浙江省杭州五校2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高二上期末綜合測試試題含解析

浙江省杭州五校2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高二上期末綜合測試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知是雙曲線：的右焦點，是坐標(biāo)原點，過作的一條漸近線的垂線，垂足為，并交軸于點．若，則的離心率為（）A. B.C.2 D.2．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則下列判斷正確的是（）A.在區(qū)間上，函數(shù)增函數(shù) B.在區(qū)間上，函數(shù)是減函數(shù)C.為函數(shù)的極小值點 D.2為函數(shù)的極大值點3．下列命題中正確的個數(shù)為（）①若向量，與空間任意向量都不能構(gòu)成基底，則；②若向量，，是空間一組基底，則，，也是空間的一組基底；③為空間一組基底，若，則；④對于任意非零空間向量，，若，則A.1 B.2C.3 D.44．變量，之間的一組相關(guān)數(shù)據(jù)如表所示：若，之間的線性回歸方程為，則的值為（）45678.27.86.65.4A. B.C. D.5．有關(guān)橢圓敘述錯誤的是（）A.長軸長等于4 B.短軸長等于4C.離心率為 D.的取值范圍是6．已知直線交圓于A，B兩點，若點滿足，則直線l被圓C截得線段的長是（）A.3 B.2C. D.47．函數(shù)在上的最大值是A. B.C. D.8．在中，、、所對的邊分別為、、，若，，，則（）A. B.C. D.9．設(shè)雙曲線的左、右頂點分別為、，點在雙曲線上第一象限內(nèi)的點，若的三個內(nèi)角分別為、、且，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.10．函數(shù)的定義域為，，對任意，，則的解集為（）A. B.C. D.11．（2017新課標(biāo)全國卷Ⅲ文科）已知橢圓C：的左、右頂點分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線相切，則C的離心率為A. B.C. D.12．在等比數(shù)列中，，則的公比為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線的焦點為，過焦點的直線交拋物線與兩點，且，則拋物線的準(zhǔn)線方程為________.14．已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，其前項和滿足，則__________；記表示不超過的最大整數(shù)，例如，若，設(shè)的前項和為，則__________15．設(shè)有下列命題：①當(dāng)，時，不等式恒成立；②函數(shù)在上的最小值為2；③函數(shù)在上的最大值為；④若，，且，則的最小值為其中真命題為________________．（填寫所有真命題的序號）16．若存在實常數(shù)k和b，使得函數(shù)F（x）和G（x）對其公共定義域上的任意實數(shù)x都滿足：F（x）≥kx+b和G（x）≤kx+b恒成立，則稱此直線y＝kx+b為F（x）和G（x）的“隔離直線”，已知函數(shù)f（x）＝x2（x∈R），g（x）（x＜0），h（x）＝2elnx，有下列命題：①F（x）＝f（x）﹣g（x）內(nèi)單調(diào)遞增；②f（x）和g（x）之間存在“隔離直線”，且b的最小值為﹣4；③f（x）和g（x）之間存在“隔離直線”，且k的取值范圍是（﹣4，0]；④f（x）和h（x）之間存在唯一的“隔離直線”y＝2x﹣e其中真命題為_____（請?zhí)钏姓_命題的序號）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知直線與圓.（1）當(dāng)直線l恰好平分圓C的周長時，求m的值；（2）當(dāng)直線l被圓C截得的弦長為時，求m的值.18．（12分）已知圓C經(jīng)過，，三點，并且與y軸交于P，Q兩點，求線段PQ的長度.19．（12分）已知p：關(guān)于x的方程至多有一個實數(shù)解，.（1）若命題p為真命題，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若p是q的充分不必要條件，求實數(shù)m的取值范圍.20．（12分）已知圓的圓心在直線上，且圓與軸相切于點（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與圓相交于，兩點，求的面積21．（12分）三棱錐各棱長為2，E為AC邊上中點（1）證明：面BDE；（2）求二面角的正弦值22．（10分）已知等比數(shù)列的前項和為，，．?dāng)?shù)列的前項和為，且，（1）分別求數(shù)列和的通項公式；（2）若，為數(shù)列的前項和，是否存在不同的正整數(shù)，，（其中，，成等差數(shù)列），使得，，成等比數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的，，的值；若不存在，說明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】由條件建立a，b，c的關(guān)系，由此可求離心率的值.【詳解】設(shè)，則，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴離心率，故選：A.2、D【解析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系可求解.【詳解】對于A，在區(qū)間，，故A不正確；對于B，在區(qū)間，，故B不正確；對于C、D，由圖可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，所以為函數(shù)的極大值點，故C不正確，D正確.故選：D3、C【解析】根據(jù)題意、空間向量基底的概念和共線的運算即可判斷命題①②③，根據(jù)空間向量的平行關(guān)系即可判斷命題④.【詳解】①：向量與空間任意向量都不能構(gòu)成一個基底，則與共線或與其中有一個為零向量，所以，故①正確；②：由向量是空間一組基底，則空間中任意一個向量，存在唯一的實數(shù)組使得，所以也是空間一組基底，故②正確；③：由為空間一組基底，若，則，所以，故③正確；④：對于任意非零空間向量，，若，則存在一個實數(shù)使得，有，又中可以有為0的，分式?jīng)]有意義，故④錯誤.故選：C4、C【解析】本題先求樣本點中心，再利用線性回歸方程過樣本點中心直接求解即可.【詳解】解：，，所以樣本點中心：，線性回歸方程過樣本點中心，則解得：，故選：C【點睛】本題考查線性回歸方程過樣本點中心，是簡單題.5、A【解析】根據(jù)題意求出，進而根據(jù)橢圓的性質(zhì)求得答案.【詳解】橢圓方程化為：，則，則長軸長為8，短軸長為4，離心率，x的取值范圍是.即A錯誤，B,C,D正確.故選：A.6、B【解析】由題設(shè)知為圓的圓心且A、B在圓上，根據(jù)已知及向量數(shù)量積的定義求的大小，進而判斷△的形狀，即可得直線l被圓C截得線段的長.【詳解】∵點為圓的圓心且A、B在圓上，又，∴，∴，又，∴，故△為等邊三角形，∴直線l被圓C截得線段的長是2故選：B7、D【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出的最大值即可【詳解】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)令可得，可得上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，函數(shù)在上的最大值是故選D【點睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，是一道中檔題8、B【解析】利用正弦定理，以及大邊對大角，結(jié)合正弦定理，即可求得.【詳解】根據(jù)題意，由正弦定理，可得：，解得，故可得或，由，可得，故故選：B.9、B【解析】設(shè)點，其中，，求得，且有，，利用兩角和的正切公式可求得的值，進而可求得的值，即可得出該雙曲線的漸近線的方程.【詳解】易知點、，設(shè)點，其中，，且，，且，，，所以，，，因為，所以，，則，因此，該雙曲線漸近線方程為.故選：B.10、B【解析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)在上的單調(diào)性，將不等式轉(zhuǎn)化為，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】依題意可設(shè)，所以.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又因為.所以要使，即，只需要，故選B.【點睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式，解題的關(guān)鍵就是利用導(dǎo)數(shù)不等式的結(jié)構(gòu)構(gòu)造新函數(shù)來解，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.11、A【解析】以線段為直徑的圓的圓心為坐標(biāo)原點，半徑為，圓的方程為，直線與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即，整理可得，即即，從而，則橢圓的離心率，故選A.【名師點睛】解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及取值范圍問題，其關(guān)鍵就是確立一個關(guān)于的方程或不等式，再根據(jù)的關(guān)系消掉得到的關(guān)系式，而建立關(guān)于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點的坐標(biāo)的范圍等.12、D【解析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)把方程都變成和有關(guān)的式子后進行求解.【詳解】由等比數(shù)列的等比中項性質(zhì)可得，又，所以，因，所以，所以,故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)題意作出圖形，設(shè)直線與軸的夾角為，不妨設(shè)，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點為，過點作準(zhǔn)線與軸的垂線，垂足分別為，過點分別作準(zhǔn)線和軸的垂線，垂足分別為，進一步可以得到，進而求出，同理求出，最后解得答案.【詳解】設(shè)直線與軸的夾角為，根據(jù)拋物線的對稱性，不妨設(shè)，如圖所示.設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點為，過點作準(zhǔn)線與軸的垂線，垂足分別為，過點分別作準(zhǔn)線和軸的垂線，垂足分別為.由拋物線的定義可知，，同理：,于是，，則拋物線的準(zhǔn)線方程為：.故答案為：.14、①.；②.60.【解析】先根據(jù)并結(jié)合等差數(shù)列的定義求出；然后討論n的取值范圍，討論出分別取1,2,3,4,5的情況，進而求出.【詳解】由題意，，n=1時，，滿足，時，，于是，，因為，所以.所以，是1為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以.若，即時，，若，則時，，若，則時，，若，則時，，若，則或22時，，于是，.故答案為：2n-1；60.15、①③④【解析】①直接利用基本不等式判斷即可；②直接利用基本不等式以及等號成立的條件判斷即可；③分子、分母同除，利用基本不等式即可判斷；④設(shè)，，利用指、對互化以及基本不等式即可判斷.【詳解】由于，，故恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以①正確；，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，由于，所以②不正確；因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，而，即函數(shù)的最大值為，所以③正確；設(shè)，，則，，，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時取等號，故的最小值為，所以④正確.故答案為：①③④【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.16、①②④【解析】①求出F（x）＝f（x）﹣g（x）的導(dǎo)數(shù)，檢驗在x∈（，0）內(nèi)的導(dǎo)數(shù)符號，即可判斷；②、③設(shè)f（x）、g（x）的隔離直線為y＝kx+b，x2≥kx+b對一切實數(shù)x成立，即有△1≤0，又kx+b對一切x＜0成立，△2≤0，k≤0，b≤0，根據(jù)不等式的性質(zhì)，求出k，b的范圍，即可判斷②③；④存在f（x）和g（x）的隔離直線，那么該直線過這個公共點，設(shè)隔離直線的斜率為k．則隔離直線，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值【解答】解：①∵F（x）＝f（x）﹣g（x）＝x2，∴x∈（，0），F(xiàn)′（x）＝2x0，∴F（x）＝f（x）﹣g（x）在x∈（，0）內(nèi)單調(diào)遞增，故①對；②、③設(shè)f（x）、g（x）的隔離直線為y＝kx+b，則x2≥kx+b對一切實數(shù)x成立，即有△1≤0，k2+4b≤0，又kx+b對一切x＜0成立，則kx2+bx﹣1≤0，即△2≤0，b2+4k≤0，k≤0，b≤0，即有k2≤﹣4b且b2≤﹣4k，k4≤16b2≤﹣64k?﹣4≤k≤0，同理?﹣4≤b≤0，故②對，③錯；④函數(shù)f（x）和h（x）的圖象在x處有公共點，因此存在f（x）和g（x）的隔離直線，那么該直線過這個公共點，設(shè)隔離直線的斜率為k．則隔離直線方程為y﹣e＝k（x），即y＝kx﹣ke，由f（x）≥kx﹣ke（x∈R），可得x2﹣kx+ke≥0當(dāng)x∈R恒成立，則△≤0，只有k＝2，此時直線方程為：y＝2x﹣e，下面證明h（x）≤2x﹣e，令G（x）＝2x﹣e﹣h（x）＝2x﹣e﹣2elnx，G′（x），當(dāng)x時，G′（x）＝0，當(dāng)0＜x時，G′（x）＜0，當(dāng)x時，G′（x）＞0，則當(dāng)x時，G（x）取到極小值，極小值是0，也是最小值所以G（x）＝2x﹣e﹣g（x）≥0，則g（x）≤2x﹣e，當(dāng)x＞0時恒成立∴函數(shù)f（x）和g（x）存在唯一的隔離直線y＝2x﹣e，故④正確故答案為：①②④【點睛】本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查新定義，關(guān)鍵是對新定義的理解，考查函數(shù)的求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求最值，屬于難題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）1.【解析】(1)將圓C的圓心坐標(biāo)代入直線l的方程計算作答.(2)由給定條件求出圓心C到直線l的距離，再利用點到直線距離公式計算作答.【小問1詳解】圓的圓心，半徑，因直線l平分圓C的周長，則直線l過圓心，即，解得，所以m的值是.【小問2詳解】由(1)知，圓C的圓心，半徑，因直線l被圓C截得的弦長為，則有圓心C到直線l的距離，因此，，解得，所以m的值是1.18、【解析】設(shè)圓的方程為，代入點的坐標(biāo)，求出，，，令，即可得出結(jié)論【詳解】解：設(shè)圓的方程為，則，，，，，即,令，可得，解得、，所以、，或、，，19、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)命題p為真命題，可得，解之即可得解；（2）若p是q的充分不必要條件，則，列出不等式組，解之即可得出答案.【小問1詳解】解：命題p：關(guān)于x的方程至多有一個實數(shù)解，∴，解得，∴實數(shù)a的取值范圍是；【小問2詳解】解：命題，∵p是q的充分不必要條件，∴，∴，且兩式等號不能同時取得，解得，∴實數(shù)m的取值范圍是.20、（1）（2）4【解析】（1）由已知設(shè)圓心，再由相切求圓半徑從而得解.（2）求弦長，再求點到直線的距離，進而可得解.【小問1詳解】因為圓心在直線上，所以設(shè)圓心，又圓與軸相切于點，所以，即圓與軸相切，則圓的半徑，于是圓的方程為【小問2詳解】圓心到直線的距離，則，又到直線的距離為，所以.21、（1）證明見解析（2）【解析】(1)根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明；(2)建立如圖所示坐標(biāo)系，則，易知平面BCD的法向量，利用空間向量法求出面BDE的法向量，結(jié)合向量的數(shù)量積計算即可得出結(jié)果.【小問1詳解】正四面體中各面分別是正三角形，E為AC邊上中點，，又平面，且，所以面BDE【小問2詳解】建立如圖所示坐標(biāo)系，于是，，，，，易知平面BCD的法向量設(shè)面BD