專(zhuān)題04直線的傾斜角與斜率直線方程問(wèn)題（知識(shí)梳理專(zhuān)題過(guò)關(guān)）（解析版）

專(zhuān)題04直線的傾斜角與斜率、直線方程問(wèn)題【知識(shí)梳理】1、傾斜角和斜率（1）直線的傾斜角的概念：當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，取x軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．特別地，當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定．（2）傾斜角α的取值范圍：．當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，．（3）直線的斜率：一條直線的傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫(xiě)字母k表示，也就是①當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，，；②當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，，k不存在．由此可知，一條直線l的傾斜角α一定存在，但是斜率k不一定存在．（4）直線的斜率公式：給定兩點(diǎn)，用兩點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示直線的斜率：2、兩條直線的平行與垂直（1）兩條直線都有斜率而且不重合，如果它們平行，那么它們的斜率相等；反之，如果它們的斜率相等，那么它們平行，即注意：上面的等價(jià)是在兩條直線不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少這個(gè)前提，結(jié)論并不成立．即如果，那么一定有（2）兩條直線都有斜率，如果它們互相垂直，那么它們的斜率互為負(fù)倒數(shù)；反之，如果它們的斜率互為負(fù)倒數(shù)，那么它們互相垂直，即3、直線方程的不同形式間的關(guān)系直線方程的五種形式的比較如下表：名稱(chēng)方程的形式常數(shù)的幾何意義適用范圍點(diǎn)斜式是直線上一定點(diǎn)，k是斜率不垂直于x軸斜截式k是斜率，b是直線在y軸上的截距不垂直于x軸兩點(diǎn)式，是直線上兩定點(diǎn)不垂直于x軸和y軸截距式a是直線在x軸上的非零截距，b是直線在y軸上的非零截距不垂直于x軸和y軸，且不過(guò)原點(diǎn)一般式A、B、C為系數(shù)任何位置的直線【專(zhuān)題過(guò)關(guān)】【考點(diǎn)目錄】考點(diǎn)1：傾斜角與斜率考點(diǎn)2：直線與線段的相交問(wèn)題考點(diǎn)3：兩直線平行問(wèn)題考點(diǎn)4：兩直線垂直問(wèn)題考點(diǎn)5：五種直線方程考點(diǎn)6：直線與坐標(biāo)軸圍成三角形問(wèn)題考點(diǎn)7：直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題【典型例題】考點(diǎn)1：傾斜角與斜率1．（2021·福建寧德·高二期中）已知點(diǎn)，，則直線的傾斜角為（

）A．30 B．60 C．120 D．150【答案】B【解析】由題得直線的斜率，設(shè)直線的傾斜角為，所以.故選：B2．（2020·北京十高二期中）如圖，直線的斜率分別為，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由斜率的定義知，.故選：D.3．（2022·全國(guó)·高二期中）已知直線斜率為，且，那么傾斜角的取值范圍是（

）．A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意，直線的傾斜角為，則，因?yàn)?，即，結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)，可得．故選：B．4．（2021·湖北宜昌·高二期中）若傾斜角為的直線過(guò)，兩點(diǎn)，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)橹本€的傾斜角為，所以直線的斜率為，所以，解得；故選：C5．（2021·廣東·興寧市葉塘高二期中）若，，三點(diǎn)共線，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由于、、三點(diǎn)共線，則，即，解得.故選：A.6．（多選題）（2021·湖南·懷化高二期中）在下列四個(gè)命題中，錯(cuò)誤的有（）A．坐標(biāo)平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角和斜率B．直線的傾斜角的取值范圍是[0，π]C．若一條直線的斜率為1，則此直線的傾斜角為45度D．若一條直線的傾斜角為α，則此直線的斜率為tanα【答案】ABD【解析】對(duì)于A，傾斜角為的直線斜率不存在所以A錯(cuò)誤對(duì)于B直線的傾斜角的取值范圍為所以B錯(cuò)誤對(duì)于C因?yàn)榍遥运訡正確對(duì)于D傾斜角為的直線斜率不存在所以D錯(cuò)誤故選：ABD7．（多選題）（2021·江蘇南通·高二期中）若經(jīng)過(guò)和的直線的傾斜角為鈍角，則實(shí)數(shù)的值不可能為（

）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】據(jù)題意可知，即，所以．故選：BCD．8．（2022·上?！とA東師范大學(xué)附屬東昌高二期中）已知直線l的方程為，則直線l的傾斜角為_(kāi)________．【答案】60°【解析】直線的斜率為，因此傾斜角為60°．故答案為：60°．9．（2022·上海市大同高二期中）已知直線l經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且與直線y＝x＋1的夾角為45°，則直線l的方程為_(kāi)_____．【答案】或【解析】直線的斜率為，傾斜角為，直線與直線的夾角為，所以直線的傾斜角為或，所以直線的方程為或.故答案為：或10．（2022·上海市控江高二期中）設(shè)，若直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)?，則直線l的斜率是___________.【答案】1【解析】因?yàn)橹本€l經(jīng)過(guò)點(diǎn)?，所以直線l的斜率是，故答案為：111．（2021·新疆·八一高二期中）已知點(diǎn)A（2，-1），B（3，m），若，則直線AB的傾斜角的取值范圍為_(kāi)_________．【答案】【解析】設(shè)直線AB的傾斜角為α，∵點(diǎn)A（2，-1），B（3，m），∴直線AB的斜率，又∵，∴，即k的取值范圍為，即，又∵α∈[0，π），∴，故答案為：．考點(diǎn)2：直線與線段的相交問(wèn)題12．（2021·福建三明·高二期中）已知A(3，－1)，B(1，2)，P(x，y)是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是_______.【答案】[，2]【解析】因?yàn)锳(3，－1)，B(1，2)，P(x，y)是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，所以表示直線的斜率.如下圖.因?yàn)橹本€的斜率為，直線的斜率為.所以的取值范圍是.故答案為：13．（2021·廣東·汕頭市潮南區(qū)陳店實(shí)驗(yàn)高二期中）已知兩點(diǎn)，，直線過(guò)點(diǎn)且與線段有交點(diǎn)，則直線的傾斜角的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】如圖所示，直線的斜率，直線的斜率．由圖可知，當(dāng)直線與線段有交點(diǎn)時(shí)，直線的斜率，因此直線的傾斜角的取值范圍是．故選：C14．（2021·廣東·華中師范大學(xué)海豐附屬高二期中）設(shè)點(diǎn)，，若直線ax+y+2=0與線段AB有交點(diǎn)，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵直線過(guò)定點(diǎn)，且，，由圖可知直線與線段有交點(diǎn)時(shí)，斜率滿(mǎn)足或，解得，故選：D15．（2021·山東濟(jì)寧·高二期中）設(shè)點(diǎn)，，直線過(guò)點(diǎn)且與線段相交，則的斜率的取值范圍是（

）A．或 B．或 C． D．【答案】B【解析】如圖所示：因?yàn)?，所以?dāng)直線過(guò)點(diǎn)且與線段相交時(shí)，的斜率的取值范圍是或，故選：B16．（2021·天津市嘉誠(chéng)高二期中）已知兩點(diǎn)，，直線l過(guò)點(diǎn)且與線段相交，則直線l的斜率k的取值范圍是（

）A．或 B．C． D．【答案】A【解析】如圖，要使直線與線段相交，則應(yīng)滿(mǎn)足或，因?yàn)?，，所以?故選：A.17．（2021·廣西·防城港市防城高二期中）經(jīng)過(guò)點(diǎn)作直線l，若直線l與連接，的線段總有公共點(diǎn)，則直線l的斜率k的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)題意畫(huà)圖如下：,在射線PA逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至射線PB時(shí)斜率逐漸變大,直線l與線段AB總有公共點(diǎn)，所以.故選:A.18．（2021·北京·景山高二期中）已知直線：和點(diǎn)，，若l與線段相交，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．或 C． D．或【答案】D【解析】由直線：可知直線必過(guò)定點(diǎn)，且直線的斜率為，如下圖所示：由斜率公式可知，直線的斜率為，直線的斜率為，若與線段相交，只需要或，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是或.故選：D.19．（2021·陜西安康·高二期中（理））已知點(diǎn)，，直線l過(guò)點(diǎn)且與線段相交，則直線l的傾斜角的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】如圖，斜率，，結(jié)合圖象可知當(dāng)直線l與線段相交時(shí)，其傾斜角的取值范圍是.故選：A20．（2021·廣東·廣州高二期中）已知點(diǎn)，，直線過(guò)點(diǎn)，且兩點(diǎn)在直線的同側(cè)，則直線斜率的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意，點(diǎn)，，，根據(jù)斜率公式，可得，，如圖所示，要使得直線過(guò)點(diǎn)，且兩點(diǎn)在直線的同側(cè)，則直線斜率的取值范圍是.故選：A.考點(diǎn)3：兩直線平行問(wèn)題21．（2022·四川·瀘縣高二期中（文））已知直線與平行，則的值為_(kāi)_________.【答案】【解析】因?yàn)橹本€與平行，所以當(dāng)時(shí)，兩條直線不平行，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，解得.故答案為：.22．（2020·四川巴中·高二期中（文））若直線與直線平行，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_____.【答案】3【解析】因?yàn)榕c直線平行，所以，解得，故答案為：3.23．（2022·上海市寶山高二期中）“直線與平行”是“直線與的斜率相等”的（

）條件A．充分非必要 B．必要非充分C．充要 D．既非充分又非必要【答案】D【解析】充分性：直線與平行，但是和都沒(méi)有斜率，即當(dāng)和都垂直于軸時(shí)，與仍然平行，但是，此時(shí)不滿(mǎn)足直線與的斜率相等，故充分性不成立；必要性：直線與的斜率相等，則直線與平行或重合，故必要性不成立；綜上，“直線與平行”是“直線與的斜率相等”的既非充分又非必要條件.故選：D24．（2021·浙江臺(tái)州·高二期中）直線，，則“”是“”的（

）條件A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】①充分性：當(dāng)時(shí)，，，所以與斜率相等，且截距不相等，故，所以充分；②必要性：，，當(dāng)時(shí)，則，解得：或，當(dāng)時(shí)，兩直線重合，所以舍去，當(dāng)時(shí)，兩直線斜率相等且截距不相等，符合題意，所以必要.所以“”是“”的充要條件故選：C.25．（2021·河北·石家莊市第二十二高二期中）下列說(shuō)法正確的是（

）A．平行的兩條直線的斜率一定存在且相等 B．平行的兩條直線的傾斜角一定相等C．垂直的兩條直線的斜率之積為 D．只有斜率相等的兩條直線才一定平行【答案】B【解析】因?yàn)閮蓷l直線傾斜角為時(shí)，兩條直線平行，但是沒(méi)有斜率，故A不正確；平行的兩條直線的傾斜角一定相等，故B正確；垂直的兩條直線的斜率存在時(shí)，斜率之積為；當(dāng)一條直線斜率不存在，另一條直線斜率為時(shí)兩直線也垂直，故C不正確；斜率不存在的兩條直線也能夠平行，故D不正確；故選：B．26．（2021·福建·浦城縣教師進(jìn)修高二期中）已知A(－1，2)，B(1，3)，C(0，－2)，點(diǎn)D使AD⊥BC，AB∥CD，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)D(x，y)，∵AD⊥BC，∴·＝－1，∴x＋5y－9＝0，∵AB∥CD，∴＝，∴x－2y－4＝0，由得，，故選：D.考點(diǎn)4：兩直線垂直問(wèn)題27．（2021·吉林油田高級(jí)高二期中）下列方程所表示的直線中，一定相互垂直的一對(duì)是(

)A．與 B．與C．與 D．與【答案】B【解析】A：a＝0時(shí)，兩直線分別為：，此時(shí)它們垂直；當(dāng)a≠0時(shí)，它們斜率之積為，則它們不垂直；故兩條直線不一定垂直；B：兩直線斜率之積為：，故兩直線垂直；C：兩直線斜率之積為：，故兩直線不垂直；D：兩直線斜率之積為：，故兩條直線不垂直；故選：B.28．（2021·貴州·黔西南州金成實(shí)驗(yàn)高二期中（理））已知直線：，：，若，則_________．【答案】2或【解析】由題意，解得或．故答案為：2或．29．（2022·上海市行知高二期中）若直線與互相垂直，則______.【答案】【解析】因?yàn)橹本€與互相垂直，所以，解得，故答案為：.30．（2022·全國(guó)·高二期中）已知直線，直線，若，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_____．【答案】或【解析】因?yàn)?，所以，解得或，故答案為：?1．（2021·廣東·珠海市第二高二期中）已知直線，若直線，則直線的傾斜角大小為_(kāi)____________．【答案】【解析】直線方程直線的傾斜角大小為故答案為：32．（多選題）（2021·河北·石家莊市第六高二期中）已知直線的傾斜角為30°，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，則與的位置關(guān)系為（

）A．平行 B．垂直 C．相交 D．不確定【答案】BC【解析】因?yàn)橹本€的傾斜角為30°，所以直線的斜率，又經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，所以直線的斜率，故，所以⊥故選：BC考點(diǎn)5：五種直線方程33．（2018·江西·南昌市第八高二期中（理））直線過(guò)點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上截距相等，則直線的一般式方程為_(kāi)__________.【答案】，【解析】顯然直線的斜率存在且不為，設(shè)：令，則；令，則依題意，解之得或當(dāng)時(shí)，：當(dāng)時(shí)，：故答案為：，34．（2021·廣東·新會(huì)陳經(jīng)綸高二期中）過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線方程為_(kāi)__________________.【答案】【解析】因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)的直線與直線平行，所以設(shè)直線方程為：，因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，所以，故直線方程為：，故答案為：35．（2021·浙江省杭州學(xué)軍高二期中）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且在x軸上的截距等于y軸上截距的2倍的直線方程為_(kāi)__________.【答案】或.【解析】若直線在x軸上的截距為0，設(shè)直線方程為，因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，即，所以直線方程為，即；若直線在x軸上的截距不為0，設(shè)直線方程為，因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，解得，所以直線方程為.所以所求直線方程方程為或.故答案為：或.36．（2021·湖南·懷化高二期中）求符合下列條件的直線l的方程：(1)過(guò)點(diǎn)A(﹣1，﹣3)，且斜率為；(2)A(1，3)，B(2，1))求直線AB的方程；(3)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3，2)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等.【解析】(1)所求直線過(guò)點(diǎn)，且斜率為，，即.(2)所求直線過(guò)，，，即.(3)當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，直線過(guò)點(diǎn)，，直線方程為，即2x－3y＝0；當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，將點(diǎn)代入上式得，，解得，故直線的方程為，綜上，直線方程為或.37．（2021·福建·福州高二期中）已知△ABC的頂點(diǎn)A（5，1），AB邊上的中線CM所在的直線方程為2x-y-5=0，AC邊上的高BH所在直線方程為x-2y-5=0(1)求直線AC的方程，(2)求直線BC的方程【解析】(1)由邊上的高所在直線方程為，知，又，邊所在直線方程為即(2)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則線段的中點(diǎn)為在直線上，.即整理得又點(diǎn)在直線上，兩者聯(lián)立可解得即

∴直線的方程即38．（2021·河北·唐山市第十一高二期中）求滿(mǎn)足下列條件的直線方程：(1)過(guò)點(diǎn)，傾斜角為45°；(2)過(guò)兩點(diǎn)．【解析】(1)所求直線方程為，即.(2)所求直線方程為，即.39．（2021·北京·北師大二附中未來(lái)科技城高二期中）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且傾斜角為45°的直線方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)樗笾本€的傾斜角為45°，所以所求直線的斜率，所以直線方程為．故A，C，D錯(cuò)誤.故選：B.40．（2022·全國(guó)·高二期中）已知直線過(guò)，并與兩坐標(biāo)軸截得等腰三角形，那么直線的方程是（

）．A．或 B．或C．或 D．或【答案】C【解析】由題意可知，所求直線的傾斜角為或，即直線的斜率為1或-1，故直線方程為或，即或.故選：C.41．（2022·江蘇南通·高二期中）已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與直線垂直，則直線l的方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】直線的斜率為，直線與之垂直，則，又過(guò)點(diǎn)，所以直線方程為，即．故選：A．42．（2021·江蘇蘇州·高二期中）已知三角形的頂點(diǎn)，，.(1)求邊上的高所在的直線方程；(2)求邊上的中線所在的直線方程.【解析】(1)由于，，所以，因?yàn)闉檫吷系母撸?，所以，又過(guò)點(diǎn)，所以有，所以所在直線的方程為.(2)由于，，所以AB的中點(diǎn)，即，又，所以，又因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)，所以有，所以CD所在直線的方程為.考點(diǎn)6：直線與坐標(biāo)軸圍成三角形問(wèn)題43．（2020·上?！じ裰赂叨谥校┻^(guò)點(diǎn)的直線分別與軸、軸的正半軸交于、兩點(diǎn)，則（為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積取得最小值時(shí)直線方程為_(kāi)___________.【答案】【解析】易知直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線的方程為，即.在直線的方程中，令，可得；令，可得.所以，點(diǎn)、.由已知條件可得，解得.的面積為.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，直線的方程為，即.故答案為：.44．（2021·江蘇揚(yáng)州·高二期中）已知直線l的斜率為，且和坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為3，則直線l的方程為_(kāi)__________.【答案】或【解析】設(shè)直線的方程為，則，且，解得或者，∴直線l的方程為或，即或.故答案為：或.45．（2021·湖北荊州·高二期中）（1）求過(guò)點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線l的方程；（2）設(shè)直線l的方程為，若，直線l與x，y軸分別交于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積取最小值時(shí)，直線l的方程．【解析】（1）當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)l的方程為＋＝1，∵點(diǎn)在直線上，∴＋＝1，解得，所以直線方程為x＋y－1＝0；當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，直線斜率，∴直線的方程為，即3x＋4y＝0.綜上知，所求直線方程為x＋y－1＝0或3x＋4y＝0.（2）∵，∴M，，∴＝＝≥2，當(dāng)且僅當(dāng)a＋1＝，即a＝0時(shí)等號(hào)成立．故所求直線l的方程為x＋y－2＝0.46．（2021·福建福州·高二期中）已知直線過(guò)點(diǎn)．(1)若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線的方程；(2)若與軸正半軸的交點(diǎn)為，與軸正半軸的交點(diǎn)為，求（為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的最小值．【解析】(1)當(dāng)直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，直線的斜率為，所以直線的方程為，即；當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為，代入點(diǎn)可得，所以所求直線方程為，即．綜上可得，所求直線方程為：或．(2)依題意，設(shè)點(diǎn)，（，），直線的方程為，又點(diǎn)在直線上，于是有，利用基本不等式，即，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，，即的面積的最小值為12．47．（2021·河北省鹽山高二期中）已知直線l過(guò)點(diǎn).（1）若直線l在兩坐標(biāo)軸上截距和為零，求l方程；（2）設(shè)直線l的斜率，直線l與兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)別為，求面積最小值.【解析】（1）因?yàn)橹本€l在兩坐標(biāo)軸上截距和為零，所以直線l斜率存在且不為，故不妨設(shè)斜率為，則直線l方程為，所以直線在坐標(biāo)軸上截距分別為，，所以，整理得，解得或所以直線l方程為或.（2）由（1）知，因?yàn)?，所以面積為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)