陜西省寶雞市金臺(tái)區(qū)2023-2024學(xué)年高三10月教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)文科數(shù)學(xué)試題（含解析）

第第頁(yè)陜西省寶雞市金臺(tái)區(qū)2023-2024學(xué)年高三10月教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)文科數(shù)學(xué)試題（含解析）2024屆高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題文科數(shù)學(xué)答案2023.10

注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生將答題卡有關(guān)項(xiàng)目填寫(xiě)清楚。

2.全部答案在答題卡上作答，答在本試題上無(wú)效。

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．

1．B

解：，則.

2．C

解：依題意，，而陰影部分表示的集合是，又，則，所以.

3．D

解：如圖,該幾何體為正方體去掉三棱錐,

所以該幾何體的體積為：

,

4．D

解：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑，

設(shè)直線和圓相交于，

若較短弧長(zhǎng)與較長(zhǎng)弧長(zhǎng)之比為，則，

則圓心到直線的距離，即，即，

5．B

解：由題知的定義域?yàn)?，?/p>

即為偶函數(shù)，所以圖象關(guān)于軸對(duì)稱，排除A、C；

又，，

6．A

解：由題意可得，，，則，

則，

所以.

7．B

解：所有的基本事件構(gòu)成的區(qū)間長(zhǎng)度為，

因?yàn)橹本€在軸上的截距大于，所以直線在軸上的截距小于，

所以“直線在軸上的截距大于”包含的基本事件構(gòu)成的區(qū)間長(zhǎng)度為，

由幾何概型概率公式可得“直線在軸上的截距大于”的概率為，

8．A

解：若函數(shù)存在1個(gè)零點(diǎn)位于內(nèi)，

單調(diào)遞增,又因?yàn)榱泓c(diǎn)存在定理，

.

9．C

解：將甲乙兩人離開(kāi)電梯的樓層數(shù)配對(duì)，組成種等可能的結(jié)果，用表格表示如下：

甲乙

234567

2

3

4

5

6

7

記事件“甲乙兩人離開(kāi)電梯的樓層數(shù)的和是”，

則事件的可能結(jié)果有種，即，

所以事件的概率為：，

10．B

解：因?yàn)?，所以函?shù)圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，又，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且在區(qū)間上單調(diào)，所以，即，．

又，，，所以，所以，所以．

11．A解：由正弦定理角化邊可得，整理得，

因?yàn)?，所?/p>

由誘導(dǎo)公式可得，若，則，

又，所以，則，三角形為直角三角形，不滿足題意；

顯然時(shí)不滿足題意，所以，所以，又，，

所以，即，所以.

12．C

解：試題分析：設(shè)橢圓和雙曲線的半焦距為，，由于是以為底邊的等腰三角形，若，即有，由橢圓的定義可得，由雙曲線定義可得，即由，再由三角形的兩邊之和大于第三邊，可得，可得，既有，由離心率公式可得，由于，則由，則的取值范圍是.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.【答案】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，聯(lián)立方程，結(jié)合的取值范圍，求出，即可得到答案．

解：因?yàn)?，則，，

又，則，

因?yàn)?，所以?/p>

即，所以負(fù)舍，．

14.【答案】本題考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃應(yīng)用問(wèn)題，也考查了數(shù)形結(jié)合解題方法，是基礎(chǔ)題．

解：畫(huà)出，滿足約束條件，表示的平面區(qū)域，

如圖所示：結(jié)合圖象知目標(biāo)函數(shù)過(guò)時(shí)，取得最小值，

由，解得，

所以的最小值為．

15.【答案】6

解：設(shè)，則，解得，

所以則

故的周長(zhǎng)為

16.【答案】本題考查球的表面積和棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力.

根據(jù)題意，作出圖形，可得的外接圓半徑，球心到的外接圓圓心的距離，求出球的半徑，即可得出答案．

解：作出圖形，如圖所示：是邊長(zhǎng)為的正三角形，

的外接圓半徑，又側(cè)棱平面，且，

球心到的外接圓圓心的距離，

故球的半徑，故三棱錐外接球的表面積．

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．第1721題為必考題，每個(gè)考生都必須作答.第22,23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

（一）必考題：共60分.

17.（12分）（2023新課標(biāo)Ⅱ卷3題改）本題考查了樣本特征數(shù)的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是掌握平均數(shù)與方差的計(jì)算公式，考查了運(yùn)算能力．利用平均數(shù)和方差的計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算即可；比較與的大小，即可判斷得到答案．

解：由題中的數(shù)據(jù)可得，

--2分

，4分

；6分

；8分

，，10分

所以，故新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高．--12分

18.（12分）本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法及應(yīng)用，利用分類討論思想求出數(shù)列的和．主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬中檔題．直接利用已知條件求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．利用的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步利用分類討論思想的應(yīng)用求出數(shù)列的和．

解：設(shè)首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，

由于，，

兩式相減得，，2分

把代入，解得，4分

則：．6分

由于，

當(dāng)時(shí)，，

故：，8分

當(dāng)時(shí)，，

所以：，10分

故：．12分

19.（12分）

證明：（1）因?yàn)?，O為的中點(diǎn)，

所以，同理可得，2分

又由，平面，所以平面.4分

又因?yàn)槠矫?，所以平面平?6分

解：（2）如圖所示，分別過(guò)P，Q作平面的垂線，垂足分別為，，

則，在上，且，分別為的三等分點(diǎn)，

且，，，

所以四邊形為矩形，8分

所以，且，

所以，10分

由（1）得平面平面，

而平面平面，，

所以平面，11分

則，

三棱錐的體積為.12分

20．（12分）

解：（1）聯(lián)立方程組，消去得：2分

設(shè)，則，4分

因?yàn)锳為線段的中點(diǎn)，所以，解得，5分

所以直線的方程為，即.6分

（2）證明：因?yàn)椋?/p>

，8分

所以，

即，10分

所以，

因此，即以線段為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn).12分

21．（12分）（2023年乙卷文理17題改）

解：（1）當(dāng)，，定義域?yàn)?，所以?分

令，解得，3分

當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；

綜上：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.5分

（2）因?yàn)?，定義域?yàn)?，所以?分

當(dāng)時(shí)，令，解得，7分

當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；

綜上：

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.8分

所以，9分

要證，即證，即證恒成立，

令，則，10分

令，則；令，則；

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，11分

所以，則恒成立，

所以當(dāng)時(shí)，恒成立，證畢.12分

（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22，23題中任選一題作答.如果多做，那么按所做的第一題計(jì)分，作答時(shí)請(qǐng)寫(xiě)清題號(hào).

22.（10分）[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]

解：（1）由消去得，.

曲線的普通方程為，2分

曲線是一個(gè)以為圓心，為半徑的圓.3分

，

曲線的直角坐標(biāo)方程為，

曲線是一條直線.5分

（2）設(shè)圓心到直線的距離是，6分

則.8分

曲線與曲線相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，

由垂徑定理及勾股定理得.10分

兩公共點(diǎn)間的距離為.

23.（10分）[選修4-5：不等式選講]

解：（1）2分

不等式等價(jià)于或或4分

解得或，即不等式的解集為．5分

（2）由的圖象可知直線與的圖象圍成的封閉圖形是四邊形，

且，，，，6分

則的面積．8分

延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)，則，

從而的面積．

故四邊形的面積為．10分2024屆高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題

文科數(shù)學(xué)

2023.10

注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生將答題卡有關(guān)項(xiàng)目填寫(xiě)清楚。

2.全部答案在答題卡上作答，答在本試題上無(wú)效。

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．

1．設(shè)，則（）

A．1B．C．2D．

2．已知集合，，則下圖中陰影部分表示的集合為

（）

A．B．

C．D．

3．某幾何體的三視圖如圖所示（單位：），

則該幾何體的體積（單位：）為（）

A．B．6

C．D．

4．若直線把圓分成長(zhǎng)度為的兩段圓弧，則（）

A．B．C．D．

5．函數(shù)（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）在的大致圖象是（）

A．B．

C．D．

6．在梯形中，，為的中點(diǎn)，則（）

A．B．C．D．

7．若直線在軸上的截距在范圍內(nèi)，則該直線在軸上的截距大于的概率是（）

A．B．C．D．

8．若函數(shù)存在1個(gè)零點(diǎn)位于內(nèi)，則a的取值范圍是（）

A．B．C．D．

9．甲乙兩人在一座7層大樓的第一層進(jìn)入電梯，假設(shè)每人從第二層開(kāi)始在每一層離開(kāi)電梯是等可能的，則甲乙兩人離開(kāi)電梯的樓層數(shù)的和是6的概率是（）

A．B．C．D．

10．已知函數(shù)，若，，且在區(qū)間上單調(diào)，則的值為（）

A．B．C．D．1

11．鈍角中，，則（）

A．0B．C．D．1

12．已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，且左、右焦點(diǎn)分別為，.這兩條曲線在第一象限的交點(diǎn)為，是以為底邊的等腰三角形.若，記橢圓與雙曲線的離心率分別為、，則的取值范圍是（）

A．B．C．D．

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.若，，則．

14.若滿足約束條件，則的最小值為．

15.橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，A為上頂點(diǎn)，若的面積為，則的周長(zhǎng)為．

16.在三棱錐中，是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，側(cè)棱平面，且，則三棱錐的外接球表面積為．

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．第1721題為必考題，每個(gè)考生都必須作答.第22,23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

（一）必考題：共60分.

17.（12分)某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)有無(wú)提高，用一臺(tái)舊設(shè)備和一臺(tái)新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：

舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7

新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5

舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為和，樣本方差分別記為和．

（1）求，，，；

（2）判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高（如果，則認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高）（）．

18.（12分)已知等差數(shù)列滿足．

（1）求的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．

19.（12分）如圖，三棱錐，均為底面邊長(zhǎng)為、側(cè)棱長(zhǎng)為的正棱錐，且A、B、C、D四點(diǎn)共面（點(diǎn)P，Q在

平面的同側(cè)），交于點(diǎn)O.

（1）證明：平面平面；

（2）求三棱錐的體積.

20.（12分）設(shè)直線的方程為，該直線交拋物線于兩個(gè)不同的點(diǎn).

（1）若點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，求直線的方程；

（2）證明：以線段為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn).

21.（12分）已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；

（2）證明：當(dāng)時(shí)，．

（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22，23題中任選一題作答.如果多做，那么按所做的第一題計(jì)分，作答時(shí)請(qǐng)寫(xiě)清題