高中數(shù)學(xué)選修函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)

函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)函數(shù)y=f(x)在給定區(qū)間G上，當(dāng)x1、x2∈G且x1＜x2時(shí)函數(shù)單調(diào)性判定單調(diào)函數(shù)的圖象特征yxoabyxoab1）都有f(x1)＜f(x2)，則f(x)在G上是增函數(shù)；2）都有f(x1)＞f(x2)，則f(x)在G上是減函數(shù)；若f(x)在G上是增函數(shù)或減函數(shù)，增函數(shù)減函數(shù)則G稱為單調(diào)區(qū)間G=(a,b)定義法圖象法知識(shí)回顧知識(shí)回顧比如：判斷函數(shù)的單調(diào)性。xyo函數(shù)在上為_(kāi)___函數(shù)，在上為_(kāi)___函數(shù)。減增如圖：xyOxyOxyOxyOy=xy=x2y=x3

觀察下面一些函數(shù)的圖象,探討函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)正負(fù)的關(guān)系.aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)>0f'(x)<0一.函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)關(guān)系如果在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有,則為常數(shù).設(shè)函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，f(x)增函數(shù)f(x)減函數(shù)函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)正負(fù)的關(guān)系注意：應(yīng)正確理解“某個(gè)區(qū)間”的含義，它必是定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間。

在某個(gè)區(qū)間(a,b)內(nèi),如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;

如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.如果恒有，則是常數(shù)。例1已知導(dǎo)函數(shù)的下列信息：試畫出函數(shù)圖象的大致形狀。分析：ABxyo23解：的大致形狀如右圖：題型一：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)信息確定函數(shù)大致圖象練習(xí)題1：

判斷下列函數(shù)的單調(diào)性,并求出單調(diào)區(qū)間:（5）f(x)＝xlnx（6）f(x)＝x＋(a＞0)；總結(jié):當(dāng)遇到三次或三次以上的,或圖象很難畫出的函數(shù)求單調(diào)性問(wèn)題時(shí)，應(yīng)考慮導(dǎo)數(shù)法。納①求定義域②求③令④作出結(jié)論1°什么情況下，用“導(dǎo)數(shù)法”求函數(shù)單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間較簡(jiǎn)便？2°試總結(jié)用“導(dǎo)數(shù)法”求單調(diào)區(qū)間的步驟？歸

一般地,如果一個(gè)函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值較大,那么函數(shù)在這個(gè)范圍內(nèi)變化得快,這時(shí),函數(shù)的圖象就比較“陡峭”(向上或向下);

反之,函數(shù)的圖象就“平緩”一些.

如圖,函數(shù)在或內(nèi)的圖象“陡峭”,在或內(nèi)的圖象平緩.例4

如圖,水以常速(即單位時(shí)間內(nèi)注入水的體積相同)注入下面四種底面積相同的容器中,請(qǐng)分別找出與各容器對(duì)應(yīng)的水的高度h與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系圖象.(A)(B)(C)(D)htOhtOhtOhtO（1）（2）（3）（4）（1）→（B），（2）→（A），（3）→（D），（4）→（C）xyo12xyo12xyo12xyo12xyo2(A)(B)(C)(D)C高考試嘗設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如右圖所示,則的圖象最有可能的是()[解析]

解法一：(區(qū)間法)f′(x)＝x2－ax＋a－1，令f′(x)＝0，所以x＝1或x＝a－1.當(dāng)a－1≤1，即a≤2時(shí)，函數(shù)f(x)在(1，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增，不合題意．當(dāng)a－1>1，即a>2時(shí)，f(x)在(－∞，1)和(a－1，＋∞)上單調(diào)遞增，在(1，a－1)上單調(diào)遞減，由題意知：(1,4)?(1，a－1)且(6，＋∞)?(a－1，＋∞)，所以4≤a－1≤6，即5≤a≤7.解法二：(數(shù)形結(jié)合)如圖所示，f′(x)＝(x－1)[x－(a－1)]．若在(1,4)內(nèi)f′(x)≤0，(6，＋∞)內(nèi)f′(x)≥0，且f′(x)＝0有一根為1，則另一根在[4,6]上．解法三：(轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問(wèn)題)f′(x)＝x2－ax＋a－1.因?yàn)閒(x)在(1,4)內(nèi)單調(diào)遞減，所以f′(x)≤0在(1,4)上恒成立．即a(x－1)≥x2－1在(1,4)上恒成立，所以a≥x＋1，因?yàn)?<x＋1<5，所以當(dāng)a≥5時(shí)，f′(x)≤0在(1,4)上恒成立，又因?yàn)閒(x)在(6，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立，所以a≤x＋1，因?yàn)閤＋1>7，所以a≤7時(shí)，f′(x)≥0在(6，＋∞