四川省 成都市 武侯區(qū)四川大學附屬中學(西區(qū)學校)2022-2023學年九年級上學期期中數學試卷

2022-2023學年四川省四川大學附屬中學(西區(qū)學校)九年級（上）期中數學試卷一、選擇題（每小題4分，共32分）1．（4分）如圖是一個“凹”字形幾何體，這個幾何體的俯視圖是（）A． B． C． D．2．（4分）已知關于x的一元二次方程ax2﹣4x﹣1＝0有兩個不相等的實數根，則a的取值范圍是（）A．a≥﹣4 B．a＞﹣4 C．a≥﹣4且a≠0 D．a＞﹣4且a≠03．（4分）同一時刻，同一地點，在陽光下影長為0.4米的小王身高為1.6米，則這棵樹的高度為（）A．0.8米 B．6.4米 C．12.8米 D．25.6米4．（4分）如圖所示的木制活動衣帽架是由三個全等的菱形構成，根據實際需要可以調節(jié)AE間的距離．若AE間的距離調節(jié)到60cm，菱形的邊長AB＝20cm（）A．90° B．100° C．120° D．150°5．（4分）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，且OA＝OC，OB＝OD（）A．若AC⊥BD，四邊形ABCD是菱形 B．若AC＝BD，四邊形ABCD是矩形 C．若AC⊥BD且AC＝BD，四邊形ABCD是正方形 D．若∠ABC＝90°，四邊形ABCD是正方形6．（4分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，兩個“E”字是位似圖形，①號“E”與②號“E”的位似比為2：1．點P（﹣6，9）在①號“E”上（）A．（﹣3，） B．（﹣2，3） C．（﹣，3） D．（﹣3，2）7．（4分）如圖，△ABC中，P為邊AB上一點，不能說明△ACP與△ACB相似的是（）A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB C．AC2＝AP×AB D．AB×CP＝BC×AC8．（4分）在同一平面直角坐標系中，函數y＝和y＝﹣kx+k（k≠0）（）A． B． C． D．二．填空題（每小題4分，共20分）9．（4分）若（b+d≠0），則＝．10．（4分）已知sin（α+10°）＝，則銳角α的度數是．11．（4分）如圖所示，某河堤的橫斷面是梯形ABCD，BC∥AD，且斜坡AB的坡度為，則河堤的高BE為米．12．（4分）如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝t（t為常數）1＝，y2＝的圖象分別交于點A，B，連接OA，若△OAB的面積為4，則k的值是．13．（4分）如圖，在矩形ABCD中，按以下步驟作圖：①分別以點A和點C為圓心AC的長為半徑作弧，兩弧相交于點M和N，CE＝5，則該矩形的周長為．三、解答題（本大題共5個小題，共48分）14．（12分）（1）計算：（π﹣2）0﹣|1﹣tan60°|+（﹣）﹣1+；（2）解方程：2x2+3x﹣5＝0．15．（8分）學校實施新課程改革以來，學生的學習能力有了很大提高，陳老師為進一步了解本班學生自主學習、合作交流的現狀，把調查結果分成四類（A：特別好，B：好，C：一般，D：較差）．并將調查結果繪制成以下兩幅不完整的統(tǒng)計圖（1）本次調查中，陳老師一共調查了名學生；（2）將條形統(tǒng)計圖補充完整；扇形統(tǒng)計圖中D類學生所對應的圓心角是度；（3）為了共同進步，陳老師從被調查的A類和D類學生中分別選取一名學生進行“兵教兵”互助學習，請用列表或畫樹狀圖的方法求出恰好選中一名男生和一名女生的概率．16．（8分）某校開展綜合實踐活動，測量太陽能路燈電池板離地面的高度，如圖，在測點A處安置測角器，測得點M的仰角∠MBC＝33°，測得點M的仰角∠MEC＝45°（點A，D與N在同一條直線上），求電池板離地面的高度MN（結果精確到1米，參考數據：sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）．17．（10分）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，過點A作AF∥BC交BE的延長線于F，BF交AC于G（1）求證：EF＝EB；（2）若∠BAC＝90°，試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結論．18．（10分）如圖，已知一次函數y＝kx+1與反比例函數y＝的圖象相交于A，且A（﹣2，3），過點B作BC⊥x軸于點C，連接AC．（1）求一次函數和反比例函數的解析式，以及B點的坐標；（2）將△ABC沿x軸向左平移，對應得△A′B′C′，當反比例函數圖象經過A′C′的中點M時；（3）在第二象限內A點上方的雙曲線上求一點P，使得tan∠PCA＝．四、填空題（每小題4分，共20分）19．（4分）已知a，b是方程x2+3x﹣5＝0的兩個實數根，則a2﹣3b+2008的值是．20．（4分）已知關于x的一元二次方程x2+bx+c＝0，從﹣1，2，3三個數中任取一個數，再從剩下的兩個數中任取一個數作為方程中c的值，能使該一元二次方程有實數根的概率是．21．（4分）符合黃金分割比例形式的圖形很容易使人產生視覺上的美感．如圖所示的五角星中，AD＝BC，且C、D兩點都是AB的黃金分割點，則AB的長是．22．（4分）如圖，M為雙曲線y＝（x＞0）上的一點，分別交直線y＝﹣x+m于點D、C兩點．若直線y＝﹣x+m與y軸交于點A，與x軸交于點B．23．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，點D為AC邊上一個動點，則AE的最小值是，此時CD的長為．二、解答題（3個小題，共30分）24．（8分）直播購物逐漸走進了人們的生活．某電商在抖音上對一款成本價為40元/件的小商品進行直播銷售，如果按每件60元銷售，那么每天可賣出20件．通過市場調查發(fā)現，日銷售量增加10件．（1）若日利潤保持不變，商家想盡快銷售完該款商品，每件售價應定為多少元？（2）小明的線下實體商店也銷售同款小商品，標價為每件62.5元．為提高市場競爭力，促進線下銷售，使其銷售價格不超過（1）中所求的售價折銷售．25．（10分）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E，AD上，且∠ECF＝45°，CE的延長線交DA的延長線于點H，連接AC，GH．（1）填空：∠AHC∠ACG；（填“＞”或“＜”或“＝”）（2）線段AC，AG，AH什么關系？請說明理由；（3）當△CGH是等腰三角形時，求AE的長．26．（12分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，E是AD上的一個動點．（1）如圖1，連接BD，O是對角線BD的中點，求AE的長；（2）如圖2，連接BE，EC，連接CF，與BE交于點G．當BE平分∠ABC時；（3）如圖3，連接EC，點H在CD上，折疊后點D落在EC上的點D′處，過點D′作D′N⊥AD于點N，且AE＝1．求的值．

2022-2023學年四川大學附中西區(qū)學校九年級（上）期中數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（每小題4分，共32分）1．（4分）如圖是一個“凹”字形幾何體，這個幾何體的俯視圖是（）A． B． C． D．【答案】見試題解答內容【分析】根據簡單幾何體的三視圖的畫法，畫出它的俯視圖即可．【解答】解：這個幾何體的俯視圖為：故選：D．【點評】本題考查簡單幾何體的三視圖，理解視圖的定義是得出正確答案的前提．2．（4分）已知關于x的一元二次方程ax2﹣4x﹣1＝0有兩個不相等的實數根，則a的取值范圍是（）A．a≥﹣4 B．a＞﹣4 C．a≥﹣4且a≠0 D．a＞﹣4且a≠0【答案】D【分析】根據一元二次方程的定義和判別式的意義得到a≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4a×（﹣1）＞0，然后求出a的范圍后對各選項進行判斷．【解答】解：根據題意得a≠0且Δ＝（﹣4）5﹣4a×（﹣1）＞5，解得a＞﹣4且a≠0，故選：D．【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關系：當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數根；當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數根；當Δ＜0時，方程無實數根．3．（4分）同一時刻，同一地點，在陽光下影長為0.4米的小王身高為1.6米，則這棵樹的高度為（）A．0.8米 B．6.4米 C．12.8米 D．25.6米【答案】C【分析】在同一時刻物高和影長成正比，即在同一時刻的兩個問題物體、影子、經過物體頂部的太陽光線三者構成的兩個直角三角形相似．【解答】解：設高度為h米，因為太陽光可以看作是互相平行的，由相似三角形：＝，解得：h＝12.8．故選：C．【點評】本題考查相似形的知識，解題的關鍵在于將題目中的文字轉化為數學語言再進行解答．4．（4分）如圖所示的木制活動衣帽架是由三個全等的菱形構成，根據實際需要可以調節(jié)AE間的距離．若AE間的距離調節(jié)到60cm，菱形的邊長AB＝20cm（）A．90° B．100° C．120° D．150°【答案】C【分析】連接AE，根據全等的性質可得AC＝20cm，根據菱形的性質和等邊三角形的判定可得△ACB是等邊三角形，再根據等邊三角形和菱形的性質即可求解．【解答】解：連接AE，∵AE間的距離調節(jié)到60cm，木制活動衣帽架是由三個全等的菱形構成，∴AC＝20cm，∵菱形的邊長AB＝20cm，∴AB＝BC＝20cm，∴AC＝AB＝BC，∴△ABC是等邊三角形，∴∠B＝60°，∴∠DAB＝120°．故選：C．【點評】考查了菱形的性質，全等圖形，等邊三角形的判定與性質，解題的關鍵是得到△ACB是等邊三角形．5．（4分）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，且OA＝OC，OB＝OD（）A．若AC⊥BD，四邊形ABCD是菱形 B．若AC＝BD，四邊形ABCD是矩形 C．若AC⊥BD且AC＝BD，四邊形ABCD是正方形 D．若∠ABC＝90°，四邊形ABCD是正方形【答案】D【分析】由平行四邊形的判定與性質、矩形的判定與性質、菱形的判定以及正方形的判定分別對各個選項進行判斷即可．【解答】解：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，A、若AC⊥BD，故選項A不符合題意；B、若AC＝BD，故選項B不符合題意；C、若AC⊥BD且AC＝BD，故選項C不符合題意；D、若∠ABC＝90°，故選項D符合題意；故選：D．【點評】本題考查了矩形的判定與性質、菱形的判定、平行四邊形的判定與性質以及正方形的判定等知識，熟練掌握矩形的判定與性質是解題的關鍵．6．（4分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，兩個“E”字是位似圖形，①號“E”與②號“E”的位似比為2：1．點P（﹣6，9）在①號“E”上（）A．（﹣3，） B．（﹣2，3） C．（﹣，3） D．（﹣3，2）【答案】A【分析】根據位似變換的性質計算，得到答案．【解答】解：∵①號“E”與②號“E”是位似圖形，位似比為2：1，4），∴點P在②號“E”上的對應點Q的坐標為（﹣6×，9×），），故選：A．【點評】本題考查的是位似變換的性質，在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或﹣k．7．（4分）如圖，△ABC中，P為邊AB上一點，不能說明△ACP與△ACB相似的是（）A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB C．AC2＝AP×AB D．AB×CP＝BC×AC【答案】D【分析】本題主要應用兩三角形相似的判定定理，做題即可．【解答】解：A、當∠ACP＝∠B，△APC∽△ACB；B、當∠APC＝∠ACB，△APC∽△ACB；C、當AC2＝AP?AB，即AC：AB＝AP：AC時，故本選項不符合題意；D、當AB×CP＝AP×AC時．故選：D．【點評】本題考查了相似三角形的判定：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似；有兩組角對應相等的兩個三角形相似．8．（4分）在同一平面直角坐標系中，函數y＝和y＝﹣kx+k（k≠0）（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據一次函數及反比例函數的圖象與系數的關系作答．【解答】解：當k＞0時，函數y＝、三象限、二、四象限；當k＜0時，函數y＝、四象限、三、四象限；故B正確；故選：B．【點評】本題主要考查了反比例函數的圖象性質和一次函數的圖象性質，重點是注意系數k的取值．二．填空題（每小題4分，共20分）9．（4分）若（b+d≠0），則＝．【答案】見試題解答內容【分析】根據等比性質，可得答案．【解答】解：由等比性質，得＝＝，故答案為：．【點評】本題考查了比例的性質，利用等比性質是解題關鍵．10．（4分）已知sin（α+10°）＝，則銳角α的度數是50°．【答案】50°．【分析】由特殊角的正弦值，即可得到答案．【解答】解：∵sin（α+10°）＝，∴α+10°＝60°，∴銳角α的度數是50°，故答案為：50°．【點評】本題考查特殊角的三角函數值，關鍵是掌握特殊角的正弦值．11．（4分）如圖所示，某河堤的橫斷面是梯形ABCD，BC∥AD，且斜坡AB的坡度為，則河堤的高BE為24米．【答案】見試題解答內容【分析】由已知斜坡AB的坡度，可得到BE、AE的比例關系，進而由勾股定理求得BE、AE的長，由此得解．【解答】解：由已知斜坡AB的坡度，得：BE：AE＝12：5，設AE＝2x，則BE＝12x，在直角三角形AEB中，根據勾股定理得：262＝5x3+（12x）2，即169x2＝676，解得：x＝6或x＝﹣2（舍去），5x＝10，12x＝24即河堤高BE等于24米．故答案為：24．【點評】本題主要考查的是坡度的定義和勾股定理的應用，解題的關鍵是從圖中抽象出直角三角形，難度不大．12．（4分）如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝t（t為常數）1＝，y2＝的圖象分別交于點A，B，連接OA，若△OAB的面積為4，則k的值是﹣2．【答案】﹣2．【分析】根據反比例函數的比例系數k的幾何意義求解即可．【解答】解：如圖，設直線y＝t（t為常數）交y軸于T．∵AB⊥y軸，∴S△OAT＝＝3，S△OBT＝|k|，∴S△AOB＝S△OBT+S△OAT＝|k|+4＝4，∴|k|＝2，∵k＜2，∴k＝﹣2，故答案為：﹣2．【點評】本題考查反比例函數與一次函數的交點，解題的關鍵是理解反比例函數的比例系數k的幾何意義，屬于中考?？碱}型．13．（4分）如圖，在矩形ABCD中，按以下步驟作圖：①分別以點A和點C為圓心AC的長為半徑作弧，兩弧相交于點M和N，CE＝5，則該矩形的周長為24．【答案】見試題解答內容【分析】連接EA，如圖，利用基本作圖得到MN垂直平分AC，根據線段垂直平分線的性質得到EA＝EC＝5，然后利用勾股定理計算出AD，從而得到矩形的周長．【解答】解：連接EA，如圖，由作法得MN垂直平分AC，∴EA＝EC＝5，在Rt△ADE中，AD＝，所以該矩形的周長＝3×2+8×5＝24．故答案為24．【點評】本題考查了作圖﹣基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線）．也考查了矩形的性質．三、解答題（本大題共5個小題，共48分）14．（12分）（1）計算：（π﹣2）0﹣|1﹣tan60°|+（﹣）﹣1+；（2）解方程：2x2+3x﹣5＝0．【答案】（1）；（2）x1＝1，x2＝﹣．【分析】（1）根據非零數的零次冪等于1，特殊角的三角函數值，絕對值的性質，負整數指數冪的定義以及二次根式的性質計算即可；（2）方程兩邊都乘（2x﹣1），得出2﹣x＝2x﹣1，求出方程的解，再進行檢驗即可．【解答】解：（1）原式＝1﹣|1﹣|+（﹣2）+＝1﹣（）﹣2+＝1﹣+8﹣2+＝；（2）2x2+3x﹣5＝5，（x﹣1）（2x+3）＝0，x﹣1＝2或2x+5＝4，x1＝1，x6＝﹣．【點評】本題考查了實數的運算以及解一元二次方程，熟知利用因式分解法解一元二次方程是解題的關鍵．15．（8分）學校實施新課程改革以來，學生的學習能力有了很大提高，陳老師為進一步了解本班學生自主學習、合作交流的現狀，把調查結果分成四類（A：特別好，B：好，C：一般，D：較差）．并將調查結果繪制成以下兩幅不完整的統(tǒng)計圖（1）本次調查中，陳老師一共調查了20名學生；（2）將條形統(tǒng)計圖補充完整；扇形統(tǒng)計圖中D類學生所對應的圓心角是36度；（3）為了共同進步，陳老師從被調查的A類和D類學生中分別選取一名學生進行“兵教兵”互助學習，請用列表或畫樹狀圖的方法求出恰好選中一名男生和一名女生的概率．【答案】見試題解答內容【分析】（1）由題意可得：陳老師一共調查學生：（2+1）÷15%＝20（名）；（2）由題意可得：C類女生：20×25%﹣2＝3（名）；D類男生：20×（1﹣15%﹣50%﹣25%）﹣1＝1（名）；繼而可補全條形統(tǒng)計圖；（3）首先根據題意列出表格，再利用表格求得所有等可能的結果與恰好選中一名男生和一名女生的情況，繼而求得答案．【解答】解：（1）陳老師一共調查學生：（2+1）÷15%＝20（名）；故答案為：20．（2）C類學生人數：20×25%＝4（名），C類女生人數：5﹣2＝3（名），D類學生占的百分比：1﹣15%﹣50%﹣25%＝10%，D類學生人數：20×10%＝2（名），D類男生人數：4﹣1＝1（名），×360°＝36°，補充條形統(tǒng)計圖如圖，故答案為：36；（3）列表如下，A類學生中的兩名女生分別記為A1和A2，女A6女A2男A男D女A1男D女A3男D男A男D女D女A1女D女A2女D男A女D共有3種等可能的結果，其中，所以所選兩位同學恰好是一位男生和一位女生的概率為＝．【點評】此題考查了列表法或樹狀圖法求概率以及條形統(tǒng)計圖與扇形統(tǒng)計圖．用到的知識點為：概率＝所求情況數與總情況數之比．16．（8分）某校開展綜合實踐活動，測量太陽能路燈電池板離地面的高度，如圖，在測點A處安置測角器，測得點M的仰角∠MBC＝33°，測得點M的仰角∠MEC＝45°（點A，D與N在同一條直線上），求電池板離地面的高度MN（結果精確到1米，參考數據：sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）．【答案】見試題解答內容【分析】延長BE交MN于點F，根據正切的定義列出方程，解方程求出MF，進而求出MN．【解答】解：延長BE交MN于點F，設MF＝x米，∵∠MEF＝45°，BE＝AD＝3.5，∴EF＝x，BF＝x+4.5，在Rt△MBF中，tan∠MBF＝，即，解得：x＝6.5，經檢驗，x＝6.5是原方程的解，∴MN＝x+1.3≈8（米），答：電池板離地面的高度MN約為8米．【點評】本題考查的是解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，掌握銳角三角函數的定義是解題的關鍵．17．（10分）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，過點A作AF∥BC交BE的延長線于F，BF交AC于G（1）求證：EF＝EB；（2）若∠BAC＝90°，試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結論．【答案】（1）證明見解析；（2）四邊形ADCF是菱形，理由見解析．【分析】（1）由“AAS”證得△AEF≌△DEB，即可得出結論；（2）先證明四邊形ADCF是平行四邊形，再證明鄰邊相等，即可得出結論．【解答】（1）證明：∵點E是AD的中點，∴AE＝DE，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，在△AEF和△DEB中，，∴△AEF≌△DEB（AAS），∴EF＝EB；（2）解：四邊形ADCF是菱形，理由如下：∵△AEF≌△DEB，∴AF＝BD，∵AD是BC邊上的中線，∴BD＝DC，∴AF＝DC，又AF∥BC，∴四邊形ADCF是平行四邊形，∵∠BAC＝90°，AD是BC邊上的中線，∴AD＝DC，∴四邊形ADCF是菱形；【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質，平行線的性質、直角三角形的性質、平行四邊形的判定、菱形的判定等知識，熟練掌握全等三角形的判定與性質和菱形的判定是解題的關鍵．18．（10分）如圖，已知一次函數y＝kx+1與反比例函數y＝的圖象相交于A，且A（﹣2，3），過點B作BC⊥x軸于點C，連接AC．（1）求一次函數和反比例函數的解析式，以及B點的坐標；（2）將△ABC沿x軸向左平移，對應得△A′B′C′，當反比例函數圖象經過A′C′的中點M時；（3）在第二象限內A點上方的雙曲線上求一點P，使得tan∠PCA＝．【答案】（1）一次函數解析式為y＝﹣x+1，反比例函數的解析式為y＝﹣，點B（3，﹣2）；（2）；（3）點P（，）．【分析】（1）利用待定系數法可求解析式，聯立方程組可求解；（2）由平移的性質可得A'C'的中點M的縱坐標為，A'C'∥AC，可求點M坐標，由三角形的面積公式可求解；（3）由勾股定理可求點E坐標，利用待定系數法可求直線CE的解析式，聯立方程組可求解．【解答】解：（1）∵一次函數y＝kx+1與反比例函數y＝的圖象相交于A（﹣2，∴6＝﹣2k+1，b＝﹣4×3＝﹣6，∴k＝﹣4，∴一次函數解析式為y＝﹣x+1，反比例函數的解析式為y＝﹣，∴﹣x+6＝﹣，∴x1＝﹣5，x2＝3，∴點B（4，﹣2）；（2）如圖，連接AC'，∵BC⊥x軸，∴點C（3，8），∵點A（﹣2，3），∴AC的中點坐標為（，），∵將△ABC沿x軸向左平移，對應得△A'B'C'，∴A'C'的中點M的縱坐標為，A'C'∥AC，∴M（﹣8，），∴平移距離為個單位長度，∴S△MAC＝S△ACC'＝×6×＝；（3）如圖，過點A作AH⊥x軸于H，作∠ACE＝∠ACH，交雙曲線于點P，∵點A（﹣2，3），8），∴AH＝3，CH＝5，∴tan∠ACH＝＝，∵∠ACE＝∠ACH，∴tan∠PCA＝，即點P為所求，∵四邊形AHCG是矩形，∴AG＝CH＝5，AH＝CG＝3，∵AG∥CH，∴∠GAC＝∠ACH＝∠ACE，∴AE＝EC，∵CE8＝EG2+CG2，∴AE4＝（5﹣AE）2+3，∴AE＝3.4，∴點E（，3），設直線CE的解析式為：y＝kx+b，∴，∴，∴直線CE的解析式為：y＝﹣x+，聯立方程組可得：，∴x＝，∵點P在第二象限，∴點P（，）．【點評】本題是反比例函數的綜合題，考查待定系數法求解析式，矩形的判定和性質，解直角三角形等，本題綜合性較強，難度較大．四、填空題（每小題4分，共20分）19．（4分）已知a，b是方程x2+3x﹣5＝0的兩個實數根，則a2﹣3b+2008的值是2022．【答案】2022．【分析】利用一元二次方程的解及根與系數的關系，可得出a2+3a＝5，a+b＝﹣3，再將其代入a2﹣3b+2008＝（a2+3a）﹣3（a+b）+2008中，即可求出結論．【解答】解：∵a是方程x2+3x﹣2＝0的兩個實數根，∴a2+7a﹣5＝0，∴a7+3a＝5．∵a，b是方程x7+3x﹣5＝8的兩個實數根，∴a+b＝﹣3，∴a2﹣5b+2008＝（a2+3a）﹣6（a+b）+2008＝5﹣3×（﹣8）+2008＝2022．故答案為：2022．【點評】本題考查了根與系數的關系以及一元二次方程的解，利用一元二次方程的解及根與系數的關系，找出a2+3a＝5，a+b＝﹣3是解題的關鍵．20．（4分）已知關于x的一元二次方程x2+bx+c＝0，從﹣1，2，3三個數中任取一個數，再從剩下的兩個數中任取一個數作為方程中c的值，能使該一元二次方程有實數根的概率是．【答案】見試題解答內容【分析】先利用樹狀圖展示所有6種等可能的結果數，再根據判別式的意義得到當b＝2，c＝﹣1；b＝3，c＝﹣1；b＝3，c＝2時，該一元二次方程有實數根，然后根據概率公式計算．【解答】解：畫樹狀圖為：，共有6種等可能的結果數，因為b2﹣8c≥0，所以能使該一元二次方程有實數根占3種，b＝3，c＝﹣1；b＝3，c＝﹣5；b＝3，c＝2，所以能使該一元二次方程有實數根的概率＝＝．故答案為：．【點評】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有可能的結果求出n，再從中選出符合事件A或B的結果數目m，求出概率．也考查了根的判別式．21．（4分）符合黃金分割比例形式的圖形很容易使人產生視覺上的美感．如圖所示的五角星中，AD＝BC，且C、D兩點都是AB的黃金分割點，則AB的長是2+．【答案】+2．【分析】利用黃金分割的定義得到AC＝AB，BD＝AB，則AC+BD＝（﹣1）AB，即可解決問題．【解答】解：∵C、D兩點都是AB的黃金分割點，∴AC＝ABAB，∴AC+BD＝（﹣1）AB，即AB+CD＝（﹣1）AB，∴AB＝+7，故答案為：+2．【點評】本題考查了黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項（即AB：AC＝AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點．其中AC＝AB≈0.618AB，并且線段AB的黃金分割點有兩個．22．（4分）如圖，M為雙曲線y＝（x＞0）上的一點，分別交直線y＝﹣x+m于點D、C兩點．若直線y＝﹣x+m與y軸交于點A，與x軸交于點B6．【答案】6．【分析】過點M作x軸、y軸的垂線，垂足分別為G、H，作DE⊥y軸于E，CF⊥x軸于F，先證明△OAB為等腰直角三角形，則判斷△AED和△BCF都為等腰直角三角形，所以AD＝DE，BC＝CF，則AD?BC＝2DE?CF，設M（x，y），利用反比例函數圖象上點的坐標特征得到xy＝3，從而得到AD?BC的值．【解答】解：如圖，過點M作x軸，垂足分別為G、H，CF⊥x軸于F，當x＝0時，y＝﹣x+m＝m，m），當y＝0時，﹣x+m＝4，則B（m，∵OA＝OB＝m，∴△OAB為等腰直角三角形，易得△AED和△BCF都為等腰直角三角形，∴AD＝DECF，∴AD?BC＝7DE?CF，設M（x，y），∴DE＝MH＝x，CF＝MG＝y(tǒng)，∴AD?BC＝2xy＝2×5＝6．故答案為：6．【點評】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征：反比例函數y＝（k為常數，k≠0）的圖象是雙曲線，圖象上的點（x，y）的橫縱坐標的積是定值k，即xy＝k．23．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，點D為AC邊上一個動點，則AE的最小值是6﹣2，此時CD的長為2﹣2．【答案】6﹣2；2﹣2．【分析】作EM⊥AC于M，證明Rt△BDC≌Rt△DEM，可得BC＝DM＝4，CD＝DM，設CD＝x，在Rt△ABC中，AM＝AC﹣DM﹣CD＝4﹣4﹣x；在Rt△ADE中，AE2＝AM2+EM2＝（4﹣4﹣x）2+x2，根據二次函數的性質求最值即可．【解答】解：作EM⊥AC于M，∴∠DEM+∠MDE＝90°，在正方形BDEF中，∴∠BDF＝90°，DB＝DE，∴∠BDE+∠MDF＝90°，∴∠DEM＝∠BDC，∴Rt△BDC≌Rt△DEM（AAS），∴BC＝DM＝4，CD＝DM，設CD＝x，則DM＝x，∵Rt△ABC中，BC＝4，由勾股定理得：AC＝＝4，∴AM＝AC﹣DM﹣CD＝4﹣7﹣x，∴在Rt△ADE中，根據勾股定理可得：AE2＝AM2+EM3＝（4﹣2﹣x）2+x2，即AE8＝（4﹣3﹣x）2+x2，＝5x2﹣2（2﹣4）x+（32＝8（x﹣2+7）2﹣（2﹣2）2+（8﹣4）4當x＝2﹣4時2取最小值為：﹣（2﹣2）2+（5﹣4）4＝12（﹣1）2，即AE的最小值為＝2（．【點評】本題考查正方形的性質、全等三角形的判定和性質、勾股定理的應用，屬于綜合題，一定要理解題意，搞清楚數量關系．二、解答題（3個小題，共30分）24．（8分）直播購物逐漸走進了人們的生活．某電商在抖音上對一款成本價為40元/件的小商品進行直播銷售，如果按每件60元銷售，那么每天可賣出20件．通過市場調查發(fā)現，日銷售量增加10件．（1）若日利潤保持不變，商家想盡快銷售完該款商品，每件售價應定為多少元？（2）小明的線下實體商店也銷售同款小商品，標價為每件62.5元．為提高市場競爭力，促進線下銷售，使其銷售價格不超過（1）中所求的售價八折銷售．【答案】（1）50元；（2）八．【分析】（1）設每件售價應定為x元，則每件的銷售利潤為（x﹣40）元，每天可售出（140﹣2x）件，利用總利潤＝每件的銷售利潤×每天的銷售量，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出結論；（2）設該商品打y折銷售，利用售價＝原價×折扣率，結合售價不超過50元，即可得出關于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出結論．【解答】解：（1）設每件售價應定為x元，則每件的銷售利潤為（x﹣40）元＝（140﹣2x）件，依題意得：（x﹣40）（140﹣6x）＝（60﹣40）×20，整理得：x2﹣110x+3000＝0，解得：x4＝50，x2＝60，又∵商家想盡快銷售完該款商品，∴x＝50．答：每件售價應定為50元．（2）設該商品打y折銷售，依題意得：62.5×≤50，解得：y≤3，∴該商品至少需打八折銷售．故答案為：八．【點評】本題考查了一元二次方程的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出一元二次方程；（2）根據各數量之間的關系，正確列出一元一次不等式．25．（10分）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E，AD上，且∠ECF＝45°，CE的延長線交DA的延長線于點H，連接AC，GH．（1）填空：∠AHC＝∠ACG；（填“＞”或“＜”或“＝”）（2）線段AC，AG，AH什么關系？請說明理由；（3）當△CGH是等腰三角形時，求AE的長．【答案】（1）＝；（2）AC2＝AG?AH，理由見解答；（3）2或或．【分析】（1）由正方形的性質可證明∠DAC＝45°，則∠AHC＝∠ACG＝45°﹣∠ACH；（2）由∠AHC＝∠ACG，∠HAC＝∠CAG＝135°，可判定△AHC∽△ACG，列比例式再通過變形可得AC2＝AG?AH；（3）分三種情況，當GH＝HC時，可通過證明△GAH≌△HDC，推出AH＝BC，得AE＝AB；當GH＝CG時，可通過證明△GAH∽△CBG，推出AG＝DC＝4，再由AC2＝AG?AH，推出AH＝8，可得BE＝AE，求出此時AE的長；當CH＝CG時，設EF交AC于點L，先證明Rt△DHC≌Rt△BGC，推出AH＝AG，AE＝AF，AC垂直平分EF，再推出BE＝AE，可求出此時AE的長．【解答】解：（1）如圖1，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝CD＝AB＝CB＝4，∠D＝∠B＝90°，∴∠DAC＝∠DCA＝45°，∠BAC＝∠BCA＝45°，∴∠AHC＝∠DAC﹣∠ACH＝45°﹣∠ACH；∵∠ECF＝45°，∴∠ACG＝45°﹣∠ACH，∴∠AHC＝∠ACG，故答案為：＝．（2）AC6＝AG?AH，理由：如圖1，∵∠DAC＝∠BAC＝45°，∴∠HAC＝∠CAG＝135°，由（1）得，∠AHC＝∠ACG，∴△AHC∽△ACG，∴，∴AC2＝AG?AH．（3）如圖8，GH＝HC，∴∠CHG＝90°，∴∠AHG＝90°﹣∠CHD，∵∠DCH＝90°﹣∠CHD，∴∠AHG＝∠DCH；∵∠GAH＝∠DAB＝90°＝∠D，GH＝HC，∴△GAH≌△HDC（AAS），∴AH＝CD＝4＝BC；∵AH∥BC，∴△AHE∽△BCE，∴，∴AE＝BE＝AB＝；如圖2，GH＝CG，∴∠CGH＝90°，∴∠AGH＝90°﹣∠BGC，∵∠BCG＝90°﹣∠BGC，∴∠AGH＝∠BCG，∵∠GAH＝∠B＝90°，GH＝CG，∴△GAH∽△CBG（AAS），∴AG＝BC＝4，由（2）得，AG?AH＝AC7，∵AC2＝AD2+CD6＝42+32＝32，∴4AH＝32，∴AH＝8，∵AH∥BC，∴△AEH∽△BEC，∴＝6，∴BE＝AE，∴AE+AE＝AB＝4，∴AE＝；如圖3，CH＝CG，設EF交AC于點L，∵∠D＝∠B＝90°，DC＝BC，∴Rt△DHC≌Rt△BGC（HL），∴∠AHE＝∠AGF，∴∠AHG＝∠AGH，∴AH＝AG，∵∠EAH＝∠FAG＝180°﹣∠BAD＝90°，∴△AHE≌△AGF（ASA），∴AE＝AF，∵∠EAC＝∠FAC＝45°，∴AC垂直平分EF，∴CE＝CF，∴∠ECL＝∠FCL＝∠ECF＝22.5°，