北京市第四中學(xué)順義分校2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

第1頁(yè)/共1頁(yè)2020－2021北京四中順義分校高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期中考試試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分）（每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的把答案寫在題號(hào)前）1.已知數(shù)列{）的通項(xiàng)公式為，則下列各數(shù)中不是數(shù)列中的項(xiàng)的是A.2 B.40 C.56 D.90【答案】B【解析】【分析】分別令選項(xiàng)中的數(shù)等于，解得n值不是正整數(shù)的即為答案．【詳解】由題意令可得n=2為正整數(shù)，即2是{an}項(xiàng)；同理令,可得n不為正整數(shù)，即40不是{an}的項(xiàng)；令，可得n=8為正整數(shù)，即56是{an}的項(xiàng)；令，可得n=10是正整數(shù)，即90是{an}的項(xiàng)．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的定義，注意數(shù)列通項(xiàng)公式中n必須是正整數(shù)．2.等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則A.8 B.10 C.12 D.14【答案】C【解析】【詳解】試題分析：假設(shè)公差為,依題意可得.所以.故選C.考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì).3.若，則下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)一一判斷即可.【詳解】解：對(duì)于A：因?yàn)?，所以，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)?，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)?，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)?，所以，故D錯(cuò)誤；故選：A4.等差數(shù)列中，，，這三項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列，則公比（）A.1 B.2 C.1或2 D.1或【答案】C【解析】【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)列方程求得與關(guān)系后可得．【詳解】設(shè)的公差為，顯然，易知時(shí)，，時(shí)，由得，，．所以或2．故選：C．5.數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則等于A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知條件得到數(shù)列是等比數(shù)列，并且得到首項(xiàng)和公比，根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式求得.【詳解】由可知數(shù)列為等比數(shù)列，且公比為，首項(xiàng)為，故.所以選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查等比數(shù)列的定義，考查等比數(shù)列前項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題.6.若橢圓的離心率是，則實(shí)數(shù)k的值為（）A.3或 B.或C.2或 D.或【答案】B【解析】【分析】分焦點(diǎn)在軸和軸上兩種情況求解即可.【詳解】當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，由，得，則，因?yàn)殡x心率是，所以，解得，當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，由，得，則，因?yàn)殡x心率是，所以，解得，綜上，或，故選：B7.已知雙曲線的一條漸近線方程是，它的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則雙曲線的方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意知，求出雙曲線的漸近線方程得，即可得，利用，即可求出、、的值，從而求出雙曲線的方程.【詳解】由題意知①，雙曲線的漸近線方程得，又因?yàn)橐粭l漸近線方程是，所以②，又因?yàn)棰?，由①②③解得：，，所以雙曲線的方程為：，故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于中檔題.8.若關(guān)于的不等式對(duì)于一切恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式求出的最小值，即可求解.【詳解】令，則不等式對(duì)一切，恒成立等價(jià)于恒成立，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：．9.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，若橢圓上存在點(diǎn)使得是鈍角，則橢圓離心率的取值范圍是A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)處沿橢圓弧向短軸端點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，對(duì)兩個(gè)焦點(diǎn)的張角漸漸增大，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)位于短軸端點(diǎn)處時(shí)，張角達(dá)到最大值，由此可得到關(guān)于的不等式，從而可得結(jié)果.【詳解】當(dāng)動(dòng)點(diǎn)從橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)處沿橢圓弧向短軸端點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，對(duì)兩個(gè)焦點(diǎn)的張角漸漸增大，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)位于短軸端點(diǎn)處時(shí)，張角達(dá)到最大值．∵橢圓上存在點(diǎn)使得是鈍角，∴中，，∴中，，∴，∴，∴，∴，∵，∴．橢圓離心率的取值范圍是，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)求橢圓的離心率范圍，屬于中檔題.求解與橢圓性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，既使不畫出圖形，思考時(shí)也要聯(lián)想到圖形，當(dāng)涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長(zhǎng)軸、短軸等橢圓的基本量時(shí)，要理清它們之間的關(guān)系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.求離心率范圍問(wèn)題應(yīng)先將用有關(guān)的一些量表示出來(lái)，再利用其中的一些關(guān)系構(gòu)造出關(guān)于的不等式，從而求出的范圍.10.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，是以為焦點(diǎn)的拋物線上任意一點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，則直線的斜率的最大值為A. B.1 C. D.2【答案】B【解析】【詳解】設(shè)，，是線段的中點(diǎn)，所以.直線的斜率為：.顯然時(shí)的斜率較大，此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，斜率最大為1.故選B.二、填空題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）11.在數(shù)列0，，，…，，…中，是它的第__項(xiàng)．【答案】9【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式令，求即可.【詳解】令，解得，所以是它的第項(xiàng).故答案為：912.在等差數(shù)列{an}中，a2+a4=5，則a3=___________.【答案】【解析】【分析】由等差數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)得到2a3=a2+a4求解.【詳解】等差數(shù)列{an}中，因?yàn)閍2+a4=5，由等差數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)，得2a3=a2+a4=5，解得.故答案為：.13.請(qǐng)寫出一個(gè)與有相同焦點(diǎn)的拋物線方程：____．【答案】或【解析】【分析】先求出雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出拋物線方程即可【詳解】解：由題意知∴雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為或設(shè)拋物線方程為則或解得：或∴拋物線的方程為：或故答案為：或．14.若橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，則________【答案】【解析】【分析】根據(jù)雙曲線方程可得焦點(diǎn)在軸上,所以橢圓的焦點(diǎn)也在軸上,由此可得,再根據(jù)焦距相等列方程可解得.【詳解】因?yàn)闄E圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)且雙曲線的焦點(diǎn)在軸上,所以橢圓的焦點(diǎn)也在軸上,所以,且,解得,所以.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓與雙曲線的幾何性質(zhì)(焦點(diǎn)),解題關(guān)鍵是根據(jù)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程得到橢圓中4和的大小.屬于中檔題.15.函數(shù)的最小值是_____，此時(shí)_____.【答案】①3②.2【解析】【分析】由題知，又由，結(jié)合基本不等式即可求解．【詳解】∵，∴，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，函數(shù)取得最小值．故答案為：①3；②2．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：該題主要考查了利用基本不等式求解最值，在求解的過(guò)程中，時(shí)刻關(guān)注利用基本不等式求最值的三個(gè)條件：一正、二定、三相等，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力．16.不等式對(duì)于任意實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】討論與兩種情況：代入即可判斷，當(dāng)時(shí)，結(jié)合一元二次不等式恒成立問(wèn)題，即可確定的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，代入可得成立，所以符合題意；當(dāng)時(shí)，由一元二次不等式恒成立可知需滿足，解得；綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍為，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次不等式恒成立問(wèn)題的解法，注意二次項(xiàng)系數(shù)是否為0，屬于基礎(chǔ)題.17.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，，點(diǎn)P在橢圓上，且，則__．【答案】【解析】【分析】由給定橢圓求出半焦距，再由對(duì)稱性寫出坐標(biāo)，結(jié)合，利用勾股定理和橢圓定義可列出方程，即可求出，進(jìn)而可得答案.【詳解】由橢圓知，橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，短半軸長(zhǎng)，則半焦距，由橢圓對(duì)稱性不妨令焦點(diǎn)，因點(diǎn)P在橢圓C上，且，設(shè)，，則由，解得即有，所以的值為.故答案為：18.在數(shù)列中，，，且任意連續(xù)三項(xiàng)的和均為11，則__；設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和，則使得，成立的最大整數(shù)__．【答案】①.12②.29【解析】【分析】由題意可得數(shù)列是周期為3的數(shù)列，利用周期性即可求，分，，討論，計(jì)算的最大值即可求解【詳解】由題意得，則，所以數(shù)列為周期數(shù)列，且周期為，，又，則，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；使得成立，由，可得的最大值為9，此時(shí)；由，可得的最大值為8，此時(shí)；由，可得的最大值為9，此時(shí)；則使得成立的最大整數(shù)故答案為：12；29三、解答題（本大題共5小題，共70分）19.設(shè)是等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記的前n項(xiàng)和為，求的最小值．【答案】（1）（2）-30【解析】【分析】（1）根據(jù)已知求出公差d，即可求得通項(xiàng)公式（2）根據(jù)是關(guān)于n的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合n的范圍求解即可【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)的公差為d∵，，成等比數(shù)列即：解得：故數(shù)列的通項(xiàng)公式為【小問(wèn)2詳解】解：∴或時(shí)，取得最小值當(dāng)或時(shí)，求得故的最小值為-3020.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，其中．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用，即可求出的通項(xiàng)公式（2）求出，利用等比數(shù)列求和公式即可求解.小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，也成立∴．【小問(wèn)2詳解】令數(shù)列，∴數(shù)列是一個(gè)以4為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列．∴數(shù)列的前n項(xiàng)和為∴．21.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求滿足的的取值范圍；（2）解關(guān)于的不等式．【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為空集；當(dāng)時(shí)，解集為．【解析】【分析】（1）解一元二次不等式可得；（2）分類討論，根據(jù)兩根據(jù)的大小分類討論．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，即解得.所以的解集為.（2）由，得，所以，當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為空集；當(dāng)時(shí)，解集．【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次不等式，對(duì)含參數(shù)的不等式一般需要分類討論，分類的層次有三個(gè)：一是最高次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)或者是0，二是對(duì)應(yīng)的一元二次方程有無(wú)實(shí)數(shù)解，三是方程有實(shí)數(shù)解，方程兩根的大小關(guān)系．22.已知拋物線C：，經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（1）求拋物線C的方程及準(zhǔn)線方程；（2）設(shè)O為原點(diǎn)，直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，求證：OA⊥OB．【答案】（1），（2）證明見解析【解析】【分析】（1）把點(diǎn)代入拋物線方程即可求解；（2）設(shè)，，聯(lián)立，利用根于系數(shù)的關(guān)系，由平面向量的數(shù)量積證明，即可得證【小問(wèn)1詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，解得，故拋物線的方程為，準(zhǔn)線方程為；【小問(wèn)2詳解】設(shè)，聯(lián)立得，，因?yàn)樗运?3.已知橢圓C：的右焦點(diǎn)為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（1）求