第51講 直線與平面、平面與平面垂直高考數(shù)學一輪復習 導學案 精講專研（新高考）

第51講直線與平面、平面與平面垂直知識梳理1.直線與平面垂直(1)定義如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，則直線l與平面α互相垂直，記作l⊥α，直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面．(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直性質(zhì)定理垂直于同一個平面的兩條直線平行2.直線和平面所成的角(1)定義平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角．若一條直線垂直于平面，它們所成的角是直角，若一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，它們所成的角是的角．(2)范圍：3.平面與平面垂直(1)二面角的有關概念①二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角；②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一點，以該點為垂足，在兩個半平面內(nèi)分別作的兩條射線，這兩條射線所構成的角叫做二面角的平面角．(2)平面和平面垂直的定義兩個平面相交，如果它們所成的二面角是，就說這兩個平面互相垂直．(3)平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直文字語言圖形語言符號語言性質(zhì)定理兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直1、【2022年全國乙卷】在正方體ABCD?A1B1C1D1中，A．平面B1EF⊥平面BDD1 C．平面B1EF//平面A1AC 2、【2021年新高考2卷】如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點，M，N為正方體的頂點．則滿足的是（

）A． B．C． D．3、【2021年新高考1卷】在正三棱柱中，，點滿足，其中，，則（

）A．當時，的周長為定值B．當時，三棱錐的體積為定值C．當時，有且僅有一個點，使得D．當時，有且僅有一個點，使得平面4、【2022年全國甲卷】在四棱錐P?ABCD中，PD⊥底面ABCD,CD∥AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=3．(1)證明：BD⊥PA；5、【2022年全國乙卷】如圖，四面體ABCD中，AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC，E為AC的中點．(1)證明：平面BED⊥平面ACD；1、(2022·哈爾濱模擬)設m，n是兩條不同的直線，α是平面，m，n不在α內(nèi)，下列結論中錯誤的是()A．m⊥α，n∥α，則m⊥nB．m⊥α，n⊥α，則m∥nC．m⊥α，m⊥n，則n∥αD．m⊥n，n∥α，則m⊥α2、已知m，l是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列可以推出α⊥β的是()A．m⊥l，m?β，l⊥αB．m⊥l，α∩β＝l，m?αC．m∥l，m⊥α，l⊥βD．l⊥α，m∥l，m∥β3、.如圖，在正四面體P－ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點，下面四個結論不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAED．平面PDE⊥平面ABC4、如圖所示，AB是半圓O的直徑，VA垂直于半圓O所在的平面，點C是圓周上不同于A，B的任意一點，M，N分別為VA，VC的中點，則下列結論正確的是()A．MN∥ABB．平面VAC⊥平面VBCC．MN與BC所成的角為45°D．OC⊥平面VAC5、如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當點M滿足________時，平面MBD⊥平面PCD．(只要填寫一個你認為是正確的條件即可)考向一線面垂直的判定與性質(zhì)例1、如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點．求證：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE．變式1、如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD＝AD，E是PB的中點，F(xiàn)是DC上的點，且DF＝eq\f(1,2)AB，PH為△PAD中AD邊上的高．求證：(1)PH⊥平面ABCD；(2)EF⊥平面PAB.變式2、如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.設AB1的中點為D，B1C∩BC1＝E，連接DE.求證：(1)DE∥平面AA1C1C；(2)BC1⊥AB1.方法總結；1.證明直線和平面垂直的常用方法有：(1)判定定理；(2)垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；(3)面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β)；(4)面面垂直的性質(zhì)(α⊥β，α∩β＝a，l⊥a，l?β?l⊥α).2.證明線面垂直的核心是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì).因此，判定定理與性質(zhì)定理的合理轉化是證明線面垂直的基本思想.考向二面面垂直的判定與性質(zhì)例2、如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面為矩形，AB＝，BC＝1，E，F(xiàn)分別是AB，PC的中點，DE⊥PA.（1）求證：EF∥平面PAD；（2）求證：平面PAC⊥平面PDE.變式1、如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F(xiàn)，G，M，N分別為PB，AB，BC，PD，PC的中點．求證：(1)CE∥平面PAD；(2)平面EFG⊥平面EMN.方法總結：(1)判定兩個平面垂直的方法：①利用定義：證明二面角是直二面角；②利用判定定理：a?α，a⊥β?α⊥β.(2)面面垂直的證明，一般轉化為證線面垂直，而線面垂直的證明，往往需多次利用線面垂直判定與性質(zhì)定理，而線線垂直的證明有時需要利用平面解析幾何條件．考向三平行與垂直的探索性問題例3如圖所示，平面ABCD⊥平面BCE，四邊形ABCD為矩形，BC＝CE，點F為CE的中點．(1)證明：AE∥平面BDF；(2)點M為CD上任意一點，在線段AE上是否存在點P，使得PM⊥BE？若存在，確定點P的位置，并加以證明；若不存在，請說明理由．變式、如圖，在三棱臺ABC-DEF中，CF⊥平面DEF，AB⊥BC.(1)設平面ACE∩平面DEF＝a，求證：DF∥a；(2)若EF＝CF＝2BC，試問在線段BE上是否存在點G，使得平面DFG⊥平面CDE？若存在，請確定點G的位置；若不存在，請說明理由．方法總結：平行與垂直中探索性問題的主要途徑：①先猜后證，即先觀察與嘗試給出條件再證明；②先通過命題成立的必要條件探索出命題成立的條件，再證明充分性．(2)涉及點的位置探索性問題一般是先根據(jù)條件猜測點的位置再給出證明，探索點存在問題，點多為中點或三等分點中某一個，也可以根據(jù)相似知識建點．1、（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）在下列命題中，假命題是（）A．若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的任一直線，則α⊥βB．若平面α內(nèi)任一直線平行于平面β，則α∥βC．若平面α⊥平面β，任取直線lα，則必有l(wèi)⊥βD．若平面α∥平面β，任取直線lα，則必有l(wèi)∥β2、（2022·江蘇如東·高三期末）（多選題）已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則（）A．若m//n，nα，則m//α B．若m⊥n，nα，則m⊥αC．若m⊥α，n⊥α，則m//n D．若m//α，m//β，α∩β＝n，則m//n3、（2022·江蘇常州·高三期末）（多選題）已知正方體的棱長為，點是棱上的定點，且．點是棱上的動點，則（）A．當時，是直角三角形B．四棱錐的體積最小值為C．存在點，使得直線平面D．任意點，都有直線平面4、（2022·山東萊西·高三期末）