對(duì)數(shù)函數(shù)的概念 高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊(cè)

第4章

指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)4.4對(duì)數(shù)函數(shù)

4.4.1對(duì)數(shù)函數(shù)的概念

人教A版（2019)教學(xué)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)數(shù)學(xué)素養(yǎng)1.理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念.1.數(shù)學(xué)類比、數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).2.會(huì)求與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的定義域問題.2.數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)3.了解對(duì)數(shù)函數(shù)在生產(chǎn)實(shí)際中的簡(jiǎn)單應(yīng)用.3.數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).溫故知新1.對(duì)數(shù)的定義

一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù),記作

其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù),N叫做真數(shù).x

=logaN,注意：0和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù);2.對(duì)數(shù)與指數(shù)之間的關(guān)系ax=N

logaN=x

溫故知新3.

指數(shù)函數(shù)y=ax分的圖象和性質(zhì)圖象定義域值域性質(zhì)y=ax0<a<1a>1R(0,+∞)過定點(diǎn)(0,1)在R上單調(diào)遞增在R上單調(diào)遞減x>0,0<y<1;

x<0,y>1.x>0,y>1;x<0,0<y<1.新知導(dǎo)入在4.2.1的問題2中，我們已經(jīng)研究了死亡生物體內(nèi)碳14的含量y隨死亡時(shí)間x的變化而衰減的規(guī)律.反過來，已知死亡生物體內(nèi)碳14的含量，如何得知它死亡了多長(zhǎng)時(shí)間呢？進(jìn)一步地，死亡時(shí)間x是碳14的含量y的函數(shù)嗎？根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系，

新知探究

同樣地，根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系，由y=ax(a>0,且a≠1)可以得到

x=logay

(a>0,且a≠1),x也是y的函數(shù).通常我們用x表示自變量，y表示函數(shù).

為此將x=logay(a>0,且a≠1)中的字母x和y對(duì)調(diào)，寫成y=logax(a>0,且a≠1).對(duì)數(shù)函數(shù)定義：一般地，函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)（logarithmicfunction），其中x是自變量，定義域是(0，＋∞)．新知探究想一想(1)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)槭裁词?0，＋∞)?(2)對(duì)數(shù)函數(shù)的解析式有何特征？(1)ax＝N?logaN＝x，真數(shù)為冪值N，而N>0，故式子logax中，x>0.(2)①a>0，且a≠1；②logax的系數(shù)為1；③自變量x的系數(shù)為1.注意:在對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax中，①a>0，且a≠1；②x∈(0,＋∞)；③必須符合對(duì)數(shù)函數(shù)的三個(gè)特征.新知講授概念辨析：下列函數(shù)表達(dá)式中，是對(duì)數(shù)函數(shù)的有(

)①y＝logx2；②y＝logax(a∈R)；③y＝log8x；④y＝lnx；⑤y＝logx(x＋2)；⑥y＝2log4x；⑦y＝log2(x＋1)．A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)解析：①中自變量出現(xiàn)在底數(shù)上，∴①不是對(duì)數(shù)函數(shù)；②中底數(shù)a∈R不能保證a>0且a≠1；⑤、⑦的真數(shù)分別為(x＋2)，(x＋1)；⑥中l(wèi)og4x系數(shù)為2；只有③、④符合對(duì)數(shù)函數(shù)的定義．故選B.B新知講解【例1】求下列函數(shù)的定義域:(1)y=log3x2;(2)y=loga(4-x)(a>0,且a≠1);解：

新知講解求對(duì)數(shù)型函數(shù)定義域的原則：(1)分母不能為0；(2)根指數(shù)為偶數(shù)時(shí)，被開方數(shù)非負(fù)；(3)對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0，底數(shù)大于0且不為1；(4)若需對(duì)函數(shù)進(jìn)行變形，則需先求出定義域，再對(duì)函數(shù)進(jìn)行恒等變形.初試身手1.求下列函數(shù)的定義域:解：

(1)y=ln(1-x);

(1)∵1-x>0,即x<1,

新知講解【例2】假設(shè)某地初始物價(jià)為1,每年以5%的增長(zhǎng)率遞增，經(jīng)過y年后的物價(jià)為x．(1)該地的物價(jià)經(jīng)過幾年后會(huì)翻一番？(2)填寫下表,并根據(jù)表中的數(shù)據(jù),說明該地物價(jià)的變化規(guī)律．解：物價(jià)x12345678910年數(shù)y0(1)由題意可知，經(jīng)過y年后物價(jià)x為x=(1+5%)y,即x＝1.05y(y∈[0,+∞))由對(duì)數(shù)與指數(shù)間的關(guān)系，可得y=log1.05x(x∈[1,+∞)).由計(jì)算工具可得，當(dāng)x=2時(shí)，y≈14．所以，該地區(qū)的物價(jià)大約經(jīng)過14年后會(huì)翻一番．新知講解【例2】假設(shè)某地初始物價(jià)為1,每年以5%的增長(zhǎng)率遞增，經(jīng)過y年后的物價(jià)為x．(1)該地的物價(jià)經(jīng)過幾年后會(huì)翻一番？(2)填寫下表,并根據(jù)表中的數(shù)據(jù),說明該地物價(jià)的變化規(guī)律．解：物價(jià)x12345678910年數(shù)y0(2)根據(jù)函數(shù)y=log1.05x(x∈[1,+∞)),利用計(jì)算工具,可得數(shù)據(jù)表明該地區(qū)的物價(jià)隨時(shí)間增長(zhǎng)而增長(zhǎng),但大約每增加1倍所需要的時(shí)間在逐漸縮小.142328333740434547初試身手

C拓展延申

解：解得x>0且x≠1,所以此函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x>0且x≠1}.

⑵要使函數(shù)有意義，必有(3-x)(3+x)>0,解得-3<x<3,所以此函數(shù)的定義域?yàn)?-3,3).

解得0<x≤2,所以此函數(shù)的定義域?yàn)?0,2].課堂小結(jié)2.求與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的定義域.3.對(duì)數(shù)函數(shù)模型問題的求解.1.對(duì)數(shù)