數(shù)值分析講稿

第四章、數(shù)值微分與數(shù)值積分數(shù)值微分x-hxx+hBCAT

f(x)差商型求導(dǎo)公式的余項從截斷誤差的角度看，步長越小，計算結(jié)果越準確；從舍入誤差的角度來看，步長不宜太小。2、插值型求導(dǎo)公式兩點公式三點公式同樣，針對m也可擴展，如五點插值求積公式。3、樣條求導(dǎo)數(shù)值積分§1.插值型求積公式(二)拋物型求積公式(三.1)Newton-Cotes求積公式(三.2)計算系數(shù)Ai(三.3)Newton-Cotes系數(shù)n12345678Newton-Cotes公式的穩(wěn)定性§2.梯形、拋物線公式的誤差估計

衡量插值型求積公式的精度,可以用多項式的次數(shù)作為標準.梯形求積公式的代數(shù)精確度Newton-Cotes求積公式的代數(shù)精確度n=偶數(shù)時，考慮n+1次多項式梯形公式的截斷誤差拋物求積(Simpson)公式的截斷誤差證明思路:1,將

用插值多項式表示，且與拋物公式值相同，拋物求積公式誤差證明(1)證明:求積公式拋物求積公式誤差證明(2)§3.復(fù)化公式及其誤差估計

誤差公式:區(qū)間越小,誤差更小——復(fù)化。[a,b]2n等分,可得T2n:

復(fù)化梯形公式的分半加密算法復(fù)化拋物型公式

由于拋物線公式用到區(qū)間中點，故可將區(qū)間看作等分偶數(shù)份.令

是整數(shù),在每個

上用拋物線公式：則有復(fù)化公式誤差復(fù)化求積例自動選步長計算

由誤差要求可定出n，但事先難估計：應(yīng)邊算邊估計進而加密，自動分半的Simpson公式只要利用公式不斷計算新分點之函數(shù)值，

S2

，S4

…，Sn

，S2n

…復(fù)化求積例（3）§4.Richardson外推算法如何僅通過構(gòu)造

的線性組合產(chǎn)生更高階逼近函數(shù)

呢？通過適當線性組合就可以明顯提高逼近階!§5.Romberg求積法同樣可繼續(xù)推廣(Richardson外推算法)：兩個步長分別為h,0.5h的低級計算值的線性組合產(chǎn)生一個高級計算值，因此不斷地分半計算是必須的：Romberg求積法的收斂性Romberg算法§6.高斯公式

Newton-Cotes求積公式是封閉型的（區(qū)間[a,b]的兩端點a,b均是求積節(jié)點）而且要求求積節(jié)點是等距的,受此限制，它的代數(shù)精確度只能是n(n為奇數(shù))或n+1(n為偶數(shù)).而如果對求積節(jié)點也適當?shù)倪x取,即在求積公式中不僅Ak而且xk也加以選取,這就可以增加自由度，從而可提高求積公式的代數(shù)精確度.

高斯－勒讓德公式帶權(quán)的高斯公式高斯公式的余項高斯公式的穩(wěn)定性作業(yè):確定下列求積公式中的待定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并指明所構(gòu)造出的求積公式所具有的代數(shù)精:1)

2)2.已知

，1)推導(dǎo)以這三個點為求積節(jié)點在[0,1]上的插值型求積公式;2)求上述求積公式的代數(shù)精確度;3)用上述公式計算.

3.如果要用復(fù)化梯形公式計算積分