浙江省五校聯(lián)考2023年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)檢測(cè)模擬試題含解析

浙江省五校聯(lián)考2023年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)檢測(cè)模擬試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，則（）A. B.0C. D.12．在數(shù)列中，，，則（）A.985 B.1035C.2020 D.20703．若直線與平行，則實(shí)數(shù)m等于（）A.0 B.1C.4 D.0或44．已知數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，數(shù)列滿足．若對(duì)任意的，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.， B.C.， D.5．阿基米德（公元前287年～公元前212年）不僅是著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到的橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積.若橢圓的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在軸上，且橢圓的離心率為，面積為，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.6．有下列四個(gè)命題，其中真命題是（）A.， B.，，C.，， D.，7．如圖，，是平面上兩點(diǎn)，且，圖中的一系列圓是圓心分別為，的兩組同心圓，每組同心圓的半徑分別是1，2，3，…，A，B，C，D，E是圖中兩組同心圓的部分公共點(diǎn).若點(diǎn)A在以，為焦點(diǎn)的橢圓M上，則（）A.點(diǎn)B和C都在橢圓M上 B.點(diǎn)C和D都在橢圓M上C.點(diǎn)D和E都在橢圓M上 D.點(diǎn)E和B都在橢圓M上8．兩圓和的位置關(guān)系是（）A.內(nèi)切 B.外離C.外切 D.相交9．已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件10．點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)，P為拋物線上一點(diǎn)，P不在直線AF上，則△PAF的周長(zhǎng)的最小值是（）A.4 B.6C. D.11．設(shè)雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為、，P為C上一點(diǎn)，且，，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.12．已知圓和圓恰有三條公共切線，則的最小值為（）A.6 B.36C.10 D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計(jì)算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱．如圖，在塹堵，中，M是的中點(diǎn)，，，，若，則_________14．已知數(shù)列的前4項(xiàng)依次為，，，，則的一個(gè)通項(xiàng)公式為_(kāi)_______15．已知函數(shù)有零點(diǎn)，則的取值范圍是___________.16．萊昂哈德·歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共線．后來(lái)人們稱這條直線為該三角形的歐拉線．已知的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，，則的垂心坐標(biāo)為_(kāi)_____，的歐拉線方程為_(kāi)_____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．（12分）設(shè)函數(shù)（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍19．（12分）書籍是精神世界的入口，閱讀讓精神世界閃光，閱讀逐漸成為許多人的一種生活習(xí)慣，每年4月23日為世界讀書日.某研究機(jī)構(gòu)為了解當(dāng)?shù)啬贻p人的閱讀情況，通過(guò)隨機(jī)抽樣調(diào)查了100位年輕人，對(duì)這些人每天的閱讀時(shí)間（單位：分鐘）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到樣本的頻率分布直方圖，如圖所示：（1）求的值；（2）為了進(jìn)一步了解年輕人的閱讀方式，研究機(jī)構(gòu)采用分層抽樣的方法從每天閱讀時(shí)間位于，和的年輕人中抽取5人，再?gòu)闹腥芜x2人進(jìn)行調(diào)查，求其中至少有1人每天閱讀時(shí)間位于的概率.20．（12分）已知曲線C的方程為（1）判斷曲線C是什么曲線，并求其標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線l交曲線C于M，N兩點(diǎn)，若點(diǎn)P為線段MN的中點(diǎn)，求直線l的方程21．（12分）已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，上頂點(diǎn)為A，△AF1F2的周長(zhǎng)為6，離心率等于.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)(4，0)的直線l交橢圓C于M、N兩點(diǎn)，且OM⊥ON，求直線l的方程.22．（10分）如圖1，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，將△BCD沿對(duì)角線BD折起到△BDC′的位置，如圖2所示，并使得平面BDC′⊥平面ABD，E是BD的中點(diǎn)，F(xiàn)A⊥平面ABD，且FA=.圖1圖2（1）求平面FBC′與平面FBA夾角的余弦值；（2）在線段AD上是否存在一點(diǎn)M，使得⊥平面?若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】先求導(dǎo)，再代入求值.詳解】，所以.故選：B2、A【解析】根據(jù)累加法得，，進(jìn)而得.【詳解】解：因?yàn)樗?，?dāng)時(shí)，，，……，，所以，將以上式子相加得，所以，，.當(dāng)時(shí)，，滿足；所以，.所以.故選：A3、A【解析】由兩條直線平行的充要條件即可求解.【詳解】解：因?yàn)橹本€與平行，所以，解得，故選：A.4、D【解析】由等差數(shù)列通項(xiàng)公式得，再結(jié)合題意得數(shù)列單調(diào)遞增，且滿足，，即，再解不等式即可得答案.【詳解】解：根據(jù)題意：數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，所以，由于數(shù)列滿足，所以對(duì)任意的都成立，故數(shù)列單調(diào)遞增，且滿足，，所以，解得故選：5、C【解析】由題意，設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，然后根據(jù)橢圓的離心率以及橢圓面積列出關(guān)于的方程組，求解方程組即可得答案【詳解】由題意，設(shè)橢圓的方程為，由橢圓的離心率為，面積為，∴，解得，∴橢圓的方程為，故選：C.6、B【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，令即可驗(yàn)證其不正確；對(duì)于選項(xiàng)C、選項(xiàng)D，令，即可驗(yàn)證其均不正確，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，令，則，故A錯(cuò)；對(duì)于選項(xiàng)B，令，則，顯然成立，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，令，則顯然無(wú)解，故C錯(cuò)；對(duì)于選項(xiàng)D，令，則顯然不成立，故D錯(cuò).故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查命題真假的判定，用特殊值法驗(yàn)證即可，屬于常考題型.7、C【解析】根據(jù)橢圓的定義判斷即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以橢圓M中，因?yàn)椋?,,所以D，E在橢圓M上.故選：C8、A【解析】計(jì)算出圓心距，利用幾何法可判斷兩圓的位置關(guān)系.【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，兩圓圓心距為，則，因此，兩圓和內(nèi)切.故選：A.9、A【解析】由，結(jié)合基本不等式可得，由此可得，由此說(shuō)明“”是“”的充分條件，再通過(guò)舉反例說(shuō)明“”不是“”的必要條件，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】∵，∴（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），∴（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），若，則，∴，所以“”是“”的充分條件，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，∴“”不是“”的必要條件，∴“”是“”的充分不必要條件，故選：A.10、C【解析】由拋物線的定義轉(zhuǎn)化后求距離最值【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線于點(diǎn)，故△PAF的周長(zhǎng)為，，可知當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)周長(zhǎng)最小，為故選：C11、B【解析】根據(jù)雙曲線定義結(jié)合，求得，在中，利用余弦定理求得之間的關(guān)系，即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)樵陔p曲線中，因?yàn)?，所以，所以，在中，，，由余弦定理可得，即，所以，所以，所以，所以雙曲線的漸近線方程為.故選：B.12、B【解析】由公切線條數(shù)得兩圓外切，由此可得的關(guān)系，從而點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，4為半徑的圓上，記，由求得的最小值，平方后即得結(jié)論【詳解】圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，，半徑為，圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，，半徑為，兩圓有三條公切線，則兩圓外切，所以，即，點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，4為半徑的圓上，記，，所以，所以的最小值為故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量可以解決問(wèn)題.【詳解】設(shè),如下圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，則所以又因?yàn)樗怨蚀鸢笧椋?4、（答案不唯一）【解析】觀察數(shù)列前幾項(xiàng)，找出規(guī)律即可寫出通項(xiàng)公式.【詳解】根據(jù)數(shù)列前幾項(xiàng)，先不考慮正負(fù)，可知，再由奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，可得到一個(gè)通項(xiàng)公式，故答案為：（不唯一）15、【解析】利用導(dǎo)數(shù)可求得函數(shù)的最小值，要使函數(shù)有零點(diǎn)，只要，求得函數(shù)的最小值，即可得解.【詳解】解：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減，在上遞增，所以，因?yàn)楹瘮?shù)有零點(diǎn)，所以，解得.故答案為：.16、①.##(0,1.5)②.【解析】由高線聯(lián)立可得垂心，由垂心與重心可得歐拉線方程.【詳解】由，可知邊上的高所在的直線為，又，因此邊上的高所在的直線的斜率為，所以邊上的高所在的直線為：，即，所以，所以的垂心坐標(biāo)為，由重心坐標(biāo)公式可得的重心坐標(biāo)為，所以的歐拉線方程為：，化簡(jiǎn)得.故答案為：；三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）利用，結(jié)合已知條件，即可容易求得通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)（1）中所求，對(duì)數(shù)列進(jìn)行裂項(xiàng)求和，即可求得.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以，故?shù)列的前項(xiàng)和.18、（1）的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）.【解析】（1）求出，進(jìn)而判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后討論符號(hào)后可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）令，則有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)討論的單調(diào)性并結(jié)合零點(diǎn)存在定理可得實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，，記，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為【小問(wèn)2詳解】令，得，記，則，令得，列表得．x0↘極小值↗要使在上有兩個(gè)零點(diǎn)，則，所以且函數(shù)在和上各有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)時(shí)，，，，則，故上無(wú)零點(diǎn)，與函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)矛盾，故不滿足條件所以，又因?yàn)?，所以考慮，設(shè)，，則，則在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，，所以，且，因?yàn)?，所以，由零點(diǎn)存在定理知在和上各有一個(gè)零點(diǎn)綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍為【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究零點(diǎn)問(wèn)題：（1）確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題：可利用數(shù)形結(jié)合的辦法判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如果函數(shù)較為復(fù)雜，可用導(dǎo)數(shù)知識(shí)確定極值點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖象；（2）方程的有解問(wèn)題就是判斷是否存在零點(diǎn)的問(wèn)題，可參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問(wèn)題處理.可以通過(guò)構(gòu)造函數(shù)的方法，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究構(gòu)造的函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題；（3）利用導(dǎo)數(shù)硏究函數(shù)零點(diǎn)或方程根，通常有三種思路：①利用最值或極值研究；②利用數(shù)形結(jié)合思想研究；③構(gòu)造輔助函數(shù)硏究.19、（1）（2）【解析】（1）由頻率之和為1求參數(shù).（2）由分層抽樣的比例可得抽取的5人中，和分別為：1人，2人，2人，再應(yīng)用列舉法寫出所有基本事件，根據(jù)古典概型的概率計(jì)算即可.小問(wèn)1詳解】根據(jù)頻率分布直方圖得：，解得；【小問(wèn)2詳解】由于，和的頻率之比為：，故抽取的5人中，，和別為：1人，2人，2人，記的1人為，的2人為，，的2人為，，故隨機(jī)抽取2人共有，，，，，，，，，10種，其中至少有1人每天閱讀時(shí)間位于的包含，，，，，，共7種，故概率.20、（1）；（2）.【解析】(1)根據(jù)橢圓的定義即可判斷并求解；(2)根據(jù)點(diǎn)差法即可求解中點(diǎn)弦斜率和中點(diǎn)弦方程.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，，E(x，y)，∵，，且，點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓設(shè)橢圓C的方程為，記，則，，，，，曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問(wèn)2詳解】根據(jù)橢圓對(duì)稱性可知直線l斜率存在，設(shè)，則，由①－②得，，∴l(xiāng)：，即.21、（1）；（2）或.【解析】（1）由條件得，再結(jié)合，可求得橢圓方程；（2）由題意設(shè)直線l：x=my+4，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，消去，整理后利用根與系的關(guān)系可得，，再由OM⊥ON，可得x1x2+y1y2=0，從而可列出關(guān)于的方程，進(jìn)而可求出的值，即可得到直線的方程【詳解】（1）由條件知，解得，則故橢圓的方程為（2）顯然直線l的斜率存在，且斜率不為0，設(shè)直線l：x=my+4交橢圓C于M(x1，y1)，N(x2，y2)，由，當(dāng)=(24m)2-4(3m2+4)×36>0時(shí)，有，，由條件OM⊥ON可得，，即x1x2+y1y2=0，從而有(my1+4)(my2+4)+y1y2=0，(m2+1)y1y2+4m(y1+y2)+16=0，，解得，故且滿足>0從而直線l方程為或22、（1）（2）不存在，理由見(jiàn)解析【解析】（1）利用垂直關(guān)系，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求平面和平面的法向量和，利用公式，即可求解；（2）若滿足條件，，利用向量的坐標(biāo)表示，判斷是否存在點(diǎn)滿足.【小問(wèn)1詳解】∵，E為BD的中點(diǎn)∴CE⊥BD，又∵平面⊥平面ABD，平面平面，⊥平面，∴⊥平面ABD，如圖以E原點(diǎn)，分別以EB、AE、EC′所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則B(1，0，0)，A(0，-，0)，D(-1，0，0)，F(xiàn)(0，-，2)，(0，0，)，∴=(-1，-，2)，=(