2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中模擬卷（選擇性必修第一冊(cè)）（提升卷）

期中押題預(yù)測(cè)卷（提升卷）（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．2．回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．寫在本試卷上無效．3．回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．4．測(cè)試范圍：選擇性必修第一冊(cè)5．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．第Ⅰ卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．四面體中，，點(diǎn)在上，且，為中點(diǎn)，則為（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題意畫出如下圖形：為中點(diǎn)，則，，則，∴.故選：B.2．已知直線經(jīng)過點(diǎn)，且與直線平行，則直線的方程是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)橹本€的斜率為，直線與直線平行，所以，直線的斜率為，因?yàn)橹本€經(jīng)過點(diǎn)，所以，直線的方程為：，即故選：A3．已知兩點(diǎn)，，直線：線段相交，則的取值范圍是（

）A． B．或 C． D．【答案】B【解析】因?yàn)橹本€，如圖直線：即恒過，而，因?yàn)橹本€與線段相交，結(jié)合圖形，故直線的斜率的范圍為：或．故選：B4．已知半徑為的圓經(jīng)過點(diǎn)，則其圓心到點(diǎn)的距離的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，圓心的軌跡方程為，則其圓心到點(diǎn)的距離的最大值為.故選：C.5．在三棱錐中，平面，D，E，F(xiàn)分別是棱的中點(diǎn)，，則直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)槠矫妫矫妫?，而，故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則且，故，故，，，設(shè)平面的法向量為，則：由可得，取，則，設(shè)直線與平面所成角為，則.故選：B.6．在棱長為2的正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱AB，的中點(diǎn).點(diǎn)P為線段EF上的動(dòng)點(diǎn).則下面結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A． B．平面C． D．是銳角【答案】D【解析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，則，，，，所以，A正確；因?yàn)椋矫?，平面，所以平面，B正確；，所以，所以，C正確；，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為鈍角，故D錯(cuò)誤.故選：D7．若直線與橢圓交于點(diǎn)，，線段中點(diǎn)為，則直線的斜率為（

）A． B． C．2 D．【答案】B【解析】設(shè)，則，兩式相減可得，整理可得，由線段中點(diǎn)為，則，故直線的斜率.故選：B.8．已知F為雙曲線C：的左焦點(diǎn)，過F作圓的切線，切點(diǎn)為T，延長FT交C于點(diǎn)P，若M為線段FP的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】取雙曲線右焦點(diǎn)F2，連接PF2，由題知，，所以在中，，所以，所以記，則由雙曲線定義和余弦定理可得，解得因?yàn)镸為線段FP的中點(diǎn)，所以所以故選：D二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．已知空間向量，則下列選項(xiàng)中正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，【答案】BCD【解析】當(dāng)時(shí)，，解得：，故A錯(cuò)誤；令，則，，故B正確；，所以，解得：，故C正確；當(dāng)，，因?yàn)?，，故D正確．故選：BCD10．在空間直角坐標(biāo)系中，，，，則（

）A．B．點(diǎn)到平面的距離是C．異面直線與所成角的余弦值為D．與平面所成角的正弦值為【答案】BD【解析】因?yàn)?，，所以，A錯(cuò)誤．在空間直角坐標(biāo)系中，結(jié)合與兩點(diǎn)的坐標(biāo)可知軸與平面垂直，所以為平面的一個(gè)法向量，則點(diǎn)到平面的距離是，B正確．因?yàn)椋援惷嬷本€與所成角的余弦值為，C錯(cuò)誤．設(shè)與平面所成的角為，，則，D正確．故選：BD11．已知，是圓O：上兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則B．若點(diǎn)到直線的距離為，則C．若，則的最小值為D．若，則的最大值為【答案】AD【解析】因?yàn)?，是圓O：上兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，為正三角形，所以，A正確；點(diǎn)到直線的距離為時(shí)，，B錯(cuò)誤；的值可轉(zhuǎn)化為單位圓上的到直線的距離之和，又，所以為等腰三角形，設(shè)是的中點(diǎn)，則，且，則在以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓上，兩點(diǎn)到直線的距離之和為點(diǎn)到直線的距離的倍，點(diǎn)到直線的距離為，所以點(diǎn)到直線的距離的最大值為，最小值為，則兩點(diǎn)到直線的距離之和最大值為，最小值為.所以的最大值為，最小值為，C錯(cuò)誤，D正確；故選：AD12．月光石不能頻繁遇水，因?yàn)槠渲饕煞质氢涒c硅酸鹽．一塊斯里蘭卡月光石的截面可近似看成由半圓和半橢圓組成，如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系，半圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半圓所在的圓過橢圓的右焦點(diǎn)，橢圓的短軸與半圓的直徑重合．若直線與半圓交于點(diǎn)A，與半橢圓交于點(diǎn)B，則下列結(jié)論正確的是（

）A．橢圓的離心率是 B．線段AB長度的取值范圍是C．面積的最大值是 D．的周長存在最大值【答案】ABC【解析】由題意得半圓的方程為，設(shè)橢圓的方程為，所以，所以橢圓的方程為．A．橢圓的離心率是，所以該選項(xiàng)正確；B．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以線段AB長度的取值范圍是，所以該選項(xiàng)正確；C．由題得面積，設(shè)，設(shè)，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以該選項(xiàng)正確；D．的周長，所以當(dāng)時(shí)，的周長最大，但是不能取零，所以的周長沒有最大值，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：ABC.第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．直線l過且與圓相切，則直線l的方程為___________【答案】或.【解析】由圓的方程，得，則圓心坐標(biāo)為，半徑為，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線：，與圓相切，符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線：，即，由直線與圓相切，得圓心到直線的距離，即，解得，所以：；綜上，直線的方程為或.故答案為：或.14．已知四面體棱長均為，點(diǎn)，分別是、的中點(diǎn)，則___________.【答案】【解析】因?yàn)辄c(diǎn)，分別是、的中點(diǎn)，所以，，，，所以.故答案為：15．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A是拋物線C的準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線C上，若，則__________.【答案】【解析】過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，易知：，可得，如圖所示：在中，可得，，由拋物線的性質(zhì)可得，所以，在中，由正弦定理可得：，所以.故答案為：16．如圖，在正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的是___________.①直線平面，②三棱錐的體積為定值，③異面直線與所成角的取值范圍是④直線與平面所成角的正弦值的最大值為【答案】①②④【解析】對(duì)于①，連接，則，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，同理可得，因?yàn)?，平面，所以平面，所以①正確，對(duì)于②，因?yàn)椤?，平面，平面，所以∥平面，因?yàn)辄c(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)到平面距離為定值，因?yàn)榈拿娣e為定值，所以三棱錐的體積為定值，所以②正確，對(duì)于③，連接，因?yàn)椤危援惷嬷本€與所成角即為與所成的角，因?yàn)?，所以為等邊三角形，所以?dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)或點(diǎn)時(shí)，與所成的角為，當(dāng)點(diǎn)位于的中點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)與所成的角為，所以異面直線與所成角的取值范圍是，所以③錯(cuò)誤，對(duì)于④，如圖，以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為1，，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以直線與平面所成角的正弦值為，當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角的正弦值最大，最大值為，所以④正確，故答案為：①②④四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。17．（10分）已知正四面體的棱長為2，點(diǎn)是的重心，點(diǎn)是線段的中點(diǎn).(1)用表示，并求出；(2)求證：.【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)是的重心，所以因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以.因?yàn)檎拿骟w的棱長為，所以,所以，所以.（2），所以.18．（12分）已知直線.(1)證明：直線過定點(diǎn)；(2)若直線不經(jīng)過第四象限，求的取值范圍；(3)若直線交軸負(fù)半軸于，交軸正半軸于，的面積為（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的方程.【解析】（1）證明：直線的方程可化為，令，解得所以無論取何值，直線總經(jīng)過定點(diǎn).（2）由方程知，當(dāng)時(shí)，直線在軸上的截距為，在軸上的截距為，要使直線不經(jīng)過第四象限，則必須有解得；當(dāng)時(shí)，直線為，符合題意，故的取值范圍是.（3）由題意可知，再由直線的方程，得.依題意得解得.因?yàn)樗?，所以直線的方程為.19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，為三個(gè)不同的定點(diǎn)，且，，不共線，以原點(diǎn)為圓心得圓與線段，，都相切.(1)求圓的方程及，的值；(2)若直線：與圓相交于，兩點(diǎn)，且，求的值.【解析】（1）因?yàn)閳A與相切，所以半徑等于到的距離．直線，所以，圓．圓與相切，，所以直線，所以．直線到的距離為1，所以或（舍所以．（2）設(shè)，，，，因?yàn)椋谥本€上，所以，．聯(lián)立得，所以．則．20．（12分）如圖，圓柱的軸截面為正方形，點(diǎn)在底面圓周上，且為上的一點(diǎn)，且為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與重合）(1)若，設(shè)平面面，求證：；(2)當(dāng)平面與平面夾角為，試確定點(diǎn)的位置.【解析】（1）由題知面面，則，由為底面圓的直徑，則，由，面，面，又∵面，∴，又，面，面，又∵面，故.由，在中，由射影定理：，故面面,∴面，又面面，面，∴.（2）由（1）知，以為原點(diǎn)為軸正方向，過的母線為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，設(shè)，，設(shè)面的法向量為，則，令，則，又平面的一個(gè)法向量設(shè)平面與平面的夾角為，則，解得或，其中時(shí)重合，不合題意，故當(dāng)平面與平面夾角為時(shí)，此時(shí)為中點(diǎn).21．（12分）已知拋物線：，直線過點(diǎn).(1)若與有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線的方程；(2)若與交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，求點(diǎn)的軌跡方程.【解析】（1）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，其方程為，符合題意；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，由，得.當(dāng)時(shí)，直線符合題意；當(dāng)時(shí)，令，解得，∴直線的方程為，即.綜上，直線的方程為，或，或.（2）解法一：設(shè)，，，不妨令，∵直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，∴，∴，且，，.由，得，∴，∴，∴.∵，且，∴，且，∴點(diǎn)的軌跡方程為（，且）.解法二：設(shè)，，，不妨令，∵直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，∴，∴，且，，.∵點(diǎn)在線段上，設(shè)，則，，∴，∴，∴，∴.∵，且，∴，且，∴點(diǎn)的軌跡方程為（，且）.22．（12分）如圖，已知橢圓與等軸雙曲線共頂點(diǎn)，過橢圓上一點(diǎn)P（2，-1）作兩直線與橢圓相交于相異的兩點(diǎn)A，B，直線PA，PB的傾