混合幾何對(duì)象的拓?fù)潢P(guān)系集合

混合幾何對(duì)象的拓?fù)潢P(guān)系集合

信息系統(tǒng)（gis）是一個(gè)數(shù)據(jù)信息系統(tǒng)，用于收集、存儲(chǔ)、管理、分析和描述空間和地理分布。它把空間對(duì)象的地理位置和相關(guān)屬性有機(jī)結(jié)合起來,借助其獨(dú)有的空間分析功能和可視化表達(dá),輔助用戶進(jìn)行各種決策。GIS系統(tǒng)一般通過空間查詢語言來表述用戶的空間查詢和空間分析的請(qǐng)求,從而使用戶能夠與GIS系統(tǒng)進(jìn)行交互。因此,設(shè)計(jì)一種簡(jiǎn)單易用、功能強(qiáng)大的空間查詢語言一直是GIS技術(shù)研究的一個(gè)重要內(nèi)容。近年來,在這個(gè)領(lǐng)域已經(jīng)進(jìn)行了大量的研究工作,它們的主要思想都是通過引入空間數(shù)據(jù)類型和空間操作算子來擴(kuò)展SQL語言,使用戶能根據(jù)空間關(guān)系來查詢空間對(duì)象。其中最重要的進(jìn)展是SQL3多媒體規(guī)范(SQL3/MM)和業(yè)界標(biāo)準(zhǔn)——OpenGISSQL實(shí)現(xiàn)規(guī)范(OpenGISSimpleFeaturesSpecificationforSQL)的制定,這兩個(gè)規(guī)范都定義了一系列的空間數(shù)據(jù)類型和空間關(guān)系,為空間查詢語言的設(shè)計(jì)和開發(fā)提供了一個(gè)框架?？臻g查詢語言中的空間關(guān)系主要包括拓?fù)潢P(guān)系、方向關(guān)系和度量關(guān)系等。其中拓?fù)潢P(guān)系是指那些在拓?fù)渥儞Q(如平移、旋轉(zhuǎn)、縮放)中保持不變的性質(zhì),主要描述空間對(duì)象間是否相鄰、包含、重疊。拓?fù)潢P(guān)系作為一種重要的空間關(guān)系,廣泛應(yīng)用于空間分析和查詢中。1拓?fù)潢P(guān)系集合的定義拓?fù)潢P(guān)系集合是在概念層上,根據(jù)人們對(duì)拓?fù)潢P(guān)系的理解,以自然語言的方式定義的一些命名的拓?fù)潢P(guān)系及其語義,方便人們進(jìn)行空間查詢和空間推理。拓?fù)潢P(guān)系集合的定義必須滿足以下兩個(gè)基本性質(zhì):互斥性:兩個(gè)空間對(duì)象之間的拓?fù)潢P(guān)系不能同時(shí)被拓?fù)潢P(guān)系集合中兩個(gè)不同的關(guān)系所定義;完備性:任何空間對(duì)象之間的拓?fù)潢P(guān)系都要能被拓?fù)潢P(guān)系集合中所定義的關(guān)系所描述。目前拓?fù)潢P(guān)系集合的定義主要有:基于9交集模型定義的8個(gè)拓?fù)潢P(guān)系,它主要描述簡(jiǎn)單面對(duì)象之間的拓?fù)潢P(guān)系;CBM(Calculus-basedMethod)定義了5個(gè)關(guān)系,它可以描述簡(jiǎn)單點(diǎn)、線、面,復(fù)雜點(diǎn)、線、面以及多點(diǎn)、多線、多面等幾何對(duì)象間的拓?fù)潢P(guān)系;RCC(RegionCollectionCalculus)主要描述面對(duì)象之間的關(guān)系,用于空間推理。另外一個(gè)重要的進(jìn)展是OGC(OpenGISConsortium)制定的業(yè)界標(biāo)準(zhǔn)——OpenGISSQL,它定義了8個(gè)拓?fù)潢P(guān)系算子,可用來描述簡(jiǎn)單點(diǎn)、線、面,復(fù)雜點(diǎn)、線、面以及多點(diǎn)、多線、多面等幾何對(duì)象間的拓?fù)潢P(guān)系。其中OpenGISSQL規(guī)范中的拓?fù)潢P(guān)系集合的定義是目前最完整、最全面的定義。但通過分析可以發(fā)現(xiàn)OpenGISSQL對(duì)拓?fù)潢P(guān)系的定義還存在著以下的不足:(1)不滿足相互排斥圖1中(a)和(b)兩種情況都同時(shí)滿足OpenGISSQL中Touches和Crosses的定義,因此它不滿足互斥性。(2)拓?fù)潢P(guān)系定義不完整現(xiàn)實(shí)世界中存在這樣一類空間對(duì)象,它們的空間描述可能由點(diǎn)、線或面對(duì)象共同組合而成,如重點(diǎn)工程可能由油井(點(diǎn)對(duì)象)、公路(線對(duì)象)和湖泊治理(面對(duì)象)組成。而目前所有的拓?fù)潢P(guān)系定義都不能描述此類空間對(duì)象之間的拓?fù)潢P(guān)系(包括OpenGISSQL規(guī)范),因此當(dāng)前的拓?fù)潢P(guān)系研究還不完備?；谝陨贤?fù)潢P(guān)系集合定義中的不足,本文引入了混合幾何對(duì)象的概念,以混合幾何對(duì)象為基礎(chǔ),對(duì)OpenGISSQL中的拓?fù)潢P(guān)系的定義和范疇進(jìn)行了擴(kuò)充,定義了一個(gè)由7個(gè)拓?fù)潢P(guān)系組成的互斥、完備的拓?fù)潢P(guān)系集合,使其能夠描述那些由不同維幾何對(duì)象組成的復(fù)雜幾何對(duì)象之間的拓?fù)潢P(guān)系,為空間查詢語言中的拓?fù)潢P(guān)系集合的定義提供了統(tǒng)一的框架。2混合幾何對(duì)象概念地理信息系統(tǒng)中一般采用幾何對(duì)象來描述空間實(shí)體的空間信息。由于空間實(shí)體的復(fù)雜性,地理信息系統(tǒng)中的幾何對(duì)象主要分為兩大類:簡(jiǎn)單幾何對(duì)象和復(fù)雜幾何對(duì)象。簡(jiǎn)單幾何對(duì)象包括簡(jiǎn)單點(diǎn)、簡(jiǎn)單線和簡(jiǎn)單多邊形。復(fù)雜幾何對(duì)象又可以分為三類:Ⅰ類:單一的非簡(jiǎn)單幾何對(duì)象。如復(fù)雜線(自交叉的線,多于兩個(gè)端點(diǎn)的線)、復(fù)雜多邊形(帶洞的多邊形)。Ⅱ類:由同維幾何對(duì)象構(gòu)成的組合幾何對(duì)象。如多點(diǎn)、多線和多多邊形。Ⅲ類:由不同維的幾何對(duì)象構(gòu)成的組合幾何對(duì)象。目前拓?fù)潢P(guān)系的定義還不能對(duì)第三類復(fù)雜幾何對(duì)象之間的拓?fù)潢P(guān)系進(jìn)行描述,如OpenGISSQL規(guī)范只能表述Ⅰ類、Ⅱ類復(fù)雜幾何對(duì)象的拓?fù)潢P(guān)系。為了使拓?fù)潢P(guān)系研究趨于完備,本文引入了混合幾何對(duì)象的概念,作為描述第三類復(fù)雜幾何對(duì)象拓?fù)潢P(guān)系的基礎(chǔ)。約定:P表示0維幾何對(duì)象(簡(jiǎn)單點(diǎn)或Ⅱ類復(fù)雜點(diǎn));L表示1維幾何對(duì)象(簡(jiǎn)單線或Ⅰ類、Ⅱ類復(fù)雜線);A表示2維幾何對(duì)象(簡(jiǎn)單多邊形或Ⅰ類、Ⅱ類復(fù)雜多邊形)。定義混合幾何(MixedGeometry):混合幾何是由點(diǎn)(簡(jiǎn)單點(diǎn)或Ⅱ類復(fù)雜點(diǎn))、線(簡(jiǎn)單線或Ⅰ類、Ⅱ類復(fù)雜線)或多邊形(簡(jiǎn)單多邊形或Ⅰ類、Ⅱ類復(fù)雜多邊形)等不同維幾何元素組成的復(fù)雜幾何對(duì)象,并且具有以下性質(zhì):(1)混合幾何對(duì)象的任何兩個(gè)子元素的內(nèi)部不相交;?O∈MixedGeometry,?Pi,Pj∈O,i≠j,I(Pi)∩I(Pj)=>(2)一個(gè)子元素的內(nèi)部不能與另一個(gè)子元素的邊界相交;?O∈MixedGeometry,?Pi,Pj∈O,i≠j,I(Pi)∩B(Pj)=>(3)任何兩個(gè)子元素的邊界只能在有限個(gè)點(diǎn)上重疊;?O∈MixedGeometry,?Pi,Pj∈O,i≠j,Bi=B(Pi),Bj=B(Pj)(Bi∩Bj)?{P1,…,Pk|Pi∈point,1≤i≤k}(4)混合幾何的邊界由其子元素的邊界組成,它的內(nèi)部為此混合幾何去掉邊界后的點(diǎn)組成。其中I()、B()分別表示一個(gè)幾何對(duì)象的內(nèi)部、邊界。根據(jù)混合幾何對(duì)象的定義,混合幾何對(duì)象O可以表述為:O?{P,L,A},即O由P、L或A組成,P、L、A分別代表對(duì)象O的點(diǎn)、線、面部分,并且P、L、A只能在有限個(gè)點(diǎn)上重疊。當(dāng)混合幾何對(duì)象的子元素是同維對(duì)象時(shí),混合幾何對(duì)象則轉(zhuǎn)換為多點(diǎn)、多線或多面對(duì)象。3對(duì)于混合幾何對(duì)象,ab=a,bb混合幾何對(duì)象是由不同維幾何對(duì)象構(gòu)成的復(fù)雜幾何對(duì)象。對(duì)于混合幾何對(duì)象之間的拓?fù)潢P(guān)系,我們擴(kuò)充和重定義了OpenGISSQL規(guī)范中的拓?fù)潢P(guān)系定義,定義了一個(gè)由7個(gè)拓?fù)潢P(guān)系組成的集合C:{disjoint,touches,within,crosses,overlaps,contains,equal}。具體定義如下:disjoint:對(duì)于混合幾何對(duì)象a和b,a?{P,L,A},b?{P,L,A}。a.disjoint(b)?a∩b=>touches:對(duì)于混合幾何對(duì)象a和b,a?{P,L,A},b?{P,L,A}。a.touches(b)?(I(a)∩I(b)=>)∧(a∩b≠>)within:對(duì)于混合幾何對(duì)象a和b,a?{P,L,A},b?{P,L,A}。a.within(b)?(a∩b=a)∧(I(a)∩I(b)≠>)∧(a≠b)wrosses:對(duì)于混合幾何對(duì)象a和b,a?{P,L},b?{P,L,A}。a.crosses(b)?(a∩b≠a)∧(a∩b≠b)∧(I(a)∩I(b)≠>)∧(?aαbβ)(I(aα)∩I(bβ)≠>→(dim(I(aα)∩I(bβ))<max(dim(I(aα)),dim(I(bβ)))∧(aα∩bβ≠aα)∧(aα∩bβ≠bβ)α∈{p,l},β∈{p,l,a}overlaps:對(duì)于混合幾何對(duì)象a和b,a?{P,L,A},b?{P,L,A}。a.overlaps(b)?(a∩b≠a)∧(a∩b≠b)∧(I(a)∩I(b)≠>)∧((dim(a)=2)∨(?aαbβ)((dim(I(aα))=dim(I(bβ))=dim(I(aα)∩(bβ)))∨(aα∩bβ=aα)∨(aα∩bβ=bβ))α,β∈{p,l,a}contains:a.contains(b)?b.within(a)。equal:a.equal(b)?a=b。式中,ap、al和aa分別表示混合幾何對(duì)象a的點(diǎn)部分、線部分和面部分。dim()算子表示求對(duì)象的最大維數(shù)。4空間查詢語言中拓?fù)潢P(guān)系的定義對(duì)于第Ⅲ類復(fù)雜幾何對(duì)象,其子元素之間可能互相重疊,為了明確獲取此對(duì)象的內(nèi)部、外部、邊界以及它的各個(gè)組成部分(點(diǎn)部分、線部分和面部分),首先必須對(duì)其進(jìn)行處理,把其規(guī)則化為混合幾何對(duì)象,這樣就可以使用上述拓?fù)潢P(guān)系的定義來描述第Ⅲ類復(fù)雜幾何對(duì)象間的拓?fù)潢P(guān)系。當(dāng)使用拓?fù)潢P(guān)系集合C來描述第Ⅰ、Ⅱ類復(fù)雜幾何對(duì)象或簡(jiǎn)單幾何對(duì)象之間的拓?fù)潢P(guān)系時(shí),C就等同于OpenGISSQL中對(duì)拓?fù)潢P(guān)系的定義。因此本文所定義的拓?fù)潢P(guān)系可以對(duì)所有空間對(duì)象之間的拓?fù)潢P(guān)系進(jìn)行描述,為空間查詢語言中拓?fù)潢P(guān)系的定義提供了一個(gè)統(tǒng)一的框架。下面將證明拓?fù)潢P(guān)系集合C是互斥和完備的。(1)拓?fù)潢P(guān)系集合c的互斥證明對(duì)于兩個(gè)空間對(duì)象a,b和拓?fù)潢P(guān)系集合C中的任意兩個(gè)不同的關(guān)系r1、r2,如果a,b的拓?fù)潢P(guān)系為r1,則a,b的拓?fù)潢P(guān)系不滿足r2,即:r1,r2∈C,r1≠r2,(ar1b)=T?(ar2b)=F證明:此命題的證明采用類似文獻(xiàn)中的證明方法。命題的證明分為7個(gè)部分,每一個(gè)部分分別證明拓?fù)潢P(guān)系集合C中的一個(gè)關(guān)系與其它6個(gè)關(guān)系是互斥的。其形式如下:Part1:(aoverlapsb)?(?(atouchesb))∧(?(awithinb))∧(?(acrossesb))∧(?(adisjointb))∧(?(acontainsb))∧(?(aequalb))本文只對(duì)上面這個(gè)部分進(jìn)行證明,其它6個(gè)部分可以使用相似的方法證明。(a)根據(jù)定義a.overlaps(b)?(a∩b≠a)∧(a∩b≠b)∧(I(a)∩I(b)≠>)?(?(atouchesb))∧(?(awithinb))∧(?(adisjointb))∧(?(acontainsb))∧(?(aequalb))(b)如果dim(a)=2,根據(jù)crosses的定義,a?{P,L},即dim(a)≤1,則(aoverlapsb)??(acrossesb);(c)如果dim(I(aα))=dim(I(bβ))=dim(I(aα)∩I(bβ)),而在crosses的定義中,0≤dim(I(aα)∩I(bβ))<max(dim(I(aα)),dim(I(bβ))),所以可證?(acrossesb);(d)如果(aα∧bβ=aα)∨(aα∩bβ=bβ)成立,而在crosses中必須滿足(aα∩bβ≠aα)∧(aα∩bβ≠bβ),因此可證?(acrossesb);由上可證Part1成立。同樣可以證明其它6個(gè)部分。因此可以證明拓?fù)潢P(guān)系集合C是互斥的。這樣就可以使用拓?fù)潢P(guān)系集合C中定義的關(guān)系來描述圖1中(a)、(b)的拓?fù)潢P(guān)系。根據(jù)定義,(a)、(b)中a、b之間的關(guān)系都為touches。(2)相關(guān)定義中的做任意兩個(gè)空間對(duì)象a,b的拓?fù)潢P(guān)系r,必定可以用拓?fù)潢P(guān)系集合C中的一個(gè)關(guān)系進(jìn)行描述,即:(arb)=T?r∈C。證明:此命題的證明可以分為兩個(gè)部分。第一個(gè)部分證明如果I(a)∩I(b)=>,則r∈{disjoint,touches};第二個(gè)部分證明如果I(a)∩I(b)≠>,則r∈{within,crosses,overlaps,contains,equal}。Part1:I(a)∩I(b)=>?r∈{disjoint,touches}I(a)∩I(b)=>又存在兩種情況:①如果a∩b=>,根據(jù)定義則(adisjointb);②如果a∩b≠>,則(atouchesb)。因此Part1成立。Part2:I(a)∩I(b)≠>?r∈{within,crosses,overlaps,contains,equal}當(dāng)I(a)∩I(b)≠Φ時(shí),存在以下幾種情況:(a)a=b,根據(jù)定義則(aequalb)。(b)a≠b,如果a∩b=a,則(awithinb);如果a∩b=b,則(acontainsb)。(c)(a∩b≠a)∧(a∩b≠b);考慮以下情況:①當(dāng)dim(a)=2時(shí),則(aoverlapsb);②如果a,b中存在子元素,使得(aα∧bβ=aα)∨(aα∩bβ=bβ),則(aoverlapsb);③如果不存在(aα∧bβ=aα)∨(aα∩bβ=bβ),即對(duì)于所有aα,bβ,(aα∧bβ≠aα)∧(aα∩bβ≠bβ),又由于I(a)∩I(b)≠Φ,所以總存在I(aα)∩I(bβ)≠>,這時(shí)又存在兩種情況:(ⅰ)如果存在dim(I(aα))=dim(I(bβ))=dim(I(aα)∩I(bβ))時(shí),則(aoverlapsb);(ⅱ)如果對(duì)于所有的I(aα)∩I(bβ)≠>,都存在dim(I(aα)∩I(bβ))<max(dim(I(aα)),dim(I(bβ))),則(acrossesb)。由(a)、(b)、(c)可以得到Part2成立。因此由Part1和Part2,可以證明拓?fù)潢P(guān)系集合C是完備的。5混合幾何對(duì)象概念的引入空間查詢語言與一般查詢語言的一個(gè)重要區(qū)別是,空間查詢語言提供了一系列空間關(guān)系算子,使用戶能根據(jù)空間關(guān)系來查詢空間數(shù)據(jù)庫(kù)。拓?fù)潢P(guān)系作為一種重要的空間關(guān)系,被廣泛應(yīng)用于空間查詢和空間分析中。因此在概念層上,定義一個(gè)完備和互斥的、可以嵌入到空間查詢語言中的拓?fù)潢P(guān)系集合有著非常重要的意義。當(dāng)前,對(duì)拓?fù)?/p>