專題13.3.113.4等腰三角形與最短路徑問題（4大熱點115題）簡單數(shù)學之八年級上一點三練（人教版）（原卷版）

第十三章軸對稱專題等腰三角形與最短路徑問題知識點回顧知識點回顧1、等腰三角形的性質(zhì)：=1\*GB3①等腰三角形的兩個底角相等（“等邊對等角”）；=2\*GB3②等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合；2、等腰三角形是軸對稱圖形，三線合一所在直線是其對稱軸；（只有1條對稱軸）等腰三角形的判定：=1\*GB3①如果一個三角形有兩條邊相等；=2\*GB3②如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等；（等角對等邊）3、等邊三角形：三條邊都相等的三角形；（等邊三角形是特殊的等腰三角形）等邊三角形的性質(zhì)：=1\*GB3①等邊三角形的三個內(nèi)角都是60?=2\*GB3②等邊三角形的每條邊都存在三線合一；4、等邊三角形是軸對稱圖形，對稱軸是三線合一所在直線；（有3條對稱軸）5、等邊三角形的判定：=1\*GB3①三條邊都相等的三角形是等邊三角形；=2\*GB3②三個角都相等的三角形是等邊三角形；=3\*GB3③有一個角是60?的等腰三角形是等邊三角形；6、在直角三角形中，如果一個銳角等于30?，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；7、最短路徑的選擇

=1\*GB3①當兩點在某一條直線的兩側(cè)時,這兩點的最短距離就是連接這兩點的線段與直線的交點就是最短路徑的點.=2\*GB3②當兩點在某條直線的同側(cè)時,這兩點到直線上某一點的最短距離的作法:作任意一個點關于這條直線的對稱點,然后再連接對稱點與另一點之間的線段,與直線的交點就是最短距離的點的位置.注意：在解決最短路徑的問題時,我們通常利用平移、軸對稱等變化把已知問題轉(zhuǎn)化成容易解決的問題,從而作出最短路徑的選擇.熱點訓練熱點訓練熱點一：等腰三角形的性質(zhì)1練基礎1．（2023·黑龍江齊齊哈爾·模擬預測）如圖，已知三角形紙片，，，將其折疊，如圖，使點與點重合，折痕為，點，分別在，上，那么的度數(shù)為（

）A． B． C． D．2．（2023·安徽滁州·?？家荒＃┤鐖D，中，于點D，若，則有（

）A． B． C． D．3．（2023·海南儋州·海南華僑中學校聯(lián)考模擬預測）如圖，等腰直角三角形的直角頂點A落在矩形紙片的一邊上，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．4．（2023·河北滄州·校考模擬預測）在證明等腰三角形的性質(zhì)定理：“等腰三角形的兩底角相等”時，李老師在黑板上出示了“已知，在中，，求證：．甲同學做法：“作的平分線，利用“”證明，則”；乙同學做法：“作邊上的高，利用“”證明，則”；丙同學做法：“作邊上的中線，利用“”證明，則”；下列說法正確的是(

)A．甲、乙、丙做法都對 B．甲、乙、丙做法都不對C．只有乙做法不對 D．只有丙做法不對5．（2023春·河南南陽·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，的外角，為邊上一點，分別以、所在直線為對稱軸，作點的對稱點、，連接、．則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．6．（2023秋·黑龍江大慶·八年級校聯(lián)考開學考試）如圖，為了讓電線桿垂直于地面，工程人員的操作方法是：從電線桿上一點往地面拉兩條長度相等的固定繩和，當固定點、到腳桿的距離相等，點、、在同一直線上時，電線桿就垂直于，工程人員這種操作方法的依據(jù)是（

）A．等邊對等角 B．垂線段最短C．等腰三角形的三線合一 D．是的垂直平分線7．（2023秋·福建莆田·八年級校考開學考試）如圖，是等腰三角形底邊上的中線，平分，交于點E，，，則的面積是（

）A． B． C．8 D．68．（2023春·甘肅張掖·七年級校聯(lián)考期末）高臺縣崇文樓始建2011年，取“崇文尚德·大運高臺”之意，總高米，由臺明、樓身和寶頂三部分組成．建這座樓的主要目的是為了延續(xù)高臺人杰地靈、源遠流長的文脈，在當今文化大發(fā)展時代，激勵莘莘學子努力學習、求學上進，將來回報和建設家鄉(xiāng)、建設祖國．如圖，“崇文樓”的頂端可看作等腰三角形，，D是邊上的一點．下列條件不能說明是的角平分線的是（

）A． B． C． D．9．（2023秋·河南濮陽·八年級?？计谀┤鐖D，在中，，是的中點，，則度．10．（2023春·四川達州·七年級校考期末）如圖，已知中，，為高，為中線，與相交于點O，若，，則的面積為．11．（2023春·福建寧德·七年級統(tǒng)考期末）請將下面的說理過程和理由補充完整．已知：如圖，在等腰中，，點D，E分別在，上，．試說明：．解：是等腰三角形，，（①）．，（等式的性質(zhì)）．即②．在和中，（④）．（⑤）．12．（2023秋·福建漳州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知是延長線上的點．(1)過點在射線右側(cè)作；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，若，求證：平分．2練鞏固13．（2023春·河北保定·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，為上一點，，垂足為，垂足為，下面結論：①；②；③，正確的是（

）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③14．（2023秋·河南開封·八年級?？计谀┤鐖D，在中，，．分別以點A，B為圓心，大于的長為半徑畫弧，交于D，E兩點，直線交于點F，連接．以點A為圓心，為半徑畫弧，交延長線于點G，連接．若的周長為12，則的長為（

）A．6 B． C．7 D．15．（2023春·浙江杭州·七年級統(tǒng)考期末）只用圓規(guī)來驗證紙片的兩邊是否平行的探究活動中，小明的方法是：在紙片的一邊上取線段，用圓規(guī)在另一邊上截取，使，如圖1．用圓規(guī)比較和的長度，若相同則平行．小剛的方法是：折疊紙條，使和重合，交于點F，折痕為和，如圖2．用圓規(guī)比較，，的長度，若，則平行．則正確的是（

）A．小明的方法正確，小剛的方法錯誤B．小明和小剛的方法都正確C．小明的方法錯誤，小剛的方法正確D．小明和小剛的方法都錯誤16．（2023春·四川成都·七年級?？计谥校┤鐖D，在等腰三角形與等腰三角形中，，連接交于點P，則的度數(shù)為°．17．（2023春·四川成都·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，分別以點A和點C為圓心，大于，兩弧相交于點M、N，作直線，交于點D，連接，則的度數(shù)為．18．（2023秋·廣西南寧·八年級南寧二中?？奸_學考試）如圖，在射線上分別截取，連接，在、上分別截取，連接，…按此規(guī)律作下去，若，則．19．（2023秋·重慶沙坪壩·八年級重慶南開中學?？奸_學考試）如圖，在等腰中，，點，，在同一直線上，，．(1)求證：；(2)連接，若，，求的度數(shù)．20．（2023秋·重慶沙坪壩·八年級重慶南開中學校考開學考試）如圖，在中，點，點分別在，上，連接，，且，，(1)尺規(guī)完成以下基本作圖：作的角平分線，交于點，交延長線于點（保留作圖痕跡，不寫作法，不寫結論）；(2)在（1）問的條件下，連接，求證：．請將下列證明過程補充完整．證明：∵平分，∴（①________）.∵，，∴②________，（等腰三角形三線合一），∴直線是的垂直平分線，∴③________（線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等），∴（等邊對等角）．∵，∴④________（兩直線平行，同位角相等），∴（等量代換）．21．（2023秋·陜西榆林·八年級?？奸_學考試）如圖，在中，，是邊上的中線，的垂直平分線分別交、、于點、、，連接，．(1)試說明：；(2)若，求的度數(shù)．22．（2023春·上海浦東新·七年級?？计谀┤鐖D，在中，點、、分別在邊、、上，，，垂足為點，．(1)說明的理由；(2)若，請說明的理由．23．（2023秋·黑龍江綏化·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，于點D，是的外角的平分線，(1)求證：；(2)若平分交于點N，判斷的形狀并說明理由.24．（2023秋·河南省直轄縣級單位·八年級校聯(lián)考期末）在中，點是邊上的兩點．(1)如圖1，若，．求證：；(2)如圖2，若，，設，．①猜想與的數(shù)量關系，并說明理由；②在①的條件下，，請直接寫出的度數(shù)．3練拔高25．（2023春·廣東深圳·七年級深圳實驗學校?？计谀┤鐖D，中，，，D是斜邊的中點，E是直角邊上一動點，連接交于F，過F作交的延長線于點G，交于點H，則下列結論：①；②；③；④，其中正確的是（

）A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④26．（2023秋·河北邢臺·八年級邢臺市第七中學校考期末）如圖所示，，點在上，且，按下列要求畫圖：以為圓心，為半徑向右畫弧交于點，連接，得第條線段；以圓心，為半徑向右畫弧交于點，連接，得第條線段；再以為圓心，為半徑向右畫弧交點，連接，得第條線段；……，這樣畫下去，直到得第條線段，之后就不能再畫出符合要求的線段了，則的值為(

)A．5 B．6 C．7 D．827．（2023秋·河北張家口·八年級統(tǒng)考期末）如圖，一鋼架中，，焊上等長的鋼條來加固鋼架，且，對于下列結論，判斷正確的是(

)結論Ⅰ：若，則；結論Ⅱ：若這樣的鋼條在鋼架上至多能焊上6根，那么的取值范圍是A．Ⅰ和Ⅱ都對 B．Ⅰ和Ⅱ都不對 C．Ⅰ不對Ⅱ?qū)?D．Ⅰ對Ⅱ不對28．（2023秋·重慶沙坪壩·八年級重慶南開中學?？奸_學考試）如圖，在中，，，平分，則．29．（2023春·黑龍江佳木斯·八年級校考期中）從一個等腰三角形的頂角引出的一條射線把這個等腰三角形分成兩個等腰三角形，則這個等腰三角形的頂角為．30．（2023秋·重慶巫溪·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，點，點分別在邊，上，，，若，則的度數(shù)為度．31．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，，，射線從射線開始繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)角，與射線相交于點D，將沿射線翻折至處，射線與射線相交于點E．若是等腰三角形，則的度數(shù)為．32．（2023秋·黑龍江大慶·八年級校聯(lián)考開學考試）如圖，在中，的垂直平分線交于，交于是直線上一動點，點為中點．若的面積是30，則的最小值為．33．（2023春·四川達州·八年級四川省渠縣中學?？计谀┤鐖D，等腰的底邊，面積為，是腰的垂直平分線，若點D在上運動，點F在上運動，的最小值是．34．（2023春·福建寧德·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在中，，分別為，邊的垂直平分線，連接，．(1)若，求的度數(shù)；(2)判斷與之間的數(shù)量關系，并說明理由．35．（2023春·廣東梅州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，點D在線段上運動（點D不與點B、C重合），連接，作，交線段于點E．(1)當時，______°，______°；(2)若，試說明；(3)在點D的運動過程中，的形狀可以是以為腰的等腰三角形嗎？若可以，求36．（2023春·山東東營·七年級統(tǒng)考期末）中，，在直線上，在直線上，，設度，度．(1)如圖當在線段上，在線段上，，，則______，______．(2)如圖當在線段上，在線段上求和之間的關系式；(3)如圖當在直線上，在直線上，和之間的關系式發(fā)生改變嗎？為什么？37．（2023春·寧夏銀川·七年級銀川唐徠回民中學?？计谀┤鐖D，在中，，．點D是直線上一動點（點D不與點B，C重合），，，連接．(1)如圖1，當點D在線段上時，若，則______；(2)如圖2，當點D在邊的延長線上時，與相等嗎？如果相等請說明理由；(3)如圖3，若點D在邊的延長線上，且點A，E分別在直線的兩側(cè)，其他條件不變，此時與有怎樣的位置關系？并說明理由．38．（2023春·全國·七年級期末）如圖①，已知點D在線段上，在和中，，，，，且M為的中點．(1)連接并延長交于N，寫出線段與的數(shù)量關系：；(2)寫出直線與的位置關系：；(3)將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使點E在線段的延長線上（如圖②所示位置），（2）中結論是否仍成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．熱點二：構造等腰三角形1練基礎39．（2023春·安徽宿州·八年級校考期中）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的頂點稱為格點，點A，B均在格點上．要在格點上確定一點C，連接和，使是以為頂角的等腰三角形，則網(wǎng)格中滿足條件的點C的個數(shù)是（

）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個40．（2023春·海南海口·八年級統(tǒng)考開學考試）如圖，線段、互相垂直平分，則圖中共有等腰三角形（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個41．（2023春·四川達州·八年級?？计谀┤鐖D，在正方形網(wǎng)格中，A、兩點是格點，如果點也是格點，且是等腰三角形，這樣的點有個．42．（2023春·廣東梅州·八年級?？奸_學考試）如圖，在ΔABC中，∠A=36°,AB=AC,BD平分∠ABC，則圖中等腰三角形的個數(shù)是43．（2023秋·吉林長春·八年級統(tǒng)考期末）在如圖所示的方格紙中，每個小正方形的邊長為1，點A、B在方格紙中小正方形的頂點上，每個小正方形的頂點叫做格點．(1)按下列要求畫圖：①以為腰作等腰，使得點C在格點上；②以為底作等腰，使得點D在格點上．(2)的面積是______44．（2023春·七年級單元測試）圖1，圖2，圖3均是邊長為1的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點，點A，B均在格點上．請只用無刻度的直尺按下列要求在網(wǎng)格中作圖，所作圖形的頂點均在格點上（保留痕跡，不要求寫作法）．(1)在圖1中以線段為腰作一個等腰銳角三角形；(2)在圖2中以線段為腰作一個等腰鈍角三角形；(3)在圖3中以線段為邊作一個四邊形，使其為軸對稱圖形．2練鞏固45．（2023秋·浙江溫州·八年級溫州市第十二中學?？奸_學考試）如圖，在中，，，點在的垂直平分線上，平分，則圖中等腰三角形的個數(shù)是()A．3 B．4 C．5 D．646．（2023春·山東菏澤·八年級校考階段練習）觀察下列尺規(guī)作圖的痕跡，不能判斷是等腰三角形的是（

）．A． B． C． D．47．（2023秋·八年級單元測試）如圖，已知線段AB和直線m，點A在直線m上，以AB為一邊作等腰ΔABC，且使點C在直線m上，這樣的等腰三角形的個數(shù)共有（

）A．5 B．4 C．3 D．248．（2023秋·云南昆明·八年級?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標系中，點A在第一象限，與x軸的夾角為，點P是x軸上動點，若以P，O，A為頂點的三角形是等腰三角形，則滿足條件的點P共有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．6個49．（2023秋·湖北鄂州·八年級統(tǒng)考期末）△ABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示，先將△ABC向右平移3個單位，再向下平移1個單位到△A1B1C1，△A1B1C1和△A2B2C2關于x軸對稱(1)畫出△A1B1C1和△A2B2C2；(2)在x軸上確定一點P，使BP+A1P的值最小，利用作圖畫出P的位置（保留作圖痕跡）；(3)點Q在坐標軸上且滿足△ACQ為等腰三角形，則這樣的Q點有個.50．（2023春·浙江寧波·八年級校聯(lián)考期末）僅利用已有的格點與無刻度直尺作圖，符合條件的點畫出一個即可．(1)在圖1中，標出格點P，連結，使平分．(2)在圖2中，標出格點Q，連結，使．51．（2023秋·河南鄭州·八年級?？计谀┤鐖D，方格紙中的每個小正方形的邊長均為1，點和點在小正方形的頂點上．(1)在網(wǎng)格中建立平面直角坐標系，使A點坐標為，B點坐標為；(2)在第二象限的格點上找一點C，使為等腰三角形，畫出三角形，并寫出點C的坐標．(3)畫出關于y軸對稱的三角形．3練拔高52．（2023秋·河北邢臺·八年級?？计谀╊}目：“如圖，已知，點，在邊上，，，是射線上的點，若使點，，構成等腰三角形的點恰好有3個，求的取值范圍?！睂τ谄浯鸢福状穑海掖穑海穑?，則正確的是（

）A．只有甲答的對 B．甲、丙答案合在一起才完整C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整53．（2023春·重慶江北·八年級重慶十八中校考期中）如圖，在矩形ABCD中，AD=4，點P是直線AD上一動點，若滿足△PBC是等腰三角形的點P有且只有3個，則AB的長為．54．（2023春·山西晉中·八年級統(tǒng)考期中）如圖，的點在直線上，，若點P在直線上運動，當成為等腰三角形時，則度數(shù)是．55．（2023春·廣東·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在正方形網(wǎng)格紙中，每個小正方形的邊長都是1，的三個頂點都在小正方形的頂點處，直線與網(wǎng)格中豎直的線互相重合．(1)的面積是；(2)畫出關于直線對稱的；(3)在所給網(wǎng)格圖中，以為底邊且另一個頂點在小正方形的頂點上的等腰三角形的個數(shù)是個．56．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考二模）如圖，在每個小正方形的邊長均為1的方格紙中，有線段和線段，點、、、均在小正方形的頂點上．(1)在方格紙中畫出以為底的等腰，點在小正方形的頂點上；的面積為；(2)在方格紙中畫出以為一邊的等腰，點在小正方形的頂點上，且的面積為5，連接，直接寫出的長度．57．（2023春·山東菏澤·八年級期中）如圖,在平面直角坐標系中,矩形OABC的頂點A、C的坐標分別為(10,0),(0,4),點D是OA的中點,點P在BC上運動,當△ODP是腰長為5的等腰三角形時,求點P的坐標.58．（2023春·湖北襄陽·八年級統(tǒng)考開學考試）如圖所示，在平面直角坐標系中，軸于點B，軸于點D．點，，且a，b滿足．(1)如圖1，求證：；(2)如圖1，若，在x軸上是否存在點F，使是以CO為腰的等腰三角形?若存在，求出點F的坐標；若不存在，請說明理由；熱點三：等腰三角形的判定1練基礎59．（2023春·山東棗莊·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，已知和的平分線交于點F，過F作交AB于點D，交AC于點E，如果，．那么等于（

）A．1 B．5 C．9 D．1060．（2023春·河南鄭州·八年級?？计谀┰谥?，，，D為線段上一點，且點D到、距離相等，則的形狀為（

）A．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．銳角三角形61．（2023春·陜西咸陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，點O是內(nèi)一點，連接、，垂直平分，若，，則點A、O之間的距離為（

）A．4 B．8 C．2 D．662．（2023秋·北京豐臺·九年級北京豐臺二中?？奸_學考試）如圖，在中，，，的平分線交于點E，則的值是（）A．1 B．2 C．3 D．463．（2023春·安徽宿州·八年級?？计谥校┤鐖D，點，都在的邊上，，和的平分線分別交于點，若，則．64．（2023秋·河南漯河·八年級?？计谀┤鐖D，在中，，和的平分線分別交于點、，若，，，則．65．（2023秋·浙江杭州·八年級?？奸_學考試）如圖，，E是上的一點，且，．求證：是直角三角形．66．（2023春·黑龍江佳木斯·八年級?？计谥校┤鐖D，已知：是的外角，，，請判斷的形狀，并說明理由．67．（2023春·福建漳州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，BD平分，，垂足為點D，．求證：是等腰三角形．68．（2023春·廣東揭陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，點，分別在邊，上，，平分．(1)求證：；(2)若，，求的度數(shù)．69．（2023春·山東煙臺·七年級統(tǒng)考期末）如圖，平分，點E，F(xiàn)分別在邊，上，，延長，交于點G，(1)求證：；(2)若，，求的度數(shù)．2練鞏固70．（2023春·八年級單元測試）如圖，已知在中，平分，平分，且，，若，則的周長是（）A． B． C． D．71．（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考一模）已知等腰三角形紙片，，．現(xiàn)要將其剪成三張小紙片，使每張小紙片都是等腰三角形（不能有剩余）．兩名同學提供了如下方案：方案Ⅰ方案Ⅱ如圖1，①分別作，的垂直平分線，交于點P；②選擇，，．如圖2，①以點B為圓心，長為半徑畫弧，交于點D，交于點E；②連接，．對于方案Ⅰ、Ⅱ，說法正確的是（

）．A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可行72．（2023春·河南駐馬店·七年級駐馬店市第二初級中學?？计谀┤鐖D，在中，，AD是高，BE是中線，CF是角平分線，CF交AD于G，交BE于H．下列結論：①；②；③；④．其中所有正確結論的序號是（

）A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④73．（2023秋·吉林長春·九年級?？计谀┤鐖D，在中，，以點為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交，于點和．再分別以點，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在內(nèi)部交于點，連接并延長交于點，則下列結論一定成立的個數(shù)為（

）①；②若，則；③若，則點在的垂直平分線上；④若，為上一動點，則的最小值為1．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個74．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，在中，已知點D在線段的反向延長線上，過的中點F作線段交的平分線于E，交于G，且．(1)求證：是等腰三角形；(2)若，，求的長．75．（2023春·廣東深圳·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，平分交于點，為上一點，且．(1)求證：；(2)若，，，求的面積．76．（2023秋·重慶合川·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，以點C為中心，分別將線段，逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到，，連接并延長與交于點F，連接，．(1)求證：為等腰直角三角形；(2)連接，求證：平分．77．（2023春·廣東梅州·八年級?？奸_學考試）如圖，四邊形中，，過點D作，與C交于點D，與交于點H．(1)求證：為等腰三角形；(2)若E為中點，猜想，與三者的數(shù)量關系．并證明之78．（2023春·河北保定·八年級統(tǒng)考期中）（1）如圖①，在中，，的平分線相交于點F，過點F作，分別交AB，AC于點D，E．求證：．（2）如圖②，若F是的平分線和的外角的平分線的交點，（1）中的其他條件不變，請猜想線段之間有何數(shù)量關系，并證明你的猜想．3練拔高79．（2023春·甘肅隴南·八年級統(tǒng)考期末）如圖，，平分，于點D，交于點C，若，則的長為（

）A．3 B．4 C．5 D．680．（2023春·河南駐馬店·七年級?？计谀┤鐖D，在中，，是高，是中線，是角平分線，交于點，交于，下面說法正確的是（

）①的面積的面積；②；③；④．A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③81．（2023春·福建廈門·八年級廈門五緣實驗學校校考期末）如圖，在中，，，與的角平分線、分別交、邊于點D和點E．(1)求證：是等腰三角形；(2)用等式表示線段之間的數(shù)量關系，并證明．82．（2023秋·山東菏澤·八年級校聯(lián)考期末）如圖，的兩個外角平分線與交于點，過點作交于點，交于點，且，．(1)求證：點在的平分線上．(2)求的長．83．（2023春·江蘇南通·八年級校考開學考試）在中，，點D是射線上的一動點（不與點B、C重合），以為一邊在的右側(cè)作，使，，連接．(1)如圖1，當點D在線段上，且時，那么______度；(2)設，．①如圖2，當點D在線段上，時，請你探究與之間的數(shù)量關系，并證明你的結論；②如圖3，當點D在線段的延長線上，時，請將圖3補充完整，并直接寫出此時與之間的數(shù)量關系．84．（2023春·甘肅白銀·八年級校考期中）如圖①，，，，相交于點M，連接．(1)求證：；(2)用含的式子表示的度數(shù)；(3)當時，的中點分別為點P，Q，連接，如圖②，判斷的形狀，并證明．85．（2023春·重慶巴南·七年級重慶巴南育才中學校校考期末）（1）如圖，在中，點為中點，證明：；（2）如圖，在中，點為中點，點為的三等分點且，若，請直接寫出的面積；（3）如圖，點為上動點（不與，重合），，，，，于，請?zhí)骄康闹凳欠駷槎ㄖ?，若是定值，請求出該定值；若不是，請說明理由．熱點四：最短路徑問題1練基礎86．（2023春·山東威?！ち昙壗y(tǒng)考期末）如圖，從地到地的最短路線是(

)A． B．C． D．87．（2023秋·北京海淀·八年級?？奸_學考試）已知，點P在的內(nèi)部，，上有一點M，上有一點N，當?shù)闹荛L取最小值時，，的周長為．88．（2023春·北京海淀·七年級北京育英中學?？计谀┮阎喝鐖D，點，點分別代表兩個小區(qū)，直線代表兩個小區(qū)中間的一條公路．根據(jù)居民出行的需要，計劃在公路上的某處設置一個公交站點．(1)若考慮到小區(qū)居住的老年人較多，計劃建一個離小區(qū)最近的車站，請在公路上畫出車站的位置用點表示；(2)若考慮到修路的費用問題，希望車站的位置到小區(qū)和小區(qū)的距離之和最小，請在公路上畫出車站的位置用點表示．2練鞏固89．（2023春·四川達州·七年級?？计谀┤鐖D，在長度為1個單位的小正方形組成的網(wǎng)格中，點、、在小正方形的頂點上．(1)在圖中畫出與關于直線成軸對稱的；(2)的面積為；(3)在直線上找一點，使的長最短，（在圖形中標出點）．90．（2023春·吉林長春·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在正方形網(wǎng)格上有一個．(1)畫關于直線的對稱圖形（不寫畫法）；(2)若網(wǎng)格上的每個小正方形的邊長為1，求的面積；(3)在直線上求作一點P，使最小（保留作圖痕跡，不寫作法）．91．（2023秋·新疆烏魯木齊·八年級烏魯木齊市第70中?？计谀┰谌鐖D所示的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，格點三角形（頂點是網(wǎng)格線的交點的三角形）的頂點，的坐標分別為，．(1)請作出關于y軸對稱的，并寫出和的坐標；(2)在軸上找一點，使最小，在圖中標出點．92．（2023春·河南南陽·七年級校聯(lián)考期末）如圖，在所給正方形網(wǎng)格（每個小網(wǎng)格的邊長是1）圖中完成下列各題．(1)格點（頂點均在格點上）的面積＝；(2)畫出格點關于直線對稱的；(3)在上畫出點P，使最小．3練拔高93．（2023春·福建福州·八年級統(tǒng)考開學考試）如圖，在四邊形中，，，在，上分別找一個點M，N，使的周長最小，則°94．（2023春·甘肅隴南·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，垂直平分，點P為直線上的任一點，則周長的最小值是．95．（2023秋·遼寧撫順·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，平分，P為線段上一動點，Q為邊上一動點，當?shù)闹底钚r，的度數(shù)是．96．（2023春·安徽蚌埠·七年級校考期末）如圖，在銳角中，，，平分，、分別是和上的動點，則的最小值是．97．（2023春·四川達州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，的面積是，最長邊，平分，點M，N分別是，上的動點，則的最小值為．98．（2023秋·重慶豐都·八年級統(tǒng)考期末）如圖，三個頂點的坐標分別為、、．(1)作關于y軸對稱的，并在圖中標注頂點字母(2)直接寫出點關于軸的對稱點的坐標；(3)在軸上找一點使的和最小，作圖并直接寫出點的坐標．99．（2023秋·吉林松原·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，平分，交邊于點，點是邊的中點．點為邊上的一個動點．(1)______，______度；(2)當四邊形為軸對稱圖形時，求的長；(3)若是等腰三角形，求的度數(shù)；(4)若點在線段上，連接、，直接寫出的值最小時的長度．100．（2023春·全國·八年級期中）如圖，點，且a，b滿足．若P為x軸上異于原點O和點A的一個動點，連接，以線段為邊構造等腰直角（P為頂點），連接．(1)如圖1，直接寫出點A的坐標為___________，點B的坐標為___________；(2)如圖2，當點P在點O，A之間時，連接，，證明；(3)如圖3，點P在x軸上運動過程中，若所在直線與y軸交于點F，請直接寫出F點的坐標為___________，當?shù)闹底钚r，請直接寫出此時與之間的數(shù)量關系___________．限時過關限時過關一、單選題（每題3分）1．（2023春·山西晉中·八年級統(tǒng)考期末）作線段AB的垂直平分線有多種方法，“善思小組”用兩把相同的直尺按如圖方式擺放，此時，零刻度線重合于點E，連接，，取的中點F，作直線，則就是線段的垂直平分線，“善思小組”這樣做的依據(jù)是（

）A．線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等B．角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等C．等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線及底邊上的高線互相重合D．三角形三條邊的垂直平分線的交點到三個頂點的距離相等2．（2023秋·河南洛陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，中，，，要求用圓規(guī)和直尺作圖，把它分成兩個三角形，其中一個三角形是等腰三角形．其作法錯誤的是（

）A．

B．

C．

D．

3．（2023春·福建寧德·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知，按以下步驟作圖：①分別以B、C為圓心的長為半徑作弧，兩弧相交于兩點M、N，連接．若，，則（

）A．65° B．6