高中數(shù)學(xué)人教A版必修2學(xué)案2.3.2平面與平面垂直的判定Word版含解析

2.知識(shí)導(dǎo)圖學(xué)法指導(dǎo)1.平面與平面垂直是平面與平面相交的特殊情況，對(duì)這種特殊關(guān)系的認(rèn)識(shí)，既可以從平面與平面的夾角為直角的角度討論，又可以從已有的線(xiàn)面垂直關(guān)系出發(fā)進(jìn)行推理論證．2．面面垂直源自線(xiàn)線(xiàn)垂直，這種轉(zhuǎn)化為“低維”垂直的思想方法在解題時(shí)非常重要，一方面從條件入手，分析已有的垂直關(guān)系，另一方面從結(jié)論入手，分析所要證明的垂直關(guān)系，從而找到解決問(wèn)題的途徑．3．判定定理中的條件“一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線(xiàn)”既為證明指明了方向，同時(shí)又有很強(qiáng)的制約性，使用定理時(shí)，一定要注意定理的條件．1.求二面角是高考理科卷的常考內(nèi)容，常與線(xiàn)面、面面位置關(guān)系綜合在一起進(jìn)行考查，以解答題的形式出現(xiàn)，分值5～10分．2．平面與平面垂直的判定定理，一般不會(huì)單獨(dú)考查，通常和平行、夾角等知識(shí)綜合考查，以選擇題或解答題的一問(wèn)的形式出現(xiàn)，分值5分.知識(shí)點(diǎn)一二面角1．二面角二面角定義從一條直線(xiàn)出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫作二面角．這條直線(xiàn)叫作二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫作二面角的面．如圖，記作：二面角α－l－β或二面角P－AB－Q或二面角P－l－Q范圍0°≤θ≤180°2.二面角的平面角文字語(yǔ)言在二面角α－l－β的棱l上任取一點(diǎn)O，以點(diǎn)O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線(xiàn)OA和OB，則射線(xiàn)OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫作二面角的平面角圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言α∩β＝l，O∈l，OA?α，OB?β，OA⊥l，OB⊥l?∠AOB為二面角α－l－β的平面角作二面角的平面角的方法方法一(定義法)：在二面角的棱上找一特殊點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線(xiàn)．如圖①，∠AOB為二面角α－a－β的平面角．方法二(垂面法)：過(guò)棱上一點(diǎn)作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個(gè)半平面產(chǎn)生交線(xiàn)，這兩條交線(xiàn)所成的角，即為二面角的平面角．如圖②，∠AOB為二面角α－l－β的平面角．方法三(垂線(xiàn)法)：過(guò)二面角的一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)作另一個(gè)平面的垂線(xiàn)，過(guò)垂足作棱的垂線(xiàn)，利用線(xiàn)面垂直可找到二面角的平面角或其補(bǔ)角．如圖③，∠AFE為二面角A－BC－D的平面角．知識(shí)點(diǎn)二平面與平面垂直平面與平面垂直定義如果兩個(gè)平面相交，且它們所成的二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直，記作：α⊥β畫(huà)法通常把直立平面的豎邊畫(huà)成與水平平面的橫邊垂直，如圖：判定定理文字表述：一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線(xiàn)，則這兩個(gè)平面垂直．符號(hào)表示：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥β,a?α))?α⊥β定理的關(guān)鍵詞是“過(guò)另一面的垂線(xiàn)”，所以應(yīng)用的關(guān)鍵是在平面內(nèi)尋找另一個(gè)面的垂線(xiàn)．[小試身手]1．判斷下列命題是否正確.(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)若l⊥α，則過(guò)l有無(wú)數(shù)個(gè)平面與α垂直．()(2)兩垂直的平面的二面角的平面角大小為90°.()答案：(1)√(2)√2.如圖所示，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，則圖中互相垂直的平面有()A．2對(duì)B．3對(duì)C．4對(duì)D．5對(duì)解析：由PA⊥矩形ABCD知，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面ABCD；由AB⊥平面PAD知，平面PAB⊥平面PAD；由BC⊥平面PAB知，平面PBC⊥平面PAB；由DC⊥平面PAD知，平面PDC⊥平面PAD.故題圖中互相垂直的平面有5對(duì)．選D.答案：D3．空間四邊形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有()A．平面ABC⊥平面ADCB．平面ABC⊥平面ADBC．平面ABC⊥平面DBCD．平面ADC⊥平面DBC解析：因?yàn)锳D⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，所以AD⊥平面DBC.又因?yàn)锳D?平面ADC，所以平面ADC⊥平面DBC.故選D.答案：D4．對(duì)于直線(xiàn)m、n和平面α、β，能得出α⊥β的一個(gè)條件是()A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，n?αC．m∥n，n⊥β，m?αD．m∥n，m⊥α，n⊥β解析：取正方體ABCD－A1B1C1D1，連接AC，A1C1，把AD所在直線(xiàn)看作直線(xiàn)m，BB1所在直線(xiàn)看作直線(xiàn)n，把平面BB1C1C作為平面α，平面AA1C1C作為平面β.對(duì)于A(yíng)雖滿(mǎn)足m⊥n，m∥α，答案：C類(lèi)型一求二面角例1如圖，在正方體ABCD－A′B′C′D′中：(1)求二面角D′－AB－D的大?。?2)求二面角A′－AB－D的大?。窘馕觥?1)在正方體ABCD－A′B′C′D′中，AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD′，AB⊥AD，因此∠D′AD為二面角D′－AB－D的平面角．在Rt△D′DA中，∠D′AD＝45°，所以二面角D′－AB－D的大小為45°.(2)因?yàn)锳B⊥平面AD′，所以AB⊥AD，AB⊥AA′，∠A′AD為二面角A′－AB－D的平面角．又∠A′AD＝90°，所以二面角A′－AB－D的大小為90°.找出二面角的平面角→證明所找的角即所求→計(jì)算該角的大小方法歸納求二面角平面角的常用方法(1)定義法：在二面角的棱上找一特殊點(diǎn)，過(guò)該點(diǎn)在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線(xiàn)．(2)垂面法：過(guò)棱上一點(diǎn)作與棱垂直的平面，該平面與二面角的兩個(gè)半平面產(chǎn)生交線(xiàn)，這兩條交線(xiàn)所成的角，即為二面角的平面角．(3)垂線(xiàn)法：過(guò)二面角的一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)作另一個(gè)平面的垂線(xiàn)，過(guò)垂足作棱的垂線(xiàn)，利用線(xiàn)面垂直可找到二面角的平面角或其補(bǔ)角，此種方法通用于求二面角的所有題目，具體步驟為：一找，二證，三求．跟蹤訓(xùn)練1如圖所示，α∩β＝CD，P為二面角內(nèi)部一點(diǎn)．PA⊥α.PB⊥β，垂足分別為A，B.(1)證明：AB⊥CD；(2)若△PAB為等邊三角形，求二面角α－CD－β的大小．解析：(1)證明：∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(PA⊥α，CD?α?PA⊥CD，,PB⊥β，CD?β?PB⊥CD，,PA∩PB＝P，))∴CD⊥平面PAB，又AB?平面PAB，∴CD⊥AB.(2)∵△PAB為等邊三角形，∴∠APB＝60°.故二面角α－CD－β的平面角為120°.(1)由α∩β＝CD，PA⊥α，PB⊥β推出CD⊥平面PAB，從而得出CD⊥AB；(2)可轉(zhuǎn)化為求∠APB，再求出二面角的大?。?/p>

類(lèi)型二平面與平面垂直的判定例2如圖，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC，求證：平面ABC⊥平面SBC.【證明】證法一：利用定義證明．∵∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC，∴△ASB和△ASC是等邊三角形，則有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，令其值為a，則△ABC和△SBC為共底邊BC的等腰三角形．如圖，取BC的中點(diǎn)D，連接AD，SD，則AD⊥BC，SD⊥BC，∴∠ADS為二面角A－BC－S的平面角．在Rt△BSC中，∵SB＝SC＝a，∴SD＝eq\f(\r(2),2)a，BD＝eq\f(BC,2)＝eq\f(\r(2),2)a.在Rt△ABD中，AD＝eq\f(\r(2),2)a.在△ADS中，∵SD2＋AD2＝SA2，∴∠ADS＝90°，即二面角A－BC－S為直二面角，故平面ABC⊥平面SBC.證法二：利用判定定理．∵SA＝AB＝AC，∴點(diǎn)A在平面SBC上的射影為△SBC的外心．∵△BSC為直角三角形，∴A在△BSC上的射影D為斜邊BC的中點(diǎn)．∴AD⊥平面SBC.又∵平面ABC過(guò)AD，∴平面ABC⊥平面SBC.方法一利用定義證明，求出平面ABC與平面SBC的平面角為90°.方法二利用平面與平面垂直的判定定理證明．方法歸納1．對(duì)平面與平面垂直的判定定理的認(rèn)識(shí)平面與平面垂直的判定定理告訴我們，可以通過(guò)直線(xiàn)與平面垂直來(lái)證明平面與平面垂直，通常我們將其記為“線(xiàn)面垂直，則面面垂直”．因此，處理面面垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為處理線(xiàn)面垂直問(wèn)題，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為處理線(xiàn)線(xiàn)垂直問(wèn)題．2．證明平面與平面垂直的方法根據(jù)面面垂直的定義判定兩平面垂直，實(shí)質(zhì)上是把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了求二面角的平面角，通常情況下利用判定定理要比定義簡(jiǎn)單些，判定定理是證明面面垂直的常用方法，即要證面面垂直，只要轉(zhuǎn)證線(xiàn)面垂直，其關(guān)鍵與難點(diǎn)是在其中一個(gè)平面內(nèi)尋找一直線(xiàn)與另一平面垂直．跟蹤訓(xùn)練2如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱垂直底面，∠ACB＝90°，AC＝BC＝eq\f(1,2)AA1，D是棱AA1的中點(diǎn)．證明：平面BDC1⊥平面BDC.證明：由題設(shè)知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，所以BC⊥平面ACC1A1又DC1?平面ACC1A1，所以DC1⊥BC由題設(shè)知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，所以∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC.又DC∩BC＝C.所以DC1⊥平面BDC.又DC1?平面BDC1，故平面BDC1⊥平面BDC.要證明面面垂直，需證明線(xiàn)面垂直，由已知證明即可．[基礎(chǔ)鞏固](25分鐘，60分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1．在空間四邊形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，E為對(duì)角線(xiàn)AC的中點(diǎn)，下列判斷正確的是()A．平面ABD⊥平面BDCB．平面ABC⊥平面ABDC．平面ABC⊥平面ADCD．平面ABC⊥平面BED解析：由已知條件得AC⊥DE，AC⊥BE，于是有AC⊥平面BED，又AC?平面ABC，所以有平面ABC⊥平面BED成立．答案：D2．設(shè)m，n是不同的直線(xiàn)，α，β是不同的平面，已知m∥α，n⊥β，下列說(shuō)法正確的是()A．若m⊥n，則α⊥βB．若m∥n，則α⊥βC．若m⊥n，則α∥βD．若m∥n，則α∥β解析：若m⊥n，則α與β可以平行或相交，故A，C錯(cuò)誤；若m∥n，則α⊥β，D錯(cuò)，選B.答案：B3．如圖，已知PA垂直于△ABC所在平面，且∠ABC＝90°，連接PB，PC，則圖形中互相垂直的平面有()A．一對(duì)B．兩對(duì)C．三對(duì)D．四對(duì)解析：由PA⊥平面ABC得平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，且PA⊥BC，又∠ABC＝90°，所以BC⊥平面PAB，從而平面PBC⊥平面PAB.故選C.答案：C4.如圖所示，在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，則二面角B－PA－C的大小為()A．90°B．60°C．45°D．30°解析：∵PA⊥平面ABC，BA，CA?平面ABC，∴BA⊥PA，CA⊥PA，因此，∠BAC即為二面角B－PA－C的平面角．又∠BAC＝90°，故選A.答案：A5．如圖，設(shè)P是正方形ABCD外一點(diǎn)，且PA⊥平面ABCD，則平面PAB與平面PBC、平面PAD的位置關(guān)系是()A．平面PAB與平面PBC、平面PAD都垂直B．它們兩兩垂直C．平面PAB與平面PBC垂直，與平面PAD不垂直D．平面PAB與平面PBC、平面PAD都不垂直解析：∵PA⊥平面ABCD，BC，AD?平面ABCD，∴PA⊥BC，PA⊥AD.又∵BC⊥AB，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB.∵BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAB.由AD⊥PA，AD⊥AB，PA∩AB＝A，得AD⊥平面PAB.∵AD?平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB.顯然平面PAD與平面PBC不垂直．故選A.答案：A二、填空題(每小題5分，共15分)6．已知四棱錐P－ABCD中，ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，則平面PBD與平面PAC的位置關(guān)系是________________________．解析：因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，在正方形ABCD中，BD⊥AC.又AC∩PA＝A，所以BD⊥平面PAC.又BD?平面PBD，所以平面PBD⊥平面PAC.答案：平面PBD⊥平面PAC7．正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為eq\r(3)，則側(cè)面與底面所成二面角的大小為_(kāi)_______．解析：如圖，設(shè)S在底面內(nèi)的射影為O，取AB的中點(diǎn)M，連接OM，SM，則∠SMO為所求二面角的平面角，在Rt△SOM中，OM＝eq\f(1,2)AD＝1，SM＝eq\r(SA2－\f(1,4)AB2)＝eq\r(2)，所以cos∠SMO＝eq\f(OM,SM)＝eq\f(\r(2),2)，所以∠SMO＝45°.答案：45°8．已知a，b，c為三條不同的直線(xiàn)，α，β，γ為三個(gè)不同的平面，給出下列命題：①若α⊥β，β⊥γ，則α∥γ；②若a?α，b?β，c?β，a⊥b，a⊥c，則α⊥β；③若a⊥α，b?β，a∥b，則α⊥β.其中正確的命題是________(填序號(hào))．解析：如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，記平面ADD1A1為α，平面ABCD為β，平面ABB1A1為γ，顯然①錯(cuò)誤；②只有在直線(xiàn)b，c答案：③三、解答題(每小題10分，共20分)9．如圖，AB是圓的直徑，PA垂直圓所在的平面，C是圓上的點(diǎn)．求證：平面PAC⊥平面PBC.證明：由AB是圓的直徑，得AC⊥BC.由PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，得PA⊥BC.又PA∩AC＝A.PA?平面PAC，AC?平面PAC，所以BC⊥平面PAC.因?yàn)锽C?平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAC.10．如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，PA⊥平面ABCD，且PA＝eq\r(3)，AB＝1，BC＝2，AC＝eq\r(3)，求二面角P－CD－B的大小．解析：∵AB＝1，BC＝2，AC＝eq\r(3)，∴BC2＝AB2＋AC2，∴∠BAC＝90°，∴∠ACD＝90°，即AC⊥CD.又∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD.又∵PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.又∵PC?平面PAC，∴PC⊥CD，∠PCA是二面角P－CD－B的平面角．在Rt△PAC中，PA⊥AC，PA＝eq\r(3)，AC＝eq\r(3)，∴∠PCA＝45°.故二面角P－CD－B的大小為45°.[能力提升](20分鐘，40分)11．如圖，AB是圓的直徑，PA垂直于圓所在的平面，C是圓上一點(diǎn)(不同于A(yíng)，B)且PA＝AC，則二面角P－BC－A的大小為()A．60°B．30°C．45°D．15°解析：易得BC⊥平面PAC，所以∠PCA是二面角P－BC－A的平面角，在Rt△PAC中，PA＝AC，所以∠PCA＝45°.故選C.答案：C12.如圖，平面ABC⊥平面BDC，∠BAC＝∠BDC＝90°，且AB＝AC＝a，則AD＝________.解析：取BC中點(diǎn)M，則AM⊥BC，由題意得AM⊥平面BDC，∴△AMD為直角三角形，AM＝MD＝eq\f(\r(2),2)a.∴AD＝eq\f(\r(2),2)a×eq\r(2)＝a.答案：a13．如圖，E，F(xiàn)分別為直角三角形ABC的直角邊AC和斜邊