5.D10-習(xí)題課教學(xué)課件

習(xí)題課一、重積分計算的基本方法二、重積分計算的基本技巧三、重積分的應(yīng)用機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束

第十章

重積分的計算及應(yīng)用5.D10_習(xí)題課一、重積分計算的基本方法1.選擇合適的坐標(biāo)系使積分域多為坐標(biāo)面(線)圍成;被積函數(shù)用此坐標(biāo)表示簡潔或變量分離.2.選擇易計算的積分序積分域分塊要少,累次積分易算為妙.圖示法列不等式法(從內(nèi)到外:

面、線、點)3.掌握確定積分限的方法——累次積分法機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束5.D10_習(xí)題課1.計算二重積分其中D為圓周所圍成的閉區(qū)域.提示:

利用極坐標(biāo)原式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束5.D10_習(xí)題課2.

把積分化為三次積分,其中

由曲面提示:

積分域為原式及平面所圍成的閉區(qū)域.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束5.D10_習(xí)題課3.計算積分其中是兩個球

(R>0)的公共部分.提示:

由于被積函數(shù)缺x,y,原式=利用“先二后一”計算方便.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束5.D10_習(xí)題課4.計算三重積分其中是由

xoy平面上曲線所圍成的閉區(qū)域.提示:

利用柱坐標(biāo)原式繞x

軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面與平面機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束5.D10_習(xí)題課5.計算積分其中D由所圍成

.提示:如圖所示連續(xù),所以機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束5.D10_習(xí)題課二、重積分計算的基本技巧分塊積分法利用對稱性1.交換積分順序的方法2.利用對稱性或重心公式簡化計算3.消去被積函數(shù)絕對值符號4.利用重積分換元公式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束5.D10_習(xí)題課證明:提示:

左端積分區(qū)域如圖,交換積分順序即可證得.1.2.其中是所圍成的閉區(qū)域，f連續(xù)。提示:

被積函數(shù)在對稱域上關(guān)于x

為奇函數(shù),

利用對稱性可知原式為0.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束由球面5.D10_習(xí)題課3.在均勻的半徑為R的圓形薄片的直徑上,要接上一個一邊與直徑等長的同樣材料的均勻矩形薄片,使整個的另一邊長度應(yīng)為多少?提示:

建立坐標(biāo)系如圖.由對稱性知由此解得問接上去的均勻矩形薄片即有薄片的重心恰好落在圓心上,機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束5.D10_習(xí)題課例1.

計算二重積分其中:(1)D為圓域(2)D由直線解:(1)

利用對稱性.圍成.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束5.D10_習(xí)題課(2)

積分域如圖:將D分為添加輔助線利用對稱性,得機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束5.D10_習(xí)題課例2.計算二重積分其中D是由曲所圍成的平面域.解:其形心坐標(biāo)為:面積為:積分區(qū)域線形心坐標(biāo)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束5.D10_習(xí)題課例3.計算二重積分在第一象限部分.

解:(1)兩部分,則其中D為圓域把與D分成作輔助線機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束5.D10_習(xí)題課(2)提示:兩部分

說明:若不用對稱性,需分塊積分以去掉絕對值符號.

作輔助線將D分成機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束5.D10_習(xí)題課例4.計算二重積分（《教程》P321例8（3））解：

被積函數(shù)復(fù)雜，難以積分，應(yīng)作坐標(biāo)變換。其相應(yīng)的二重積分區(qū)域為半圓形，故令原式=5.D10_習(xí)題課例5.如圖所示交換下列二次積分的順序:解:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束5.D10_習(xí)題課例6.解:

在球坐標(biāo)系下（《教程》P331—例16）利用洛必達(dá)法則與導(dǎo)數(shù)定義,得其中機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束5.D10_習(xí)題課三、重積分的應(yīng)用1.幾何方面面積(平面域或曲面域),體積,形心質(zhì)量,轉(zhuǎn)動慣量,質(zhì)心,引力證明某些結(jié)論等2.物理方面3.其它方面機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束5.D10_習(xí)題課例7.證明證:左端=右端機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束5.D10_習(xí)題課例8.

若f(x)在[0,1]上連續(xù)，證明（《教程》P322）證：（用原函數(shù)法）因f(x)連續(xù)，故設(shè)5.D10_習(xí)題課例9.設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)且恒大于零,

其中(1)討論F(t)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)的單調(diào)性;(2)證明t>0時,(03考研)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束5.D10_習(xí)題課解:

(1)

因為兩邊對

t

求導(dǎo),得機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束5.D10_習(xí)題課(2)

問題轉(zhuǎn)化為證

即證

故有因此t>0時,因機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束5.D10_習(xí)題課利用“先二后一”計算.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例10.試計算橢球體的體積V.解法15.D10_習(xí)題課*解法2利用三重積分換元法.令(廣義球坐標(biāo)代換)則機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束5.D10_習(xí)題課例11：求均勻橢球體對過原點的直線x=y=