第4章粘性流體動力學(xué)基礎(chǔ)

第4章粘性流體動力學(xué)基礎(chǔ)4.1、流體的粘性及其對流動的影響4.2、雷諾實(shí)驗(yàn)、層流與湍流4.3、粘性流體的應(yīng)力狀態(tài)4.4、廣義牛頓內(nèi)摩擦定理（本構(gòu)關(guān)系）4.5、粘性流體運(yùn)動方程---Navier-Stokes方程4.6*、流動相似及相似準(zhǔn)則*

工程中的問題大多是粘性流體運(yùn)動問題，實(shí)際的粘性流體運(yùn)動現(xiàn)象遠(yuǎn)比理想流復(fù)雜，而控制粘性流體運(yùn)動的基本方程及其求解也相對復(fù)雜。4、5兩章的任務(wù)是：介紹粘性流體運(yùn)動的基本概念、流動現(xiàn)象和流動特征建立控制粘性流體運(yùn)動的基本方程得到解決粘性流體運(yùn)動問題的基本思路、方法和途徑第4章粘性流體動力學(xué)基礎(chǔ)4.1流體的粘性及其對流動的影響

流體的粘滯性流體的粘滯性是指，流體在運(yùn)動狀態(tài)下抵抗剪切變形能力。流體的剪切變形是指流體質(zhì)點(diǎn)之間出現(xiàn)相對運(yùn)動。因此流體的粘滯性是指抵抗流體質(zhì)點(diǎn)之間的相對運(yùn)動能力。在靜止?fàn)顟B(tài)下，流體不能承受剪力。但是在運(yùn)動狀態(tài)下，流體可以承受剪力，而且對于不同種流體所承受剪力大小是不同的。粘性流體抵抗剪切變形的能力，可通過流層間的剪切力表現(xiàn)出來（這個剪切力稱為內(nèi)摩擦力）。粘性流體在流動過程中必然要克服內(nèi)摩擦力做功，因此流體粘滯性是流體發(fā)生機(jī)械能損失的根源。牛頓的內(nèi)摩擦定律（Newton，1686年）

F=μAU/h

FhU4.1流體的粘性及其對流動的影響流層之間的內(nèi)摩擦力與接觸面上的壓力無關(guān)。設(shè)表示單位面積上的內(nèi)摩擦力（粘性切應(yīng)力），則μ-----流體的動力粘性系數(shù)（單位：Ns/m2=Pa.s）=μ/

---流體的運(yùn)動粘性系數(shù)（單位：m2/s

）

水=1.139

10-6(m2/s)

空氣=1.461

10-5(m2/s)4.1流體的粘性及其對流動的影響一般流層速度分布不是直線，如圖所示。

y

u

0

du/dy----表示單位高度流層的速度增量，稱為

速度梯度4.1流體的粘性及其對流動的影響速度梯度du/dy

物理上也表示流體質(zhì)點(diǎn)剪切變形速度或角變形率。如圖所示：u+du

dy

d

u

dudt

4.1流體的粘性及其對流動的影響流體切應(yīng)力與速度梯度的一般關(guān)系為：1.=0+μdu/dy，binghan流體，泥漿、血漿、牙膏等2.

=μ（du/dy）0.5，偽塑性流體，尼龍、橡膠、油漆等3.

=μdu/dy

，牛頓流體，水、空氣、汽油、酒精等4.

=μ(du/dy)2，脹塑性流體，生面團(tuán)、濃淀粉糊等5.

＝0，μ＝0，理想流體，無粘流體。12344.1流體的粘性及其對流動的影響要注意流體的粘性與流體的粘性剪應(yīng)力是不同的概念流體的粘性是指流體抵抗剪切變形的能力，用流體的物性參數(shù)μ即動力粘性系數(shù)代表這種能力的大小。流體的粘性剪應(yīng)力只有當(dāng)流體質(zhì)點(diǎn)之間出現(xiàn)相對運(yùn)動時才會體現(xiàn)出來。因此：靜止容器中的甘油具有較大粘性（μ

較大），但其中不存在剪切應(yīng)力；空氣粘性較?。é?/p>

較?。┑鄬\(yùn)動時也可能具有較大的剪切應(yīng)力；理想流體既不具有粘性（μ

=0），運(yùn)動時也不會體現(xiàn)出剪切應(yīng)力。4.1流體的粘性及其對流動的影響2.粘性對流動的影響為了說明粘性對流動的影響，我們先回顧一下在緒論中曾經(jīng)提到的幾個與粘性流體運(yùn)動有關(guān)的基本現(xiàn)象和問題：為什么麻面的高爾夫球比光球打得更遠(yuǎn)？4.1流體的粘性及其對流動的影響為什么自行車運(yùn)動員要戴一個圓頭尖尾的帽子？能否反過來戴成尖頭圓尾，或做成尖頭尖尾？2.流體的粘滯性對流動的影響為什么汽車的阻力更多的是取決于汽車后部而不是前部？2.流體的粘滯性對流動的影響為什么汽車和飛機(jī)作高速運(yùn)行時，我們在功率（燃料消耗）上必須付出與速度增加不成比例的超乎想象的高代價？為什么空氣阻力是速度的最終限制？2.流體的粘滯性對流動的影響為什么海洋中體形大的生物（鯨）姿態(tài)幽雅、動作輕松、遷徙距離遙遠(yuǎn)？為什么體形越小的生物則游動越笨拙、速度和運(yùn)動都局限在一個很小范圍？2.流體的粘滯性對流動的影響為什么微生物在水銀中和在酒精中運(yùn)動時，受到的阻力幾乎相等不受二者密度巨大差別的影響？諸多與粘性流體運(yùn)動有關(guān)的問題及其解決，有賴于我們對粘流基本概念、基本理論和方法的掌握。2.流體的粘滯性對流動的影響以上均為粘流的工程例子。自然界中流體都具有粘性，因此粘性對流體運(yùn)動的影響是普遍存在的。對于具體流動問題粘性所起的作用并不一定相同。特別是象水和空氣這樣的小粘性流體，對于某些問題忽略粘性的作用可得到滿意的結(jié)果。因此為了簡化起見，提出了理想流體的概念和理論。然而對于實(shí)際的流動，粘性對流動的影響是如何體現(xiàn)的？粘性流動的特點(diǎn)是什么？粘性流動與理想流動最本質(zhì)的差別體現(xiàn)在何處？以下用兩個典型流動來說明粘性流動與無粘流動的差別。2.流體的粘滯性對流動的影響

以下用兩個典型流動來說明粘性流動與無粘流動的差別。（1）繞過平板的均直流動理想流流過無厚度平板時的流動特點(diǎn)：

不允許流體穿透平板（不穿透條件）允許流體質(zhì)點(diǎn)滑過平板平板對流動不產(chǎn)生任何影響，平板對流動無阻滯作用，平板阻力為零2.流體的粘滯性對流動的影響粘性流體流過無厚度平板時的流動特點(diǎn)：既不允許流體穿透平板（滿足不穿透條件）也不允許流體在平板上滑移（滿足不滑移條件，由于粘性，緊貼板面的流體質(zhì)點(diǎn)粘附在平板上與板面無相對運(yùn)動）平板附近速度梯度很大，流層之間的粘性切應(yīng)力不能忽略，這個區(qū)稱為邊界層區(qū)。平板對流動起阻滯作用，平板阻力不為零。2.流體的粘滯性對流動的影響與物面的粘附條件（無滑移條件）是粘性流體運(yùn)動有別與理想流體運(yùn)動的主要標(biāo)志。沿平板的邊界層實(shí)驗(yàn)演示無滑移實(shí)驗(yàn)演示隨著離開板面的距離加大，與物面的強(qiáng)粘性作用逐步向外層傳遞，直至流層間不存在速度差別。2.流體的粘滯性對流動的影響（2）圓柱繞流理想流體繞過圓柱時的流動特點(diǎn)：在流體質(zhì)點(diǎn)繞過圓柱的過程中，只有動能、壓能的相互轉(zhuǎn)換，而無機(jī)械能的損失。在圓柱面上壓強(qiáng)分布對稱，無阻力存在。（達(dá)朗貝爾疑題）2.流體的粘滯性對流動的影響粘性流體繞圓柱時的繞流特點(diǎn)：物面近區(qū)由于粘性將產(chǎn)生邊界層，由A點(diǎn)到B點(diǎn)的流程中將消耗部分動能用于克服摩擦阻力做功，機(jī)械能損失。喪失部分機(jī)械能的邊界層流動無法滿足由B點(diǎn)到D點(diǎn)壓力升高的要求，在BD流程內(nèi)流經(jīng)一段距離就會將全部動能消耗殆盡（一部分轉(zhuǎn)化為壓能，一部分克服摩擦阻力做功），于是在壁面某點(diǎn)速度變?yōu)榱悖⊿點(diǎn)）。流體將從這里離開物面進(jìn)入主流場中，這種現(xiàn)象稱為邊界層分離，S點(diǎn)稱為分離點(diǎn)。分離點(diǎn)下游流體發(fā)生倒流，形成了旋渦區(qū)。2.流體的粘滯性對流動的影響旋渦區(qū)的出現(xiàn)，使得圓柱壁面壓強(qiáng)分布發(fā)生了變化，前后不對稱（如前駐點(diǎn)的壓強(qiáng)要明顯大于后駐點(diǎn)的壓強(qiáng)），因此出現(xiàn)了壓差阻力。對繞圓球的粘性流動不僅存在摩擦阻力，還存在壓差阻力，壓差阻力是由于邊界層分離后壓強(qiáng)不平衡造成的，但本質(zhì)上仍然是由于粘性造成的。2.流體的粘滯性對流動的影響達(dá)朗貝爾疑題所指出的矛盾多少耽誤了一點(diǎn)流體力學(xué)的發(fā)展，那時人們以為用無粘的位流去處理實(shí)際流動是沒有什么價值的。曾經(jīng)出現(xiàn)理論與實(shí)驗(yàn)研究十分脫節(jié)的情況：理想流體力學(xué)家們在解釋著自己觀察不到的現(xiàn)象水力學(xué)工程師們在觀察著自己解釋不了的現(xiàn)象理想流繞圓柱的解實(shí)際粘流繞圓柱的觀察上述粘流現(xiàn)象是理想流理論不能描述的，基于理想流結(jié)果達(dá)朗貝爾提出了所謂的達(dá)朗貝爾疑題：理想流繞任意封閉物體無阻力。顯然這與人們的實(shí)際觀察相矛盾。2.流體的粘滯性對流動的影響以普朗特等為代表的近代流體力學(xué)家的出色工作，成功解決了理想流體力學(xué)和粘性流體力學(xué)的適用性和二者之間相互關(guān)系的問題。后來知道理想流假設(shè)撇開粘性來處理問題是一種很有價值的合乎邏輯的抽象，可成功解決與粘性關(guān)系不大的升力等問題，而與粘性關(guān)系密切的阻力等問題則需用粘性流體力學(xué)及其簡化理論來解決。2.流體的粘滯性對流動的影響粘性對流動的影響小結(jié)：（1）粘性摩擦切應(yīng)力及其與物面的粘附條件（無滑移條件）是粘性流體運(yùn)動有別與理想流體運(yùn)動的主要標(biāo)志。（2）粘性是產(chǎn)生摩擦阻力的根本原因，粘性邊界層在一定條件（下章詳述）下產(chǎn)生分離是形成壓差阻力的根本原因。（3）粘性流體在流動過程中必然要克服內(nèi)摩擦力做功，因此流體粘滯性是流體發(fā)生機(jī)械能損失的根源。（4）對于研究阻力、邊界層及其分離、旋渦及其擴(kuò)散等問題時，粘性起主導(dǎo)作用不能忽略。2.流體的粘滯性對流動的影響雷諾（OsborneReynolds，1842~1921，英國工程師兼物理學(xué)家，維多利亞大學(xué)（曼徹斯特）教授）最早詳細(xì)研究了管道中粘性流體的流動狀態(tài)及其影響因素。4.2、雷諾實(shí)驗(yàn)、層流與湍流層流湍流加大流速或減小粘性時H＝C甘油和水的混合液，可變混合比例流態(tài)從層流到湍流的過渡稱為轉(zhuǎn)捩。實(shí)驗(yàn)表明流態(tài)的轉(zhuǎn)捩不是單單取決于某一個流動參數(shù)V,μ等，而是取決于無量綱的相似組合參數(shù)雷諾數(shù)，記為Re：在非管道流動中也存在層流與湍流這兩種不同的流態(tài)，從層流到湍流的轉(zhuǎn)捩也與雷諾數(shù)大小有關(guān)4.2、雷諾實(shí)驗(yàn)、層流與湍流雷諾數(shù)之所以對粘性流體運(yùn)動的流態(tài)及其他相關(guān)特性起著重要作用，在于雷諾數(shù)具有很明顯的物理意義。實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，隨著雷諾數(shù)增加而呈現(xiàn)的不同流態(tài)(層流或湍流)對于流動的摩擦阻力、流動損失、速度分布等影響很大。雷諾數(shù)的物理意義：雷諾數(shù)代表作用在流體微團(tuán)上的慣性力與粘性力之比。4.2、雷諾實(shí)驗(yàn)、層流與湍流雷諾數(shù)正比于慣性力與粘性力之比的說明：

慣性力正比于質(zhì)量乘加速度：～ρV2L2粘性力正比于剪應(yīng)力乘面積：～μVL因此慣性力與粘性力之比正比于：～4.2、雷諾實(shí)驗(yàn)、層流與湍流雷諾數(shù)的意義還可以用以下三圖的對比來說明很低雷諾數(shù)情況，壓差與粘性力平衡很高雷諾數(shù)情況，壓差與慣性力平衡4.2、雷諾實(shí)驗(yàn)、層流與湍流大型民航客機(jī)的飛行雷諾數(shù)可達(dá)上百萬至幾千萬（106～107）了解雷諾數(shù)的物理意義可幫助我們判斷一個流動中何種因素占主導(dǎo)作用，但注意不要將雷諾數(shù)的絕對數(shù)值等同于慣性力與粘性力的絕對比值4.2、雷諾實(shí)驗(yàn)、層流與湍流日本設(shè)計(jì)的機(jī)械蜻蜓俄羅斯設(shè)計(jì)的機(jī)械蜻蜓美國設(shè)計(jì)的機(jī)械蒼蠅微型飛行器的飛行雷諾數(shù)只有幾百到幾萬的量級（102～104）中國大學(xué)生設(shè)計(jì)的微型撲翼機(jī)4.2、雷諾實(shí)驗(yàn)、層流與湍流空氣中的懸浮塵埃其運(yùn)動雷諾數(shù)則更低甚至可以小于1需要再次強(qiáng)調(diào)：雷諾數(shù)代表慣性力與粘性力之比只是宏觀量級上的比例關(guān)系，根據(jù)雷諾數(shù)的大小可以判斷流動中何種因素占主導(dǎo)作用，但絕不能認(rèn)為Re=1表示流動的慣性力與粘性力剛好相等。此外Re高說明總體上粘性力相對較小但并不意味著粘性完全不起作用，只是粘性將通過某種微妙的方式（較薄的粘性剪切層即邊界層）體現(xiàn)出來。4.2、雷諾實(shí)驗(yàn)、層流與湍流管中層流與湍流的對比拋物線分布

對數(shù)分布層流Re<2100湍流Re>40004.2、雷諾實(shí)驗(yàn)、層流與湍流平板湍流平板層流平板上層流與湍流的對比4.2、雷諾實(shí)驗(yàn)、層流與湍流管中層流管中湍流1.Re2.外觀3.質(zhì)量與動量交換4.速度分布5.損失6.剪應(yīng)力較大流動紊亂、不規(guī)則，外表粗糙在縱向和橫向存在較大的微團(tuán)宏觀質(zhì)量、動量交換平均速度是較飽滿的對數(shù)分布，壁面附近速度和梯度相對較大隨Re增加轉(zhuǎn)捩時損失增加牛頓應(yīng)力及雷諾應(yīng)力較小色線規(guī)則，流動分層，外表光滑流層間只限于分子間的較小的擴(kuò)散較尖瘦的拋物線分布，壁面附近速度和梯度都相對較小隨Re增加而降低牛頓應(yīng)力4.2、雷諾實(shí)驗(yàn)、層流與湍流雷諾數(shù)不同使得射流流態(tài)及其混合狀況根本不同：

甘油甘油與水的混合液水

Re=0.051020030004.2、雷諾實(shí)驗(yàn)、層流與湍流雷諾數(shù)不同使繞柱體的實(shí)際流動及其阻力特性不同：低雷諾數(shù)下的繞圓柱流動中等雷諾數(shù)下的繞圓柱流動較高雷諾數(shù)下的繞圓柱流動可見較低雷諾數(shù)下的粘性流體繞圓柱流動流線與理想流非常類似，但這時圓柱存在較大的粘性阻力。可見較高雷諾數(shù)下，不同雷諾數(shù)會造成繞圓柱下游的分離區(qū)不同，從而壓差阻力明顯不同。4.2、雷諾實(shí)驗(yàn)、層流與湍流雷諾數(shù)不同使圓球繞流及其相應(yīng)阻力特性根本不同：雷諾數(shù)不同可能使得繞機(jī)翼的流態(tài)、速度分布、壓力分布、阻力特性和升力特性根本不同－－美國C－141運(yùn)輸機(jī)的失事教訓(xùn)4.2、雷諾實(shí)驗(yàn)、層流與湍流微生物在水銀和在酒精中運(yùn)動阻力對比問題；汽車和飛機(jī)作高速運(yùn)動時，燃料消耗與速度增長不成比例問題；海洋中大生物和微小生物的游動機(jī)制問題；本節(jié)開頭提到的其他問題如高爾夫球、流線型帽子等問題將在下一章“邊界層理論”學(xué)習(xí)后得到解答。斯托克斯阻力定律：高雷諾數(shù)時物體受到的流動阻力正比于:ρV2L2

低雷諾數(shù)時物體受到的流動阻力正比于:μVL4.2、雷諾實(shí)驗(yàn)、層流與湍流1、理想流體和粘性流體作用面受力差別4.3、粘性流體的應(yīng)力狀態(tài)靜止或理想流體內(nèi)部任意面上只有法向力，無切向力粘性流體內(nèi)部任意面上力既有正向力，也有切向力在粘性流體運(yùn)動中，過任意一點(diǎn)任意方向單位面積上的表面力不一定垂直于作用面，可分解為法向應(yīng)力和切向應(yīng)力如果作用面的法線方向與坐標(biāo)軸重合，則合應(yīng)力可分解為三個分量，分別為法應(yīng)力分量和切應(yīng)力分量4.3、粘性流體的應(yīng)力狀態(tài)2、粘性流體中的應(yīng)力狀態(tài)從而三個面的合應(yīng)力可表示為

x面

:y面:z面:4.3、粘性流體的應(yīng)力狀態(tài)由此可見，用兩個下標(biāo)可把各個應(yīng)力分量的作用面方位和投影方向表示清楚。其中第一個下標(biāo)表示作用面的法線方向，第二個下標(biāo)表示應(yīng)力分量的投影方向。如果在同一點(diǎn)上給定三個相互垂直坐標(biāo)面上的應(yīng)力，那么過該點(diǎn)任意方向作用面上的應(yīng)力可通過坐標(biāo)變換唯一確定。上述九個應(yīng)力分量可寫為：這九個應(yīng)力分量并不全部獨(dú)力，其中的六個切向應(yīng)力是兩兩相等的，所以獨(dú)立的一共是三個法向的，三個切向的。這個結(jié)論可利用對微元六面體的動量矩定理得到證明，思路是：一對剪應(yīng)力對微元產(chǎn)生的力矩將與徹體力力矩和微元質(zhì)量的動量矩平衡，而后二者都正比于微元的體積乘以微距離，是一個高階小量可略去，從而得到這一對剪應(yīng)力相等。4.3、粘性流體的應(yīng)力狀態(tài)注：有的教材將法向應(yīng)力記為:關(guān)于應(yīng)力的幾個要點(diǎn)：（1）在理想流體及靜止流體中不存在切應(yīng)力，三個法向應(yīng)力相等（各向同性），等于該點(diǎn)壓強(qiáng)的負(fù)值。即：（2）在粘性運(yùn)動流體中，任意一點(diǎn)的任何三個相互垂直面上的法向應(yīng)力之和為一個不變量，并定義此不變量的平均值為該點(diǎn)的平均壓強(qiáng)的負(fù)值。即：（3）在粘性運(yùn)動流體中，任意面上的切應(yīng)力一般不為零。4.3、粘性流體的應(yīng)力狀態(tài)4.4、廣義牛頓內(nèi)摩擦定理（本構(gòu)關(guān)系）Stokes（1845年）根據(jù)牛頓內(nèi)摩擦定理的啟發(fā)（粘性流體作直線層狀流動時，層間切應(yīng)力與速度梯度成正比），在一些合理的假設(shè)下將牛頓內(nèi)摩擦定律進(jìn)行推廣，提出廣義牛頓內(nèi)摩擦定理----應(yīng)力應(yīng)變率關(guān)系（本構(gòu)關(guān)系）：這個關(guān)系將六個應(yīng)力與微團(tuán)的變形率直接聯(lián)系（線性關(guān)系）。滿足上述關(guān)系的流體稱為牛頓流體。

對于不可壓縮流體，上述應(yīng)力應(yīng)變率關(guān)系可化簡為：4.4、廣義牛頓內(nèi)摩擦定理（本構(gòu)關(guān)系）不論是否可壓縮流體，本構(gòu)關(guān)系都滿足以下規(guī)律：4.5、粘性流體運(yùn)動方程---Navier-Stokes方程1、流體運(yùn)動的基本方程

利用牛頓第二定理推導(dǎo)以應(yīng)力形式表示的流體運(yùn)動微分方程。像推導(dǎo)歐拉方程一樣，在流場中取一個微元六面體進(jìn)行分析，以x方向?yàn)槔?，建立運(yùn)動方程。現(xiàn)在由于是粘性流體，作用在中心P點(diǎn)處不僅有法向應(yīng)力，而且還有切向應(yīng)力，控制面上的應(yīng)力可用中心點(diǎn)處應(yīng)力泰勒召開表示。作用在ABCD和A’B’C’D’兩個側(cè)面的法向力差是：作用在ABB’A’和CDC’D’兩個側(cè)面的切向力差是：作用在ADA’D’和BCB’C’兩個側(cè)面的切向力差是：仍然設(shè)單位質(zhì)量徹體力分量為：fx,fy,fz,按照牛頓第二定律：是歐拉法表示的加速度或速度的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)。4.5、粘性流體運(yùn)動方程---Navier-Stokes方程或：同理：將反映粘性應(yīng)力與應(yīng)變率關(guān)系的廣義牛頓內(nèi)摩擦定理代入上式右端，即得到粘性流動的運(yùn)動方程N(yùn)－S方程：（納維Navier,C.L.M.H.1785-1836,法國力學(xué)家、工程師；斯托克斯Stokes,G.G.1819-1903,英國力學(xué)家、數(shù)學(xué)家）4.5、粘性流體運(yùn)動方程---Navier-Stokes方程其中是拉普拉斯算子：可見，對于理想流右端的粘性項(xiàng)為零，方程化為歐拉方程。4.5、粘性流體運(yùn)動方程---Navier-Stokes方程當(dāng)不可壓時，根據(jù)連續(xù)方程：則不可壓粘流的N－S方程寫為：4.5、粘性流體運(yùn)動方程---Navier-Stokes方程用三個方向的單位向量i、j、k分別乘上三式并相加，可得不可壓粘流N-S方程比較簡捷的向量形式：其中為速度分量

為哈密頓算子

為拉普拉斯算子4.5、粘性流體運(yùn)動方程---Navier-Stokes方程

與第二章一樣，這個方程中速度的隨體導(dǎo)數(shù)可以加以分解，把渦量分離出來，寫成格羅米柯形式的方程也稱為蘭姆型方程。這樣有利于研究流體的有旋性：4.5、粘性流體運(yùn)動方程---Navier-Stokes方程事實(shí)上速度隨體導(dǎo)數(shù)中遷移加速度項(xiàng)也可以直接應(yīng)用向量導(dǎo)數(shù)運(yùn)算公式得到：定常、不可壓、徹體力有勢時格羅米柯方程可化為：2、伯努利(Bernoulli)積分

伯努利家族（瑞士）前后四代，數(shù)十人，形成歷史上罕見的數(shù)學(xué)大家族。其中，Bernoulli,Nicholas(尼古拉斯.伯努利，1623-1708），瑞士伯努利數(shù)學(xué)家族第一代。Bernoulli,Johann（約翰.伯努利，1667-1748

），伯努利數(shù)學(xué)家族第二代，提出著名的虛位移原理。Bernoulli,Daniel（丹尼爾.伯努利，1700-1782），伯努利數(shù)學(xué)家族第三代，

Johann.伯努利的兒子，著有《流體動力學(xué)》（1738），將微積分方法運(yùn)用到流體動力學(xué)中，提出著名的伯努利方程。4.5、粘性流體運(yùn)動方程---Bernoulli積分4.5、粘性流體運(yùn)動方程---Bernoulli積分將定常、不可壓、徹體力為重力（Ω=gy）條件下的格羅米柯方程沿流線投影得：上式與第二章中得到的有粘性損失一維能量方程形式相同。其中為單位質(zhì)量流體所具有的機(jī)械能，是從1－2流動過程中粘性力做功使每單位質(zhì)量流體損失的能量。寫為高度量綱：如果令:方程變?yōu)?4.5、粘性流體運(yùn)動方程---Bernoulli積分沿著同一條流線積分，得到：注：dE可看成由于粘性引起的機(jī)械能變化，根據(jù)熱力學(xué)第二定理，流動過程中機(jī)械能減小，因此dE為負(fù)值，記為－E1-2表示。上式說明，在粘性流體中，沿同一條流線上無論勢能、壓能和動能如何轉(zhuǎn)化，總機(jī)械能是沿程減小的，總是從機(jī)械能高的地方流向機(jī)械能低的地方，不能保持守恒，減小的部分代表流體質(zhì)點(diǎn)克服粘性應(yīng)力做功所消耗的能量。下圖是理想流和粘流沿流線（管）的能量關(guān)系幾何意義對比。

4.5、粘性流體運(yùn)動方程---Bernoulli積分應(yīng)該指出，由于實(shí)際粘性流體必然存在剪切層是有旋的，上述對N-S方程的積分只能沿流線成立。y1y2H1H2靜力水頭線總水頭線12yxhw12y1y2H1H2靜力水頭線總水頭線12yx理想流粘性流1122例：進(jìn)出口面積相等高度相同的管道,體積流量Q=30m3/s,測得兩端壓降為

p1-p2=5kpa,求流動的粘性損失功率N損

解：設(shè)流動定常、一維，由N-S方程的伯努利積分：得從1-2每單位質(zhì)量流體損失的能量為：則1-2的損失功率為：(注：上述管道圍起來可看成風(fēng)洞的一段，因此1-2壓差可看成由風(fēng)扇提供用于克服管道損失，故所求即風(fēng)扇功率，可由風(fēng)扇兩端的有機(jī)械功輸入的能量方程驗(yàn)證。)N－S方程為非線性偏微分方程，它的求解一般需要借助計(jì)算機(jī)用數(shù)值方法求解。而在一些簡單的粘流問題上，N－S方程也有解析解。例：求解二維平行壁之間的不可壓粘性流動，二壁固定。2bxy解:設(shè)流動定常，徹體力可略。二維不可壓N–S方程寫為：3.N-S方程的解析解舉例*4.5、粘性流體運(yùn)動方程---N-S方程的解析解舉例*由于，第二個方程化為：即在流動橫截面壓強(qiáng)不變。又第一個方程化為：對y積分，注意到不是y的函數(shù)，對y積分時當(dāng)常數(shù)看4.5、粘性流體運(yùn)動方程---N-S方程的解析解舉例*由邊界條件定常數(shù)C1

和C2：y=±b處，u=0，定得C1＝0，C2＝－b2/2，于是：即u

在y向作拋物線分布。中心點(diǎn)流速為：表明沿x軸是個負(fù)值，即壓強(qiáng)是逐步下降的。一段長度L上的壓降是：這個壓降是用于克服壁面摩擦阻力的。4.5、粘性流體運(yùn)動方程---N-S方程的解析解舉例*xu2by璧面間平均流速為：壁面摩擦應(yīng)力為：一段長L的壁面上摩擦應(yīng)力是：兩側(cè)壁面上的總摩擦力是:這個力剛好等于壓降乘以通道面積，說明流動的損失完全消耗在克服壁面摩擦上了。4.5、粘性流體運(yùn)動方程---N-S方程的解析解舉例*例：求解二維平行壁之間的不可壓粘性流動，其中底璧固定不動，上璧以速度U向右運(yùn)動。璧面間距為h。這種流動稱為古艾特流。解：此題和例1的前半部分相同，只是邊界條件不同，有：由邊界條件y=0，u=0，定得c2＝0;由y=h,u=U，定得于是速度分布為：如果壓強(qiáng)在x方向無壓強(qiáng)梯度，則這種壓強(qiáng)梯度等于零的流動稱為簡單的古艾特流或簡單剪切流，速度分布在y向?yàn)橐恢本€。如果壓強(qiáng)梯度不為零就是一般的古艾特流，一般的古艾特流等于簡單古艾特流與例1的拋物線分布流動的疊加。定義一個無量綱的壓強(qiáng)梯度：則無量綱的速度分布可寫為：P=0是簡單剪切流。P>0表示壓強(qiáng)在運(yùn)動方向是下降的，這時一個截面上的流速全都指向正x方向，除了y=0和y=h的兩端外其他流速都比簡單剪切流為大（圖中P＝1，2，3），P<0表示壓強(qiáng)在運(yùn)動方向是上升的，這時無量綱速度分布較簡單古艾特流為小，當(dāng)P絕對值足夠大時可出現(xiàn)倒流（P=-2、-3）。剪應(yīng)力分布為：該剪應(yīng)力分布可看成簡單剪切流的常數(shù)分布和例1中的線性分布的疊加。由連續(xù)方程：得出：與平面理想無旋速度位方程類似，而上述速度與壓強(qiáng)關(guān)系也類似于位流的速度與位函數(shù)關(guān)系，因此理想無旋位流的流線可以用這種狹縫中粘性起主要作用的實(shí)驗(yàn)來模仿。（注意理想位流中位函數(shù)沿流線是增加的，這里壓強(qiáng)沿流線則是減少的）例：關(guān)于平板間狹縫的流動（海萊肖儀原理）。解：從前面平行璧面間的粘性流動解可以看到，板間的速度與壓力降落成正比。因此狹縫平板之間的流動與之類似，可以假設(shè)速度與壓力降落成正比：事實(shí)上，對于狹縫中的低雷諾數(shù)流動，初步可以假設(shè)流動的慣性力項(xiàng)與粘性力項(xiàng)相比可以忽略不計(jì)，對于不可壓縮流動，不計(jì)徹體力，N-S方程可簡化為：上式兩端分別取對x和y的偏導(dǎo)數(shù)，然后相加，并利