線性系統(tǒng)理論課件9

2.3線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性2.3.1Lyapunov函數(shù)的構(gòu)造考慮線性定常系統(tǒng)式中xRn,取V函數(shù)為二次型V(x)=xTPx其中P是對(duì)稱陣.則記1則這個(gè)方程稱為Lyapunov方程.則有若(2.3.1)漸近穩(wěn)定,則對(duì)于任給的Q>0,Lyapunov方程(2.3.2)有正定解P.分兩步證明這個(gè)結(jié)論.Lyapunov方程有對(duì)稱解的條件.有正定(對(duì)稱)解的條件.

先討論以下一般矩陣方程有解的條件AX+XB=C(2.3.3)2式中矩陣維數(shù)分別為Amm,Bnn,Cmn,Xmn.(2.3.3)等價(jià)于向量方程

式中,分別是矩陣X,C的行堆積成的mn1列向量,Im,

In分別是m,n階單位陣.設(shè)A的特征向量為i,相應(yīng)的特征向量為xi,i=1,…,m,

BT的特征向量為j,相應(yīng)的特征向量為yj,j=1,…,n.由直積的性質(zhì)得到3現(xiàn)選取=yi,=xi,則由上面兩式知是,的公共特征向量,因而它們的和的特征值為

i+j,而方程(2.3.4)即(2.3.3)有唯一解的充要條件是系數(shù)陣滿秩,即所有特征值i+j0,i,j.當(dāng)A,B為穩(wěn)定陣時(shí)(指A,B的特征值皆有負(fù)實(shí)部),方程(2.3.3)的解為4事實(shí)上,只要將上式代入(2.3.3)直接驗(yàn)證:當(dāng)方程(2.3.2)有唯一解時(shí),該解必是對(duì)稱的.事實(shí)上,將方程(2.3.2)轉(zhuǎn)置,有PTA+ATPT=-Q或?qū)懗葾TPT+PTA=-Q這表明,若P是方程(2.3.2)的解,PT也是它的解,由解的唯一性知必有PT=P,即P是對(duì)稱的.現(xiàn)在將上面的結(jié)論寫成下面的定理.5定理2.3.1如果線性系統(tǒng)(2.3.1)是漸近穩(wěn)定的,則對(duì)于任意給定的正定陣Q,Lyapunov方程ATP+PA=-Q有唯一正定解P.Proof:線性定常系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充要條件是A的特征值都具有負(fù)實(shí)部:Re<0.所以對(duì)于A的任意兩個(gè)特征值i,j必有i+j0,i,j.于是方程(2.3.2)有唯一對(duì)稱解.現(xiàn)證明解P是正定的,為此只要證明P不是1)負(fù)定2)半負(fù)定3)變號(hào)4)半正定即可.若P是1),2),3),則由定理2.2.3知原點(diǎn)不穩(wěn)定,與已知條件矛盾.現(xiàn)證P也不是半正定的.否則,若P是半正定的,則x00,使得6x0TPx0=0.由于將從V(x0)=x0TPx0=0變?yōu)樨?fù)值(對(duì)從相應(yīng)于x0的t0時(shí)刻到t積分),這與P半正定矛盾.證畢.為了擴(kuò)大定理2.3.1的應(yīng)用范圍，Q陣可以減弱為半正定的.為了證明這一結(jié)論需要引入下面幾個(gè)引理.先引入極限點(diǎn)的概念.給定系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程設(shè)由初始狀態(tài)x0決定的解為x(t)=x(t;x0).現(xiàn)將解x(t;x0)用集合的符號(hào)寫成(x0)={x|x=x(t;x0),-<t<}7定義2.3.1(極限點(diǎn))狀態(tài)空間的點(diǎn)q稱為點(diǎn)x0的極限點(diǎn)(或稱正極限點(diǎn)),如果存在時(shí)間序列tk(k),使得也就是說,在點(diǎn)q的任意小的鄰域內(nèi),對(duì)任意大的T而言,當(dāng)t>T時(shí),總有軌線x(t;x0)的點(diǎn)在這個(gè)鄰域內(nèi).點(diǎn)x0的極限點(diǎn)的全體稱為極限點(diǎn)集,記為((x0)),它表示x(t;x0)的目標(biāo)集合,即x(t;x0)最終達(dá)到的狀態(tài)的集合.8引理2.3.1給定點(diǎn)x0的極限點(diǎn)集合((x0))是由整條軌線組成的閉集合.引理2.3.2若在區(qū)域||x||<H內(nèi),存在一個(gè)正定函數(shù)V(x),由方程決定的V(x)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)半負(fù)定,如果在點(diǎn)集M={x|W(x)=0,||x||<H}上,除原點(diǎn)x=0外,不含系統(tǒng)的其他整軌線,則原點(diǎn)漸近穩(wěn)定.9證明:由于V(x)正定,,滿足定理2.2.1的條件,所以原點(diǎn)穩(wěn)定.由和V(x(t))0可知,V(x(t))單調(diào)遞減且有下界,因而存在極限:若p((x0)),即存在tk(k),使得由于V(x)連續(xù),所以因而有,這表明pM.由此可見((x0))M.由定理?xiàng)l件M中的整軌線只是10x=0,所以((x0))=((x0))M={0}此式表明,由任意點(diǎn)x0出發(fā)的軌線,其最終狀態(tài)都是x=0,即對(duì)任意x0有即系統(tǒng)原點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的.引理2.3.3若Q半正定(或半負(fù)定),則集合M={x|xTQx=0}除x=0外,不含系統(tǒng)(2.3.1)的整軌線的充要條件是rank[Q:ATQ|…|(AT)n-1Q]=n.(2.3.7)11證明:充分性:系統(tǒng)(2.3.1)由初始條件x(0)=x0確定的解為x(t)=eAtx0(2.3.8)設(shè)解(2.3.8)完全位于M內(nèi),即x(t)TQx(t)=0(2.3.9)由于x(t)TQx(t)=0

Qx(t)=0于是由(2.3.9)知Qx(t)=QeAtx0=0(2.3.10)在t=0處逐次微分(2.3.10)得到Qx0=0,QAx0=0,…QAn-1x0=0(2.3.11)將(2.3.11)寫成矩陣的形式為12由已知條件(2.3.7)知,必有x0=0,所以對(duì)任意的t有x(t)=eAtx0=0,這表明若x(t)位于M上,則x(t)=0.必要性:在引理的條件下,若仍有(2.3.7)不成立,則方程(2.3.12)有非零解x0,因此x(t)=eAtx0

0.考察13由(2.3.12)和Cayley-Hamiton定理知QeAtx0=0,進(jìn)而有x0T(eAt)TQeAtx0=0,這表明系統(tǒng)有非零解位于M={x|xTQx=0}內(nèi),與已知條件矛盾.證畢.定理2.3.2在rank[Q:ATQ|…|(AT)n-1Q]=n(2.3.13)的條件下,系統(tǒng)(2.3.1)漸近穩(wěn)定的充要條件是:任給半正定陣Q,Lyapunov方程ATP+PA=-Q有唯一正定解.14必要性:由于(2.3.1)漸近穩(wěn)定,所以A的特征值都有負(fù)實(shí)部,因此Lyapunov方程有唯一正定解.下面證明P正定.作二次型若在t=0處逐次微