適合這三個(gè)運(yùn)算律,舉例說明.2)利用運(yùn)算表如何判斷交換律、結(jié)合律及左消去律、右消去律是否成立？219補(bǔ)充例2.16證明220第五講基本概念之

與代數(shù)運(yùn)算發(fā)生關(guān)系的映射

—同態(tài)映射2211同態(tài)映射2同態(tài)滿射3同構(gòu)映射4自同構(gòu)映射5舉例2221同態(tài)映射223(1)問題的提出224225226(2)舉例并觀察結(jié)果例2.18例2.17227(3)同態(tài)的定義定義2.462282同態(tài)滿射（1）同態(tài)滿射的定義定義2.47229（2）同態(tài)滿射在比較兩個(gè)集合上的結(jié)論

定理2.23230的等價(jià)定理定理2.23定理2.24231證明232證明233定理2.25234的等價(jià)定理定理2.26定理2.25235證明236證明237(3)舉例例2.20例2.192383同構(gòu)映射（1）同構(gòu)映射的定義定義2.48239

2）同構(gòu)映射的逆映射還是同構(gòu)映射;3）同構(gòu)映射的合成還是同構(gòu)映射.（2）同構(gòu)映射的性質(zhì)定理2.27240（3）同構(gòu)映射在比較兩個(gè)集合上的結(jié)論定理2.28241定理2.29242的等價(jià)定理定理2.30定理2.28;2.29243

同構(gòu)的兩個(gè)代數(shù)系統(tǒng)由運(yùn)算所帶來的規(guī)律性是相同的,因此,同構(gòu)的兩個(gè)代數(shù)系統(tǒng)盡管可能有這樣或那樣的差別,但從近世代數(shù)的宗旨來看,我們自然認(rèn)為:它們的差別是表面上的,次要的,而它們的共同點(diǎn)——運(yùn)算所體現(xiàn)的規(guī)律性則是本質(zhì)的,主要的.于是,我們需要闡明近世代數(shù)的觀點(diǎn)是:凡同構(gòu)的代數(shù)系統(tǒng)都認(rèn)為是(代數(shù))相同的.（4）同構(gòu)的兩個(gè)集合之間關(guān)系的結(jié)論244在上述的觀點(diǎn)下,一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)經(jīng)同構(gòu)映射而保持不變的性質(zhì)叫做它的代數(shù)性質(zhì).于是,由代數(shù)運(yùn)算所表述的任意一個(gè)性質(zhì)都是代數(shù)性質(zhì).我們將代數(shù)體系的代數(shù)性質(zhì)的總合統(tǒng)稱為它的代數(shù)結(jié)構(gòu).因此,同構(gòu)的代數(shù)體系由于完全相同的代數(shù)結(jié)構(gòu).研究代數(shù)體系的首要目的就是確定所有互不同構(gòu)的的代數(shù)結(jié)構(gòu).而為了確定一個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu),只須讓它與一個(gè)已經(jīng)清楚的代數(shù)結(jié)構(gòu)同構(gòu)則可.245定理2.312464自同構(gòu)定義2.49247同態(tài)映射同態(tài)滿射單射同構(gòu)映射滿射自同態(tài)映射自同態(tài)滿射自同構(gòu)映射滿射單射2485舉例例2.23例2.22例2.21249例2.24例2.25250123133323333333456466656666666例2.26251例2.272526應(yīng)用題某單位準(zhǔn)備招聘一批文秘人員,為了保證錄取的公平性,對(duì)考試實(shí)行保密,其方法是:報(bào)名號(hào)即試卷編號(hào),評(píng)閱編號(hào)實(shí)行試卷編號(hào)加密得到評(píng)閱編號(hào).

若以集合A表示試卷編號(hào),集合B表示評(píng)閱編號(hào),由于試卷編號(hào)與評(píng)閱編號(hào)都是數(shù)字,因而,我們提出問題:

1怎樣編號(hào)就能找到(A,+)到(B,+)的同態(tài)映射嗎?

2怎樣編號(hào)就能找到(A,+)到(B,+)的同態(tài)滿射嗎?

3怎樣編號(hào)就能找到(A,+)到(B,+)的同構(gòu)映射嗎?例2.28253

我們知道身份證編號(hào)是由0至9十個(gè)數(shù)字組成,但現(xiàn)在存在一個(gè)問題,我國(guó)的身份證有時(shí)出現(xiàn)相同的編號(hào),你認(rèn)為(在我國(guó)人口不超過20億的情況下)身份證需要幾位數(shù)字,才能使得在身份證號(hào)碼的確定中(除人為的錯(cuò)誤外)不會(huì)出現(xiàn)重復(fù)號(hào)碼的身份證.應(yīng)用題例2.29254關(guān)于身份證的相關(guān)知識(shí)我國(guó)第二代身份證由18位數(shù)字組成它包括:地址碼;出生年月日碼;順序碼(男用單數(shù),女用雙號(hào));校驗(yàn)碼.

其中:1)地址碼:省(兩位);市(或地區(qū))(兩位);區(qū)(或縣)(兩位).2)出生年月日碼:出生年(四位);出生月(兩位);出生日(兩位).3)順序碼:順序碼(三位).4)校驗(yàn)碼:校驗(yàn)碼(一位).255例2.30256證明257證明258證明259證明260

第六講基本概念之

等價(jià)關(guān)系與集合的分類261一商集二等價(jià)關(guān)系三集合的分類四集合上的等價(jià)關(guān)系與集合的分類之間的聯(lián)系262

在以后除了把兩個(gè)集合拿來比較外,有時(shí)在研究某一問題時(shí)常常需要對(duì)研究對(duì)象做分類,以便有條理地探討它們的性質(zhì).例如生物中把所有的生物分為兩類(界):動(dòng)物界和植物界,而動(dòng)物界又分為十類(門),植物界又分為五類(門),門下還要分綱、目、科、屬、種等等,這些分類可有助于對(duì)生物學(xué)系統(tǒng)研究,再如對(duì)整數(shù)集進(jìn)行研究,可把全體整數(shù)分為幾奇、偶兩類,同類整數(shù)具有許多共同的性質(zhì),掌握這些性質(zhì),自然可加深對(duì)整數(shù)的了解,當(dāng)然,也可做其它的分類.總之,對(duì)一個(gè)集合的全體元素進(jìn)行分類,是研究這個(gè)集合性質(zhì)的手段,以下我們將要回答以下兩個(gè)問題:1怎樣才能對(duì)一個(gè)集合做成功的分類呢？

2分類的依據(jù)是什么？我們?cè)趯?duì)一般集合做每一種分類時(shí),總存在著起支配作用的一種特殊關(guān)系.

將集合按一定的規(guī)則進(jìn)行分類是研究集合的一種有效方法,而等價(jià)關(guān)系則是對(duì)于集合的分類起著重要作用的特殊關(guān)系.

引言263一商集1商集的定義2商集的舉例2641商集的定義定義2.502652商集的舉例例2.31266267268269270271

二等價(jià)關(guān)系

“關(guān)系”一詞,我們?cè)缬薪佑|,諸如同學(xué)關(guān)系;血緣關(guān)系;同齡關(guān)系;實(shí)數(shù)的大于關(guān)系、小于關(guān)系、相等關(guān)系;整數(shù)的整除關(guān)系等等,這里需要指出的是:就一個(gè)關(guān)系而言,它不是在每個(gè)集合上都有意義,比如同學(xué)關(guān)系在整數(shù)集合上就無意義,不是整數(shù)集合上的關(guān)系,整數(shù)的整除關(guān)系在人的集合上也無意義,不是人與人之間的關(guān)系.272

1關(guān)系的定義定義2.51273例2.322關(guān)系的舉例—274例2.33275例2.34276例2.35277設(shè)上的一個(gè)二元關(guān)系,若滿足下列性質(zhì):1)反射律(自反性):2)對(duì)稱律(對(duì)稱性):3)推移律(傳遞性):

3等價(jià)關(guān)系的定義定義2.522784等價(jià)關(guān)系的等價(jià)定義定義2.532795等價(jià)關(guān)系的等價(jià)定義及等價(jià)關(guān)系的定義的等價(jià)性證明定理2.32280

例2.366等價(jià)關(guān)系的舉例—281282283284

例2.37285例2.38286例2.39287例2.402881集合的分類的定義定義2.54三集合的分類2892集合的分類的性質(zhì)定理2.332903集合的分類舉例——例2.41291例2.42292四集合上的等價(jià)關(guān)系與

集合的分類之間的聯(lián)系定理2.34293證明294295定理2.35296證明297298例2.43299解300301五等價(jià)關(guān)系的性質(zhì)定理2.36302例2.44解303

舉例:設(shè)φ是集合A到集合B的映射,a,b∈A,規(guī)定關(guān)系:≈.a≈b當(dāng)且僅當(dāng)φ(a)=φ(b).

證明:≈是集合A的一個(gè)等價(jià)關(guān)系,并求其等價(jià)類.304第三章群

305306

近世代數(shù)的主要研究對(duì)象是各種各樣的代數(shù)結(jié)構(gòu),即具有至少一個(gè)代數(shù)運(yùn)算的集合.

群是具有一種代數(shù)運(yùn)算的代數(shù)系統(tǒng),它是近世代數(shù)中一個(gè)比較古老而且內(nèi)容相當(dāng)豐富的重要分支,在數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、計(jì)算機(jī)等自然科學(xué)的許多領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用.307第七講

代數(shù)系統(tǒng)3081代數(shù)系統(tǒng)、子代數(shù)系統(tǒng)的定義及判定定理

2代數(shù)系統(tǒng)的舉例309代數(shù)系統(tǒng)定義（定義3.1）某個(gè)二元運(yùn)算具有交換性的代數(shù)系統(tǒng)的定義（定義3.2）1代數(shù)系統(tǒng)、子代數(shù)系統(tǒng)的定義及判定定理如果代數(shù)系統(tǒng)的運(yùn)算滿足交換律,則稱二元運(yùn)算是具有交換性的代數(shù)系統(tǒng).310子代數(shù)系統(tǒng)的定義（定義3.3）311

帶有規(guī)定⊙的集合S關(guān)于給定的規(guī)定⊙是否做成代數(shù)系統(tǒng)的判別方法：

1)集合S非空；

2)規(guī)定⊙是集合S上的代數(shù)(或二元)運(yùn)算．代數(shù)系統(tǒng)的判定定理(定理3.1)312例3.12代數(shù)系統(tǒng)的舉例313314例3.2315例3.3316例3.4317例3.5318例3.6319例3.7320例3.8321例3.9322323例3.10324325

第八講

半群3263半群中冪的定義及性質(zhì)2半群的舉例1半群、子半群、交換半群的定義及判定定理327半群的第一定義(定義3.4)子半群的定義(定義3.5)1半群、子半群、交換半群的定義及判定定理328

代數(shù)系統(tǒng)(S,⊙)是否做成半群的判斷方法就是檢驗(yàn)代數(shù)運(yùn)算⊙在集合S上是否適合結(jié)合律.半群的判定定理1(定理3.2)子半群的判定定理（定理3.3)329半群的第二定義(定義3.6)

330

非空集合S關(guān)于給定的規(guī)定⊙是否作成半群的判斷方法:1)檢驗(yàn)規(guī)定⊙是否是集合S上的代數(shù)(二元)運(yùn)算；2)檢驗(yàn)代數(shù)(二元)運(yùn)算⊙在集合S上是否適合結(jié)合律.半群的判定定理2(定理3.4)331交換半群的定義(定義3.7)332半群的性質(zhì)定理(定理3.5)333可換半群的性質(zhì)定理(定理3.6)334例3.12

半群的舉例335336例3.2337例3.3338例3.4339例3.5340例3.6341例3.7342例3.8343例3.9344例3.10345346例3.11347例3.12348運(yùn)算為乘法的半群冪的定義(定義3.8)3半群中冪的定義及性質(zhì)3.1半群的運(yùn)算為乘法運(yùn)算349運(yùn)算為乘法的半群冪的性質(zhì)定理(定理3.7)350運(yùn)算為加法的半群冪的定義(定義3.9)3.2半群的運(yùn)算為加法運(yùn)算351運(yùn)算為加法的半群冪的性質(zhì)定理(定理3.8)352第九講

群的定義及性質(zhì)353

1群的第一定義2單位元及逆元的定義3群的第二定義4群的舉例5群的重要性質(zhì)354群的定義1(定義3.10)1群的第一定義355群的判定定理1(定理3.9)

集合S關(guān)于給定的規(guī)定⊙做成群的判定方法:1）集合S非空；2）規(guī)定⊙是集合S上的代數(shù)運(yùn)算；3）代數(shù)運(yùn)算⊙在集合S上適合結(jié)合律；4）左右方程有解.

若群G的運(yùn)算⊙滿足交換律,則G叫做交換群.或叫阿貝爾群,以紀(jì)念群論創(chuàng)始人之一的挪威數(shù)學(xué)家阿貝爾.356群的判定定理2(定理3.10)代數(shù)系統(tǒng)做成群的判定方法:1)規(guī)定⊙在集合S上適合結(jié)合律；2)左右方程都有解.357群的判定定理3(定理3.11)

半群做成群的判定方法:

左右方程都有解.358左右方程有解的充要條件(定理3.12)證明359群的定義1的等價(jià)定義(定義3.11)360左單位元、右單位元及單位元的定義(定義3.12)2單位元及逆元的定義361左逆元、右逆元及逆元的定義(定義3.13)362例3.1363例3.2364例3.3365例3.4366例3.5367例3.6368例3.7369例3.8370例3.10371372例3.11373群的定義2(定義3.14)3群的第二定義374375376群的判定定理4(定理3.13)

集合關(guān)于給定的規(guī)定做成群的判定方法:1)集合非空；2)給定的規(guī)定是集合上的代數(shù)運(yùn)算；3)給定的規(guī)定在集合上適合結(jié)合律；

4)有單位元(注意:必須先找出單位元,再驗(yàn)證關(guān)系式.);5)每個(gè)元素都有逆元(注意:必須先找出每個(gè)元素的逆元,再驗(yàn)證關(guān)系式.)377群的判定定理5(定理3.14)

代數(shù)系統(tǒng)做成群的判定方法:1)給定的規(guī)定在集合上適合結(jié)合律；

2)有單位元(注意:必須先找出單位元,再驗(yàn)證關(guān)系式.);3)每個(gè)元素都有逆元(注意:必須先找出每個(gè)元素的逆元