專(zhuān)題09 解三角形（解析版）

答案第=page22頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)專(zhuān)題09解三角形【練基礎(chǔ)】一、單選題1．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考一模）的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，已知，，，則（

）A．4 B． C． D．【答案】B【分析】利用正弦定理角化邊，可求得c的值，再由余弦定理即可求得答案.【詳解】解：因?yàn)椋?，?又，所以，由余弦定理得,從而.故選：B2．（2023·廣西柳州·二模）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，且的面積為，則（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】在中由余弦定理得，由，得，即可解決.【詳解】由題知，在中，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，，，且的面積為，所以在中由余弦定理得，即，因?yàn)椋?，代入，所以，即，所以，所以，故選：B3．（2023·河北·河北衡水中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖是一款訂書(shū)機(jī)，其內(nèi)部結(jié)構(gòu)可簡(jiǎn)化為如圖模型.使用時(shí)將B下壓，E接觸平臺(tái)，D緊鄰E，此時(shí)鈍角增大了（

）（參考數(shù)據(jù)：，，.）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意結(jié)合余弦定理運(yùn)算求解.【詳解】如圖1，過(guò)點(diǎn)A作，，垂足為，，則，故，連接，在中，由余弦定理可得：，即，∵，即此時(shí)為銳角，如圖2，設(shè)平臺(tái)，即三點(diǎn)重合，則，連接，在中，由余弦定理可得：，在中，由余弦定理可得：，則，整理得，即，又∵，則，此時(shí)鈍角增大的值大于，符合題意的只有D選項(xiàng).故選：D.4．（2022秋·河南·高三洛陽(yáng)市第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知中，設(shè)角、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，的面積為，若，則的值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】首先根據(jù)正弦定理將等式中的角轉(zhuǎn)化成邊得：，通過(guò)余弦定理可將等式化簡(jiǎn)整理為，通過(guò)三角函數(shù)圖像可知，同時(shí)通過(guò)基本不等式可知，即得，通過(guò)取等條件可知，，將其代入問(wèn)題中即可求解答案.【詳解】已知由正弦定理可知：，，整理得：，兩邊同除得：，根據(jù)余弦定理得：，即，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.綜上所述：且，故得：，此時(shí)且，，.故選：B5．（2022·云南紅河·校考模擬預(yù)測(cè)）在中，角的對(duì)邊分別為，的面積為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角形面積公式，正弦定理角化邊，余弦定理結(jié)合即可解決.【詳解】由題知，的面積為，所以，即所以由正弦定理得，即，所以，因?yàn)椋裕蔬x：D6．（2022·四川·模擬預(yù)測(cè)）在中，角的對(duì)邊分別為，已知三個(gè)向量，共線，則的形狀為（

）A．等邊三角形 B．鈍角三角形C．有一個(gè)角是的直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【分析】由向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算可得，利用正弦定理化邊為角，再展開(kāi)二倍角公式整理可得，結(jié)合角的范圍求得，同理可得，則答案可求．【詳解】向量，共線，，由正弦定理得：，，則，，，，即．同理可得．形狀為等邊三角形．故選：A．7．（2023·上海·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在中，已知，D是邊上的一點(diǎn)，，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由余弦定理求出，得到，由正弦定理進(jìn)行求解出答案.【詳解】在中，由余弦定理得：，因?yàn)?，所以，在中，由正弦定理得：，即，解得：故選：D8．（2022·安徽合肥·合肥市第八中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知在中，．若與的內(nèi)角平分線交于點(diǎn)，的外接圓半徑為，則面積的最大值為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由正弦定理結(jié)合已知條件可求得，可得出，再利用等面積法可得出內(nèi)切圓半徑的表達(dá)式，結(jié)合基本不等式可求得面積的最大值.【詳解】由及正弦定理可得，，所以，，則，所以，，所以，的外接圓直徑為，設(shè)內(nèi)角、、的對(duì)邊分別記為、、，則，所以，，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則，所以，，因此，，因?yàn)?，所以，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，面積的最大值為.故選：C.二：多選題9．（2022秋·廣東肇慶·高三肇慶市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）的內(nèi)角A，，的對(duì)邊分別為a，b，c，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則B．若，則此三角形為等腰三角形C．若，，，則解此三角形必有兩解D．若是銳角三角形，則【答案】AD【分析】由正弦定理可求A，然后可判斷A；根據(jù)角的范圍直接求解可判斷B；正弦定理直接求解可判斷C；利用誘導(dǎo)公式和正弦函數(shù)單調(diào)性可判斷D.【詳解】由正弦定理可知，又，所以，可得，因?yàn)?，所以，A正確；因?yàn)?，且?A，2最多有一個(gè)大于，所以由可知，或，即或，所以為等腰三角形或直角三角形，故B錯(cuò)誤；由正弦定理可得，因?yàn)椋?，故此三角形有唯一解，C錯(cuò)誤；因?yàn)槭卿J角三角形，所以，即，又在上單調(diào)遞增，所以，同理，所以，D正確.故選：AD10．（2022秋·福建福州·高三福建省福州延安中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，中，，點(diǎn)M為線段AB中點(diǎn)，P為線段CM的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AP交邊BC于點(diǎn)N，則下列結(jié)論正確的有（

）．A． B．C． D．與夾角的余弦值為【答案】AC【分析】對(duì)A，根據(jù)平面向量基本定理，結(jié)合向量共線的線性表示求解即可；對(duì)B，根據(jù)三點(diǎn)共線的性質(zhì)，結(jié)合可得，進(jìn)而得到判斷即可；對(duì)C，根據(jù)余弦定理可得，再根據(jù)B中兩邊平方化簡(jiǎn)求解即可；對(duì)D，在中根據(jù)余弦定理求解即可【詳解】對(duì)A，，故A正確；對(duì)B，設(shè)，則由A，，故，因?yàn)槿c(diǎn)共線，故，解得，故，故，所以，即，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，由余弦定理，，由B有，故，即，所以，故C正確；對(duì)D，在中，，，故，故D錯(cuò)誤；故選：AC11．（2022·吉林長(zhǎng)春·長(zhǎng)春市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考二模）銳角的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則（

）A．B．的取值范圍是C．若，則D．的取值范圍是【答案】ACD【分析】對(duì)于A：由正弦定理得到，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可得到，即可判斷；對(duì)于B：由為銳角三角形，列不等式組，解得：，即可判斷；對(duì)于C：先由正弦定理得到，再由余弦定理解得.對(duì)于D：由正弦定理得到，由，求出的取值范圍.【詳解】對(duì)于A：在中，由正弦定理，可化為：.因?yàn)椋?，所以，所?所以，即.或，即這與A為的內(nèi)角相矛盾，舍去.故.故A正確；對(duì)于B：因?yàn)闉殇J角三角形，所以，所以，解得：.故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)?，由正弦定理得：，即，所?因?yàn)椋捎嘞叶ɡ淼茫海?，即，即，解得：（舍去?故C正確；對(duì)于D：由正弦定理，.因?yàn)?，所以，所以，即的取值范圍?故D正確.故選：ACD12．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，，則以下四個(gè)命題中正確的是（

）A．B．面積的取值范圍為C．已知M是邊BC的中點(diǎn)，則的取值范圍為D．當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)為【答案】ABD【分析】利用正弦定理化邊為角，結(jié)合三角形內(nèi)角關(guān)系及兩角和的正弦公式即可判斷A；以BC的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，求出點(diǎn)的軌跡方程，從而可判斷BC；由，可得，結(jié)合正弦定理及，可得，從而可求出，從而可求出，求出，即可判斷D.【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，∵，，∴，∴，即，所以，∴，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，以BC的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得，所以點(diǎn)A在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，（B、C除外）所以點(diǎn)A到BC邊的最大距離為，所以面積的最大值為，∴面積的取值范圍為，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)辄c(diǎn)A在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，設(shè)，則，即，又，，所以，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，由，可得，由A選項(xiàng)，得，由正弦定理得，即，所以，化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，所以化?jiǎn)得，因?yàn)?，所以，所以，則，所以，所以，，，為直角三角形，所以，，所以的周長(zhǎng)為，所以選項(xiàng)D正確.故選：ABD．三：填空題13．（2022·吉林長(zhǎng)春·長(zhǎng)春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，是等邊三角形，是等腰三角形，交于，則__________.【答案】##【分析】由題意易得，，在中，分別求出，再利用正弦定理即可得解.【詳解】解：由題意可得，，則，所以，所以，，在中，由，得.故答案為：.14．（2022·云南·云南民族大學(xué)附屬中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）某景區(qū)為拓展旅游業(yè)務(wù)，擬建一個(gè)觀景臺(tái)如圖所示，其中，為兩條公路，，，為公路上的兩個(gè)景點(diǎn)，測(cè)得，，為了獲得最佳觀景效果，要求對(duì)的視角現(xiàn)需要從觀景臺(tái)到，建造兩條觀光路線，，且要求觀光路線最長(zhǎng).若建造觀光路線的寬為米，每平方造價(jià)為元，則該景區(qū)預(yù)算需投入___萬(wàn)元可完成改造【答案】【分析】先用余弦定理求出MN，設(shè)，用正弦定理表示出,利用三角函數(shù)求出最大值，即可得到預(yù)算投入.【詳解】在中，由余弦定理得：，解得（千米）；設(shè)，，，在中，由正弦定理，得，，，，又因?yàn)椋运?，即觀光線路長(zhǎng)的最大值為，該景區(qū)預(yù)算需投入元萬(wàn)元．故答案為：265.15．（2022秋·河北邯鄲·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知，，則的最小值為_(kāi)_____．【答案】【分析】先利用正弦定理將角化為邊，然后利用余弦定理結(jié)合基本不等式求解即可.【詳解】，則原等式為，由正弦定理得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．故答案為：.16．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求面積的公式，他把這種方法稱(chēng)為“三斜求積”，它填補(bǔ)了我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個(gè)空白．如果把這個(gè)方法寫(xiě)成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三邊，S是三角形的面積．設(shè)某三角形的三邊，則該三角形的面積___________．【答案】.【分析】根據(jù)題中所給的公式代值解出．【詳解】因?yàn)?，所以．故答案為?四：解答題17．（2023·浙江·統(tǒng)考一模）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理邊角變換，結(jié)合三角函數(shù)和差化積公式與倍角公式推得，從而得到，由此得解；（2）結(jié)合（1）中結(jié)論，利用余弦定理與基本不等式即可得解.【詳解】（1）由正弦定理得，又，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，故，又，所以，因?yàn)?，所以．?）由（1）得，所以由余弦定理得，記，則，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，即，故，則，所以，即．18．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，．(1)已知，求的值；(2)已知的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且，c＝3，若向量與垂直，求的周長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先變形得到，再利用計(jì)算即可；（2）先通過(guò)求出，再利用向量垂直求出，則也可得出，再通過(guò)正弦定理求角所對(duì)的邊即可求出周長(zhǎng).【詳解】（1），，；（2）由（1）得，則，，又，，又向量與垂直，，即，又，則，由正弦定理，則，的周長(zhǎng)為.19．（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在中，角，，的對(duì)邊分別是，，，且滿(mǎn)足．(1)求；(2)若，是邊上的高，求的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）將兩邊同乘，再由正弦定理將邊化角，最后由兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式計(jì)算可得；（2）利用余弦定理及基本不等式求出的最大值，即可求出面積的最大值，再根據(jù)求出的最大值.【詳解】（1）解：因?yàn)?，所以，由正弦定理可得，即，因?yàn)?，所以，所以，則.（2）解：因?yàn)?，，由余弦定理，即，所以?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，又，所以，故的最大值為.20．（2022·四川樂(lè)山·統(tǒng)考一模）設(shè)函數(shù)(1)求函數(shù)的最大值和最小正周期；(2)在銳角中，角所對(duì)的邊分別為為的面積.若且求的最大值.【答案】(1)最大值為，最小正周期為(2)【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換得，即可解決；（2）由題得，代入題中解決即可.【詳解】（1）由題知，所以函數(shù)的最大值為，最小正周期為．（2）由（1）得，因?yàn)?，所以．因?yàn)锽為銳角，所以．因?yàn)?，所以?所以．所以．當(dāng)時(shí)，原式有最大值．所以的最大值為.【提能力】一：?jiǎn)芜x題21．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知中，，，，D是邊BC上一點(diǎn)，.則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用正弦定理及余弦定理可得，結(jié)合條件可得，然后利用余弦定理可得，，進(jìn)而可得，即得.【詳解】設(shè)中，角的對(duì)邊為，∵，即，∴，∴，又，∴，又，，∴，即，∴，故，∴，，，又，，∴，.故選：B.22．（2022·河南·靈寶市第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在中，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，的面積為，則線段的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，，根據(jù)三角形的面積以及余弦定理可推得，設(shè)函數(shù)，則方程在上有解，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，求得答案.【詳解】設(shè)，，所以，即①，由余弦定理得，即②，由①②得：，即，令，設(shè)，則方程在上有解，因?yàn)椋?，解得，即，故選：C．23．（2023·上?！じ呷龑?zhuān)題練習(xí)）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用三角恒等變換及正弦定理將進(jìn)行化簡(jiǎn)，可求出的值，再利用邊化角將化成角，然后利用輔助角公式及角的范圍即可得到答案.【詳解】由題知，即由正弦定理化簡(jiǎn)得即故選：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：邊角互化的方法（1）邊化角：利用正弦定理（為外接圓半徑）得，，；（2）角化邊：

①利用正弦定理：，，②利用余弦定理：24．（2022·甘肅張掖·高臺(tái)縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在銳角中，角所對(duì)的邊分別為，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)余弦定理以及正弦定理化簡(jiǎn)條件得、關(guān)系，再根據(jù)二倍角正切公式以及函數(shù)單調(diào)性求范圍．【詳解】∵，∴所以因此設(shè)，∵是銳角三角形，∴，∴∴，在上單調(diào)遞增，∴，故選：C25．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知是不共線向量，設(shè)，，，，若△的面積為3，則△的面積為（

）A．8 B．6 C．5 D．4【答案】A【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合向量的線性表示，向量加減法的運(yùn)算，可得到與的兩個(gè)邊之間的關(guān)系，利用面積公式結(jié)合邊的關(guān)系，可得結(jié)論.【詳解】∵，，，，如圖，在平行四邊形中，，設(shè)，則，即同理，在平行四邊形中，，可得，，∴，；所以與的夾角為或其補(bǔ)角，則∴的面積為8.故選：A.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：（1）應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算；（2）用向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路是：先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決.26．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在中，，點(diǎn)在邊上，且，設(shè)，則當(dāng)取最大值時(shí)，（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)，利用兩角和與差的正弦公式化簡(jiǎn)得到，進(jìn)而求得A，根據(jù)點(diǎn)在邊上，且，得到，再由余弦定理結(jié)合兩邊平方，得到，令，得到，用導(dǎo)數(shù)法求得最大值時(shí)a，b，c的關(guān)系，再利用正弦定理求解.【詳解】因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以，，因?yàn)?，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在邊上，且，所以，設(shè)，則，在中，由余弦定理得，，所以，即，即，所以，令，得，則，令，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)，所以，解得，在中，由正弦定理得，解得，即.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是利用正弦定理得到，然后利用余弦定理表示BC，利用平面向量表示AD而得解.27．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）銳角的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，且，，若，變化時(shí)，存在最大值，則正數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由，可得，由正弦定理轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系可以得到，由此推出，又為銳角三角形，可求出，將都用角A表示可以得到，且，當(dāng)取最大值時(shí)利用可求得的范圍.【詳解】解：因?yàn)?，，所以，可得：，即，因?yàn)闉殇J角三角形，則有，即，解得：.=，當(dāng)時(shí)，原式有最大值，此時(shí)，則，，，即，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)正弦定理的應(yīng)用，考查三角函數(shù)輔助角公式，對(duì)輔助角公式的熟練應(yīng)用是解題的關(guān)鍵，屬于難題.二、多選題28．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)的三個(gè)內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，．下列有關(guān)等邊三角形的四個(gè)命題中正確的是（

）．A．若，則是等邊三角形B．若，則是等邊三角形C．若，則是等邊三角形D．若，則是等邊三角形【答案】BCD【分析】根據(jù)正弦定理及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，即可判斷ABCD的真假.【詳解】A，若，由正弦定理可知：任意都滿(mǎn)足條件，因此不一定是等邊三角形，不正確；B，若，由正弦定理可得：，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，正確．C，若，由正弦定理可得：，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，正確．D，若，∴，時(shí)，是等邊三角形；時(shí)，研究函數(shù)的單調(diào)性，，時(shí)，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此不成立．綜上可得：是等邊三角形，正確．故選：BCD．29．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·高三?？茧A段練習(xí)）在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，面積為，有以下四個(gè)命題中正確的是（

）A．的最大值為B．當(dāng)，時(shí)，不可能是直角三角形C．當(dāng)，，時(shí)，的周長(zhǎng)為D．當(dāng)，，時(shí)，若為的內(nèi)心，則的面積為【答案】ACD【解析】利用三角形面積公式，余弦定理基本不等式，以及三角換元，數(shù)形結(jié)合等即可判斷選項(xiàng)A；利用勾股定理的逆定理即可判斷選項(xiàng)B；利用正弦定理和三角恒等變換公式即可判斷選項(xiàng)C；由已知條件可得是直角三角形，從而可以求出其內(nèi)切圓的半徑，即可得的面積即可判斷選項(xiàng)D.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.令，，故，因?yàn)椋?，故可得點(diǎn)表示的平面區(qū)域是半圓弧上的點(diǎn)，如下圖所示：目標(biāo)函數(shù)上，表示圓弧上一點(diǎn)到點(diǎn)點(diǎn)的斜率，數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)且僅當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過(guò)點(diǎn)，即時(shí)，取得最小值，故可得，又，故可得，當(dāng)且僅當(dāng)，，即三角形為等邊三角形時(shí)，取得最大值，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，所以由正弦定理得，若是直角三角形的斜邊，則有，即，得，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，由，可得，由得，由正弦定理得，，即，所以，化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，所以化?jiǎn)得，因?yàn)?，所以，所以，則，所以，所以，，，因?yàn)?，所以，，所以的周長(zhǎng)為，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，由C可知，為直角三角形，且，，，，，所以的內(nèi)切圓半徑為，所以的面積為所以選項(xiàng)D正確，故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是正余弦定理以及面積公式，對(duì)于A利用面積公式和余弦定理，結(jié)合不等式得，再利用三角換元、數(shù)形結(jié)合即可得證，綜合性較強(qiáng)，屬于難題.30．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）中國(guó)南宋時(shí)期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書(shū)九章》中提出了“三斜求積術(shù)”，即以小斜冪，并大斜冪，減中斜冪，余半之，自乘于上；以小斜冪乘大斜冪，減上，余四約之，為實(shí)；一為從隅，開(kāi)平方得積.把以上文字寫(xiě)成公式，即（為三角形的面積，、、為三角形的三邊）.現(xiàn)有滿(mǎn)足，且的面積，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的周長(zhǎng)為 B．的三個(gè)內(nèi)角、、成等差數(shù)列C．的外接圓半徑為 D．的中線的長(zhǎng)為【答案】AB【解析】本題首先可根據(jù)得出，然后根據(jù)以及求出三邊的長(zhǎng)，即可判斷出A正確，然后根據(jù)余弦定理求出，則，，B正確，再然后根據(jù)即可判斷出C錯(cuò)誤，最后根據(jù)余弦定理求出，再根據(jù)求出長(zhǎng)，D錯(cuò)誤.【詳解】A項(xiàng)：設(shè)的內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、，因?yàn)?，所以由正弦定理可得，設(shè)，，，因?yàn)?，所以，解得，則，，，故的周長(zhǎng)為，A正確；B項(xiàng)：因?yàn)?，所以，，故的三個(gè)內(nèi)角、、成等差數(shù)列，B正確；C項(xiàng)：因?yàn)?，所以，由正弦定理得，，C錯(cuò)誤；D項(xiàng)：由余弦定理得，在中，，由余弦定理得，解得，D錯(cuò)誤，故選：AB.【點(diǎn)睛】本題考查解三角形相關(guān)問(wèn)題的求解，考查的公式有、，考查正弦定理邊角互換的靈活應(yīng)用，考查根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)證明數(shù)列是等差數(shù)列，考查計(jì)算能力，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，是難題.31．（2022秋·江蘇蘇州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在△中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為a、b、c，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．若，則C．D．若，且，則△為等邊三角形【答案】ACD【分析】A由正弦定理及等比的性質(zhì)可說(shuō)明；B令可得反例；C由和角正弦公式及三角形內(nèi)角和的性質(zhì)有，由正弦定理即可證；D若，，根據(jù)單位向量的定義，向量加法的幾何意義及垂直表示、數(shù)量積的定義易知△的形狀.【詳解】A：由，根據(jù)等比的性質(zhì)有，正確；B：當(dāng)時(shí)，有，錯(cuò)誤；C：，而，即，由正弦定理易得，正確；D：如下圖，是單位向量，則，即、，則且平分，的夾角為，易知△為等邊三角形，正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：D選項(xiàng)，注意應(yīng)用向量在幾何圖形中所代表的線段，結(jié)合向量加法、數(shù)量積的幾何意義判斷夾角、線段間的位置關(guān)系，說(shuō)明三角形的形狀.三、填空題32．（2022秋·江西撫州·高三臨川一中?？计谥校┰阡J角中，角所對(duì)的邊分別為為的面積，且，則的取值范圍___________.【答案】【分析】利用三角形面積公式與余弦定理,可得，再根據(jù)同角關(guān)系式可得，，然后利用正弦定理與三角恒等變換公式化簡(jiǎn)可得出，結(jié)合條件可得的取值范圍，進(jìn)而即得.【詳解】因?yàn)?，且，所以，即，由余弦定理得：，所以，又，所以，解得：或，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，，所以，因?yàn)?，所以，由正弦定理得：，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，即,所以，所以，所以，所以，，故.故答案為：.33．（2022秋·遼寧沈陽(yáng)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）剪紙，又叫刻紙，是一種鏤空藝術(shù)，是中國(guó)漢族最古老的民間藝術(shù)之一．如圖，紙片為一圓形，直徑，需要剪去四邊形，可以經(jīng)過(guò)對(duì)折、沿裁剪、展開(kāi)就可以得到．已知點(diǎn)在圓上且．要使得鏤空的四邊形面積最小，的長(zhǎng)應(yīng)為_(kāi)____．【答案】##【分析】設(shè)根據(jù)可得，進(jìn)而根據(jù)的面積公式可得的關(guān)系，再根據(jù)基本不等式可得當(dāng)為等腰三角形時(shí)取得面積最小值，進(jìn)而得出此時(shí)，結(jié)合三角函數(shù)求解即可.【詳解】如圖，連接，作于，由題意，，故，所以.設(shè)則由面積公式，，即.由余弦定理，結(jié)合基本不等式，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故取最小值時(shí)，此時(shí).故.故答案為：34．（2022·吉林長(zhǎng)春·長(zhǎng)春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）在中，角，，所對(duì)的邊為，，，若，且的面積，則的取值范圍是___________.【答案】【分析】由面積公式及余弦定理求出，再由正、余弦定理將角化邊，即可求出，再由正弦定理及三角恒等變換公式將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的三角函數(shù)，最后由三角函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】解：由，，又，所以，，，，，．，，由正弦定理得，所以，因?yàn)?，所以，所以，，．故答案為：?5．（2022秋·福建龍巖·高三福建省長(zhǎng)汀縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）銳角中，角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，有，且，則的取值范圍為_(kāi)__________.【答案】【分析】先利用三角函數(shù)恒等變形求出，利用正弦定理表示出，用三角函數(shù)求出的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，所?因?yàn)?所以，所以.所以.因?yàn)闉殇J角三角形，所以，所以,所以.所以，即.因?yàn)闉殇J角三角形，所以，解得：由正弦定理得：，.所以.因?yàn)?，所以，所?因?yàn)椋?，所以，所?即在中，由兩邊之和大于第三邊，所以.綜上所述：.故答案為：【點(diǎn)睛】解三角形的最值問(wèn)題包括兩類(lèi)：（1）利用正弦定理轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值；（2）利用余弦定理轉(zhuǎn)化為基本不等式求最值．四、解答題36．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在銳角中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，已知．(1)求角B的值；(2)若，求的周長(zhǎng)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理得到，再利用余弦定理求出；（2）根據(jù)正弦定理得到，從而得到，求出，得到，，從而求出周長(zhǎng)的取值范圍.【詳解】（1），由正弦定理得：，即，由余弦定理得：，因?yàn)?/p>