課時跟蹤檢測(十四)　三類典型的圓周運動問題

課時跟蹤檢測(十四)三類典型的圓周運動問題A級——全員必做1.如圖所示，某餐桌上有一半徑為0.8m的圓形水平轉盤在轉盤的邊緣有一個茶杯隨轉盤一起轉動。已知茶杯和轉盤間的動摩擦因數(shù)為0.32，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，取重力加速度大小g＝10m/s2。為了使處于轉盤邊緣的茶杯不滑出轉盤，轉盤轉動的角速度不能超過()A．3.2rad/s B．2rad/sC．1.6rad/s D．0.8rad/s解析：選B由題意當轉盤轉起來時，由靜摩擦力提供向心力，當靜摩擦力達到最大值時，角速度最大，結合牛頓第二定律及向心力公式μmg＝mrω2，可求得ω＝eq\r(\f(μg,r))＝2rad/s，故選B。2．摩擦傳動是傳動裝置中的一個重要模型，如圖所示的兩個水平放置的輪盤靠摩擦力傳動，其中O、O′分別為兩輪盤的軸心。已知兩個輪盤的半徑比r甲∶r乙＝3∶1，且在正常工作時兩輪盤不打滑，今在兩輪盤上分別放置兩個同種材料制成的滑塊A、B，兩滑塊與輪盤間的動摩擦因數(shù)相同，兩滑塊距離軸心O、O′的間距RA＝2RB，若輪盤乙由靜止開始緩慢地轉動起來，且轉速逐漸增加，則下列敘述不正確的是()A．滑塊A和B在與輪盤相對靜止時，角速度之比為ω甲∶ω乙＝1∶3B．滑塊A和B在與輪盤相對靜止時，向心加速度之比為aA∶aB＝2∶9C．轉速增加后，滑塊B先發(fā)生滑動D．轉速增加后，兩滑塊一起發(fā)生滑動解析：選D兩輪邊緣的線速度相等r甲∶r乙＝3∶1，則根據(jù)v＝ωr可知，滑塊A和B在與輪盤相對靜止時，角速度之比為ω甲∶ω乙＝1∶3；因為RA＝2RB，根據(jù)a＝ω2r，滑塊A和B在與輪盤相對靜止時，向心加速度之比為aA∶aB＝2∶9；轉速增加后，假設滑塊B先發(fā)生滑動，則對B，μmBg＝mBaB，此時對A，mAaA＝eq\f(2,9)mAaB＝eq\f(2,9)μmAg<μmAg，即此時滑塊A還沒有產生滑動，選D。3．(2020·全國卷Ⅰ)如圖，一同學表演蕩秋千。已知秋千的兩根繩長均為10m，該同學和秋千踏板的總質量約為50kg。繩的質量忽略不計。當該同學蕩到秋千支架的正下方時，速度大小為8m/s，此時每根繩子平均承受的拉力約為()A．200N B．400NC．600N D．800N解析：選B該同學身高相對于秋千的繩長可忽略不計，可以把該同學與踏板看成質點。當該同學蕩到秋千支架的正下方時，由牛頓第二定律有2F－mg＝meq\f(v2,L)，代入數(shù)據(jù)解得F≈400N，B正確。4．(多選)如圖所示，豎直平面內有一半徑為R的圓形管道，管道內有一質量為m的小鋼球，小鋼球的直徑稍小于圓管的內徑，小鋼球的直徑遠小于R。在最低點給小鋼球一大小為v0、方向水平向右的初速度，小鋼球到達最高點的速度大小為eq\r(gR)(g為重力加速度大小)。圓管內壁光滑，水平線ab過管道圓心。下列說法正確的是()A．小鋼球到達最高點時，受到管壁的作用力大小為mgB．稍微減小v0，小鋼球無法通過最高點C．稍微增大v0，小鋼球通過最高點時，對圓管外側管壁有壓力D．小鋼球在水平線ab以下的管道中運動時，外側管壁對小鋼球一定有作用力解析：選CD小鋼球到達最高點時，根據(jù)牛頓第二定律有N＋mg＝meq\f(v2,R)，v＝eq\r(gR)，聯(lián)立求得N＝0，即小球在最高點不受管壁的作用，故A錯誤；稍微減小v，則小鋼球到達最高點的速度小于eq\r(gR)，小球重力大于所需向心力，將與管壁內側接觸，內壁對小球的支持力與小球重力的合力提供向心力，小球可以通過最高點，故B錯誤；稍微增大v，小鋼球通過最高點時速度大于eq\r(gR)，小鋼球重力不足以提供所需向心力，從而對圓管外側管壁有壓力的作用，故C正確；小鋼球在水平線ab以下的管道中運動時，重力沿垂直管壁向下的分力與管壁對小鋼球的彈力的合力要指向圓心，提供向心力，所以外側管壁對小鋼球一定有作用力，故D正確。5．(2022·泉州模擬)(多選)如圖為自行車氣嘴燈及其結構圖，彈簧一端固定在A端，另一端拴接重物，當車輪高速旋轉時，重物由于離心運動拉伸彈簧后才使觸點M、N接觸，從而接通電路，LED燈就會發(fā)光。下列說法正確的是()A．安裝時A端比B端更靠近氣嘴B．轉速達到一定值后LED燈才會發(fā)光C．增大重物質量可使LED燈在較低轉速下也能發(fā)光D．勻速行駛時，若LED燈轉到最低點時能發(fā)光，則在最高點時也一定能發(fā)光解析：選BC要使重物做離心運動時M、N接觸，則A端應靠近圓心，A錯誤；轉速越大，所需向心力越大，彈簧拉伸的越長，M、N接觸時燈就會發(fā)光，B正確；燈在最低點時F彈－mg＝mrω2，解得ω＝eq\r(\f(F彈,mr)－\f(g,r))，因此增大重物質量可使LED燈在較低轉速下也能發(fā)光，C正確；燈在最低點時F1－mg＝eq\f(mv2,r)，燈在最高點時F2＋mg＝eq\f(mv2,r)，勻速行駛時，在最低點時彈簧的伸長量可能大于在最高點時的伸長量，易知D錯誤。6.如圖所示，一傾斜的勻質圓盤繞垂直于盤面的固定對稱軸以恒定角速度ω轉動，盤面上離轉軸距離2.5m處有一小物體與圓盤始終保持相對靜止。物體與盤面間的動摩擦因數(shù)為eq\f(\r(3),2)(設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力)，盤面與水平面的夾角為30°，g取10m/s2。則ω的最大值是()A.eq\r(5)rad/s B.eq\r(3)rad/sC．1.0rad/s D．0.5rad/s解析：選C由題意易知臨界條件為物體在圓盤最低點受到的靜摩擦力最大，根據(jù)牛頓第二定律有，μmgcos30°－mgsin30°＝mrω2，解得ω＝1.0rad/s，C項正確，A、B、D項錯誤。7．如圖甲所示，輕桿一端固定在O點，另一端固定一個小球，現(xiàn)讓小球在豎直平面內做半徑為R的圓周運動，小球運動到最高點時，桿與小球間彈力大小為F，小球在最高點的速度大小為v，其F-v2圖像如圖乙所示，則下列說法錯誤的是()A．小球的質量為eq\f(aR,b)B．當?shù)氐闹亓铀俣却笮閑q\f(R,b)C．v2＝c時，小球對桿的彈力方向向上D．v2＝2b時，小球受到的彈力與重力大小相等解析：選B當彈力F方向向下時，F(xiàn)＋mg＝eq\f(mv2,R)，解得：F＝eq\f(m,R)v2－mg，當彈力F方向向上時，mg－F＝meq\f(v2,R)，解得：F＝mg－meq\f(v2,R)，對比F-v2圖像可知，b＝gR、a＝mg，聯(lián)立解得g＝eq\f(b,R)、m＝eq\f(aR,b)，選項A正確，B錯誤；v2＝c時，小球對桿的彈力方向向上，選項C正確；v2＝2b時，小球受到的彈力與重力大小相等，選項D正確。8.(2022·三明模擬)(多選)如圖所示，A是半徑為r的圓形光滑軌道，固定在木板B上，豎直放置；B的左右兩側各有一光滑擋板固定在地面上，使其不能左右運動，小球C靜止放在軌道最低點，A、B、C質量相等。現(xiàn)給小球一水平向右的初速度v0，使小球在圓形軌道的內側做圓周運動，為保證小球能通過軌道的最高點，且不會使B離開地面，初速度v0必須滿足(重力加速度為g)()A．最小值為eq\r(4gr) B．最大值為eq\r(6gr)C．最小值為eq\r(5gr) D．最大值為eq\r(7gr)解析：選CD設A、B、C的質量m，在最高點，速度最小時有mg＝meq\f(v12,r)，解得v1＝eq\r(gr)，根據(jù)機械能守恒定律，有2mgr＋eq\f(1,2)mv12＝eq\f(1,2)mv1′2，解得初速度v1′＝eq\r(5gr)，A錯誤，C正確；在最高點，速度最大時有mg＋2mg＝meq\f(v22,r)，解得v2＝eq\r(3gr)，同理可得初速度v2′＝eq\r(7gr)，B錯誤，D正確。9．(2022·南通模擬)如圖所示，水平轉盤上有一質量為m的小物塊，用長為L的細繩與通過轉盤中心的豎直轉軸相連，細繩與轉軸間的夾角為θ；系統(tǒng)靜止時，細繩繃直但繩中張力為零。物塊與轉盤間的動摩擦因數(shù)為μ，設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，轉盤可以不同的角速度勻速轉動。求：(1)要使細繩上張力為零，轉盤的角速度大小ω應該滿足的條件；(2)轉盤的角速度ω=eq\r(\f(g,Lcosθ))時細繩上張力的大小F。解析：(1)要使細繩上張力為零，則由靜摩擦力提供物塊的向心力，由牛頓第二定律得μmg≥mω2Lsinθ解得ω≤eq\r(\f(μg,Lsinθ))。(2)由牛頓第二定律得Fsinθ＋μFN＝mω2LsinθFcosθ＋FN－mg＝0，聯(lián)立解得F＝eq\f(mg,cosθ)。答案：(1)ω≤eq\r(\f(μg,Lsinθ))(2)eq\f(mg,cosθ)

B級——重點選做10．(多選)如圖所示，在水平轉臺上放一個質量M＝2.0kg的木塊，它與臺面間的最大靜摩擦力Ffm＝6.0N，繩的一端系住木塊，另一端穿過轉臺的中心孔O(為光滑的)懸吊一質量m＝1.0kg的小球，當轉臺以ω＝5.0rad/s的角速度轉動時，欲使木塊相對轉臺靜止，則它到O孔的距離可能是()A．6cmB．15cmC．30cm D．34cm解析：選BC轉臺以一定的角速度ω旋轉，木塊M所需的向心力與回旋半徑r成正比，在離O點最近處r＝r1時，M有向O點的運動趨勢，這時摩擦力Ff沿半徑向外，剛好達最大靜摩擦力Ffm，即mg－Ffm＝Mω2r1得r1＝eq\f(mg－Ffm,Mω2)＝8cm，同理，M在離O點最遠處r＝r2時，有遠離O點的運動趨勢，這時摩擦力Ff的方向指向O點，且達到最大靜摩擦力Ffm，即mg＋Ffm＝Mω2r2得r2＝eq\f(mg－Ffm,Mω2)＝32cm，則木塊M能夠相對轉臺靜止，回旋半徑r應滿足關系式r1≤r≤r2。故選B、C。11．過山車是游樂場里一項刺激有趣的項目，小張同學玩過之后，制作了一個迷你型的過山車模型(如圖甲)，其中一段結構簡化為如圖乙所示，該段由傾角α＝37°的傾斜軌道AB、水平軌道BC、豎直圓軌道和弧形軌道平滑連接而成。假設迷你型過山車的質量m＝1kg且可以看作質點，現(xiàn)從斜軌道上A處靜止滑下，已知豎直圓軌道半徑R＝0.1m，LAB＝1.5m，LBC＝1m，過山車與軌道AB和BC之間的動摩擦因數(shù)均為0.25，弧形軌道與圓軌道均視為光滑，忽略題意之外其他阻力。(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g取10m/s2)(1)求過山車到C點時對圓軌道的壓力大?。?2)通過計算判斷過山車能否沖上弧形軌道；(3)若過山車從斜面上距離B點s處靜止釋放，求s滿足什么條件，過山車會脫軌。解析：(1)A→C過程，根據(jù)動能定理得mgLABsin37°－μmgcos37°·LAB－μmgLBC＝eq\f(1,2)mvC2－0，解得vC＝eq\r(7)m/s，在C點，根據(jù)牛頓第二定律得FN－mg＝meq\f(vC2,R)，解得FN＝80N，根據(jù)牛頓第三定律得：過山車到C點時對圓軌道的壓力FN′＝FN＝80N，方向豎直向下。(2)設過山車到最高點時的臨界速度為v1，有mg＝meq\f(v12,R)，解得v1＝eq\r(gR)＝1m/s，由C點到最高點，由動能定理有－mg·2R＝eq\f(1,2)mv2－eq\f(1,2)mvC2，解得v＝eq\r(3)m/s>v1，可以沖上弧形軌道。(3)過山車恰好不能通過最高點時，有v＜eq\r(gR)，此時的動能小于eq\f(1,2)mgR，由動能定理可知