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文檔簡介

江西省五市八校2023屆高三第一次診斷性數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)是正實(shí)數(shù),則實(shí)數(shù)的值為()A. B. C. D.2.已知函數(shù),若有2個零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.3.已知函數(shù),其圖象關(guān)于直線對稱,為了得到函數(shù)的圖象,只需將函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)()A.先向左平移個單位長度,再把所得各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍,縱坐標(biāo)保持不變B.先向右平移個單位長度,再把所得各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來的,縱坐標(biāo)保持不變C.先向右平移個單位長度,再把所得各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍,縱坐標(biāo)保持不變D.先向左平移個單位長度,再把所得各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來的,縱坐標(biāo)保持不變4.i是虛數(shù)單位,若,則乘積的值是()A.-15 B.-3 C.3 D.155.已知函數(shù)(,)的一個零點(diǎn)是,函數(shù)圖象的一條對稱軸是直線,則當(dāng)取得最小值時,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A.() B.()C.() D.()6.公比為2的等比數(shù)列中存在兩項(xiàng),,滿足,則的最小值為()A. B. C. D.7.已知拋物線上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離比點(diǎn)到軸的距離大,則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A. B. C. D.8.中,角的對邊分別為,若,,,則的面積為()A. B. C. D.9.在等差數(shù)列中,若為前項(xiàng)和,,則的值是()A.156 B.124 C.136 D.18010.設(shè)復(fù)數(shù)滿足,在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為,則()A. B. C. D.11.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為()A. B. C. D.12.設(shè)集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集U=AB,則集合中的元素共有()A.3個 B.4個 C.5個 D.6個二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知F為拋物線C:x2=8y的焦點(diǎn),P為C上一點(diǎn),M(﹣4,3),則△PMF周長的最小值是_____.14.如圖所示的流程圖中,輸出的值為______.15.已知函數(shù)在處的切線與直線平行,則為________.16.已知函數(shù),若的最小值為,則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)的值;(2)定義:若直線與曲線都相切,我們稱直線為曲線、的公切線,證明:曲線與總存在公切線.18.(12分)已知函數(shù),.(1)若曲線在點(diǎn)處的切線方程為,求,;(2)當(dāng)時,,求實(shí)數(shù)的取值范圍.19.(12分)如圖,湖中有一個半徑為千米的圓形小島,岸邊點(diǎn)與小島圓心相距千米,為方便游人到小島觀光,從點(diǎn)向小島建三段棧道,,,湖面上的點(diǎn)在線段上,且,均與圓相切,切點(diǎn)分別為,,其中棧道,,和小島在同一個平面上.沿圓的優(yōu)弧(圓上實(shí)線部分)上再修建棧道.記為.用表示棧道的總長度,并確定的取值范圍;求當(dāng)為何值時,棧道總長度最短.20.(12分)記為數(shù)列的前項(xiàng)和,N.(1)求;(2)令,證明數(shù)列是等比數(shù)列,并求其前項(xiàng)和.21.(12分)設(shè)為拋物線的焦點(diǎn),,為拋物線上的兩個動點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn).(Ⅰ)若點(diǎn)在線段上,求的最小值;(Ⅱ)當(dāng)時,求點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍.22.(10分)已知矩陣的一個特征值為3,求另一個特征值及其對應(yīng)的一個特征向量.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

將復(fù)數(shù)化成標(biāo)準(zhǔn)形式,由題意可得實(shí)部大于零,虛部等于零,即可得到答案.【詳解】因?yàn)闉檎龑?shí)數(shù),所以且,解得.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的基本定義,屬基礎(chǔ)題.2、C【解析】

令,可得,要使得有兩個實(shí)數(shù)解,即和有兩個交點(diǎn),結(jié)合已知,即可求得答案.【詳解】令,可得,要使得有兩個實(shí)數(shù)解,即和有兩個交點(diǎn),,令,可得,當(dāng)時,,函數(shù)在上單調(diào)遞增;當(dāng)時,,函數(shù)在上單調(diào)遞減.當(dāng)時,,若直線和有兩個交點(diǎn),則.實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)零點(diǎn)求參數(shù)范圍,解題關(guān)鍵是掌握根據(jù)零點(diǎn)個數(shù)求參數(shù)的解法和根據(jù)導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性的步驟,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于中檔題.3、D【解析】

由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱,得,進(jìn)而得再利用圖像變換求解即可【詳解】由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱,得,即,解得,所以,,故只需將函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)“先向左平移個單位長度,得再將橫坐標(biāo)縮短為原來的,縱坐標(biāo)保持不變,得”即可.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),考查圖像變換,考查運(yùn)算求解能力,是中檔題4、B【解析】,∴,選B.5、B【解析】

根據(jù)函數(shù)的一個零點(diǎn)是,得出,再根據(jù)是對稱軸,得出,求出的最小值與對應(yīng)的,寫出即可求出其單調(diào)增區(qū)間.【詳解】依題意得,,即,解得或(其中,).①又,即(其中).②由①②得或,即或(其中,,),因此的最小值為.因?yàn)?,所以(?又,所以,所以,令(),則().因此,當(dāng)取得最小值時,的單調(diào)遞增區(qū)間是().故選:B【點(diǎn)睛】此題考查三角函數(shù)的對稱軸和對稱點(diǎn),在對稱軸處取得最值,對稱點(diǎn)處函數(shù)值為零,屬于較易題目.6、D【解析】

根據(jù)已知條件和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,求出關(guān)系,即可求解.【詳解】,當(dāng)時,,當(dāng)時,,當(dāng)時,,當(dāng)時,,當(dāng)時,,當(dāng)時,,最小值為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式,注意為正整數(shù),如用基本不等式要注意能否取到等號,屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】

由拋物線的定義轉(zhuǎn)化,列出方程求出p,即可得到拋物線方程.【詳解】由拋物線y2=2px(p>0)上的點(diǎn)M到其焦點(diǎn)F的距離比點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離大,根據(jù)拋物線的定義可得,,所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:y2=2x.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用,拋物線方程的求法,屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】

先求出,由正弦定理求得,然后由面積公式計(jì)算.【詳解】由題意,.由得,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查求三角形面積,考查正弦定理,同角間的三角函數(shù)關(guān)系,兩角和的正弦公式與誘導(dǎo)公式,解題時要根據(jù)已知求值要求確定解題思路,確定選用公式順序,以便正確快速求解.9、A【解析】

因?yàn)椋傻?,根?jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和,即可求得答案.【詳解】,,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求等差數(shù)列前項(xiàng)和,解題關(guān)鍵是掌握等差中項(xiàng)定義和等差數(shù)列前項(xiàng)和公式,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】

設(shè),根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義得到、的關(guān)系式,即可得解;【詳解】解:設(shè)∵,∴,解得.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】

直接相乘,得,由共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)即可得結(jié)果【詳解】∵∴其共軛復(fù)數(shù)為.故選:D【點(diǎn)睛】熟悉復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì).12、A【解析】試題分析:,,所以,即集合中共有3個元素,故選A.考點(diǎn):集合的運(yùn)算.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、5【解析】

△PMF的周長最小,即求最小,過做拋物線準(zhǔn)線的垂線,垂足為,轉(zhuǎn)化為求最小,數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】如圖,F(xiàn)為拋物線C:x2=8y的焦點(diǎn),P為C上一點(diǎn),M(﹣4,3),拋物線C:x2=8y的焦點(diǎn)為F(0,2),準(zhǔn)線方程為y=﹣2.過作準(zhǔn)線的垂線,垂足為,則有,當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時,等號成立,所以△PMF的周長最小值為55.故答案為:5.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線定義的應(yīng)用,考查數(shù)形結(jié)合與數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法,屬于中檔題.14、4【解析】

根據(jù)流程圖依次運(yùn)行直到,結(jié)束循環(huán),輸出n,得出結(jié)果.【詳解】由題:,,,結(jié)束循環(huán),輸出.故答案為:4【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)程序框圖運(yùn)行結(jié)果求輸出值,關(guān)鍵在于準(zhǔn)確識別循環(huán)結(jié)構(gòu)和判斷框語句.15、【解析】

根據(jù)題意得出,由此可得出實(shí)數(shù)的值.【詳解】,,直線的斜率為,由于函數(shù)在處的切線與直線平行,則.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的切線與直線平行求參數(shù),解題時要結(jié)合兩直線的位置關(guān)系得出兩直線斜率之間的關(guān)系,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

,可得在時,最小值為,時,要使得最小值為,則對稱軸在1的右邊,且,求解出即滿足最小值為.【詳解】當(dāng),,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立.當(dāng)時,為二次函數(shù),要想在處取最小,則對稱軸要滿足并且,即,解得.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的最值問題,對每段函數(shù)先進(jìn)行分類討論,找到每段的最小值,然后再對兩段函數(shù)的最小值進(jìn)行比較,得到結(jié)果,題目較綜合,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)見解析.【解析】

(1)求出導(dǎo)數(shù),問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立,利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值即可求解;(2)分別設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出切線方程,問題轉(zhuǎn)化為證明兩直線重合,只需滿足有解即可,利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及零點(diǎn)存在性定理即可證明存在.【詳解】(1),函數(shù)在上單調(diào)遞增等價于在上恒成立.令,得,所以在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,則.因?yàn)椋瑒t在上恒成立等價于在上恒成立;又,所以,即.(2)設(shè)的切點(diǎn)橫坐標(biāo)為,則切線方程為……①設(shè)的切點(diǎn)橫坐標(biāo)為,則,切線方程為……②若存在,使①②成為同一條直線,則曲線與存在公切線,由①②得消去得即令,則所以,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,,使得時總有又時,在上總有解綜上,函數(shù)與總存在公切線.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的恒成立問題,導(dǎo)數(shù)的幾何意義,利用導(dǎo)數(shù)證明方程有解,屬于難題.18、(1);(2)【解析】

(1)對函數(shù)求導(dǎo),運(yùn)用可求得的值,再由在直線上,可求得的值;(2)由已知可得恒成立,構(gòu)造函數(shù),對函數(shù)求導(dǎo),討論和0的大小關(guān)系,結(jié)合單調(diào)性求出最大值即可求得的范圍.【詳解】(1)由題得,因?yàn)樵邳c(diǎn)與相切所以,∴(2)由得,令,只需,設(shè)(),當(dāng)時,,在時為增函數(shù),所以,舍;當(dāng)時,開口向上,對稱軸為,,所以在時為增函數(shù),所以,舍;當(dāng)時,二次函數(shù)開口向下,且,所以在時有一個零點(diǎn),在時,在時,①當(dāng)即時,在小于零,所以在時為減函數(shù),所以,符合題意;②當(dāng)即時,在大于零,所以在時為增函數(shù),所以,舍.綜上所述:實(shí)數(shù)的取值范圍為【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及函數(shù)的最小值,屬于中檔題.處理函數(shù)單調(diào)性問題時,注意利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù),特別是已知單調(diào)性問題,轉(zhuǎn)化為函數(shù)導(dǎo)數(shù)恒不小于零,或恒小于零,再分離參數(shù)求解,求函數(shù)最值時分析好單調(diào)性再求極值,從而求出函數(shù)最值.19、,;當(dāng)時,棧道總長度最短.【解析】

連,,由切線長定理知:,,,,即,,則,,進(jìn)而確定的取值范圍;根據(jù)求導(dǎo)得,利用增減性算出,進(jìn)而求得取值.【詳解】解:連,,由切線長定理知:,,,又,,故,則劣弧的長為,因此,優(yōu)弧的長為,又,故,,即,,所以,,,則;,,其中,,-0+單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增故時,所以當(dāng)時,棧道總長度最短.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)當(dāng)中的應(yīng)用,屬于中檔題.20、(1);(2)證明見詳解,【解析】

(1)根據(jù),可得,然后作差,可得結(jié)果.(2)根據(jù)(1)的結(jié)論,用取代,得到新的式子,然后作差,可得結(jié)果,最后根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式,可得結(jié)果.【詳解】(1)由①,則②②-①可得:所以(2)由(1)可知:③則④④-③可得:則,且令,則,所以數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列所以【點(diǎn)睛】本題主要考查遞推公式以及之間的關(guān)系的應(yīng)用,考驗(yàn)觀察能力以及分析能力,屬中檔題.21、(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】

(1)由拋物線的性質(zhì),當(dāng)軸時,最小;(2)設(shè)點(diǎn),,分別代入拋物線方程和得到三個方程,消去,得到關(guān)于的一元二次方程,利用判別式即可求出的范圍.【詳解】解:(1)由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,,根據(jù)拋物線的性質(zhì),當(dāng)軸時,最小,最小值為,即為4.(2)由題意,設(shè)點(diǎn),,其中,.則,①,②因?yàn)?,,,所?③由①②③,得,由,且,得,解不等式,得點(diǎn)縱坐標(biāo)的范圍為.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的方程和性質(zhì)和二次方程的解的問題,考查運(yùn)算能力,此類問題能較好的考查考生的邏輯思維

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