直線與平面垂直（教學(xué)設(shè)計）

直線與平面垂直一、內(nèi)容和內(nèi)容解析內(nèi)容：直線與平面垂直的概念及判定定理、點到平面的距離及直線與平面所成的角．內(nèi)容解析：本節(jié)課選自《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書必修第二冊》（人教A版）第八章第6節(jié)第2課時的內(nèi)容．直線與平面垂直是直線與平面相交中的一種特殊情況，它是空間直線與直線垂直位置關(guān)系的拓展，又是平面與平面垂直的基礎(chǔ)，是空間垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化的核心，是研究空間中的直線與直線垂直關(guān)系和直線與平面垂直關(guān)系的中介.直線與平面垂直也是定義點到平面的距離、直線和平面所成的角、直線到平面的距離與兩個平行平面之間的距離等內(nèi)容的基礎(chǔ)，具有承上啟下的作用.直線與平面垂直是通過直線和平面內(nèi)的任意一條直線都垂直來定義的，定義本身也表明了直線與平面垂直的意義，即如果一條直線垂直于一個平面，那么這條直線就垂直于這個平面內(nèi)的所有有直線，這也可以看成是線線垂直的一個判定方法.直線與平面垂直的判定定理把定義中要求的與任意一條直線垂直轉(zhuǎn)化為只要求與兩條相交直線垂直，其中蘊含了由復(fù)雜向簡單，無限問題向有限問題，直線與平面垂直向直線與直線垂直的轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了以簡馭繁的策略.二、目標(biāo)和目標(biāo)解析目標(biāo)：（1）理解直線與平面垂直的意義，理解點到平面的距離、直線與平面所成的角的概念．（2）探索并了解直線與平面垂直的判定定理，能應(yīng)用判定定理證明直線和平面垂直的簡單問題，能求簡單的直線與平面所成的角．（3）在探索直線與平面垂直判定定理的過程中發(fā)展合情推理能力、感悟和體驗“空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題”“線面垂直轉(zhuǎn)化為線線重直”，進(jìn)一步感悟數(shù)學(xué)中以“以簡馭繁”的轉(zhuǎn)化思想．目標(biāo)解析：（1）學(xué)生通過實例直觀感知、操作確認(rèn)，抽象、歸納出直線與平面垂直的定義；知道點到平面的距離、直線和平面所成的角的概念，會在具體情境中找出并表示．（2）學(xué)生能通過直觀感知、操作確認(rèn)發(fā)現(xiàn)直線與平面垂直的判定定理，能在直線與平面垂直的情境中利用定義與判定定理證明直線與平面垂直，能結(jié)合直線與平面垂直的判定定理和直線與平面所成角的概念在具體情境中求直線和平面所成的角．（3）學(xué)生能理解證明直線與平面內(nèi)的所有直線垂直，只需證明該直線與這個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直即可，了解其中兩條相交直線在確定平面中的作用；知道求直線與平面所成的角可轉(zhuǎn)化為求兩條特殊直線所成的角等；能認(rèn)識到“直線與平面垂直的判定”與“直線與平面平行的判定”在知識結(jié)構(gòu)、學(xué)習(xí)方法等方面的邏輯一致性，體會研究空間位置關(guān)系的判定的一般思路和方法．基于上述分析，本節(jié)課的教學(xué)重點定為：直線與平面垂直定義的抽象與歸納，以及直線與平面垂直判定定理的發(fā)現(xiàn)與驗證.三、教學(xué)問題診斷分析1．教學(xué)問題一：雖然學(xué)生有直線與直線垂直和直線與平面垂直的生活經(jīng)驗和感知，但由于他們把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題來解決的意識和能力還不強(qiáng)，因而他們對于如何借助直線與直線垂直來刻畫直線與平面垂直還會遇到困難，更難用確切的數(shù)學(xué)語言刻畫直線與平面垂直.考慮到學(xué)生已有用“任意一個”來代替所有對象的數(shù)學(xué)經(jīng)驗，如“所有實數(shù)的平方都是非負(fù)數(shù)”與“任意一個實數(shù)的平方都是非負(fù)數(shù)”，教學(xué)時可在教師的提示下由學(xué)生自己得到直線與平面垂直的定義．2．教學(xué)問題二：對于直線與平面垂直的判定定理，學(xué)生通過探究和動手實踐、會初步認(rèn)識到當(dāng)直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直時，直線與這個平面垂直.但在缺少邏輯推理的情況下，如果馬上把這個猜想作為定理來對待，學(xué)生可能會懷疑結(jié)論的正確性.教學(xué)時需要引導(dǎo)學(xué)生通過親身的反復(fù)驗證并結(jié)合直線與平面垂直的定義進(jìn)行思辨來解決以上問題，也可以結(jié)合平面向量基本定理、讓學(xué)生體會利用“兩條相交直線”來判斷的合理性.基于上述情況，本節(jié)課的教學(xué)難點定為：發(fā)現(xiàn)并驗證直線與平面垂直的判定定理．四、教學(xué)策略分析本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)與教學(xué)問題為我們選擇教學(xué)策略提供了啟示．為了讓學(xué)生通過觀察、歸納得到直線與平面垂直的判定定理、點到平面的距離及直線與平面所成的角，應(yīng)該為學(xué)生創(chuàng)造積極探究的平臺．因此，在教學(xué)過程中多多借助生活中的實物模型可以讓學(xué)生從被動學(xué)習(xí)狀態(tài)轉(zhuǎn)到主動學(xué)習(xí)狀態(tài)中來．在教學(xué)設(shè)計中，采取問題引導(dǎo)方式來組織課堂教學(xué)．問題的設(shè)置給學(xué)生留有充分的思考空間，讓學(xué)生圍繞問題主線，通過自主探究達(dá)到突出教學(xué)重點，突破教學(xué)難點．在教學(xué)過程中，重視直線與平面垂直的判定定理的推導(dǎo)，讓學(xué)生體會到從一般到特殊的推導(dǎo)過程，同時，定理的證明與定理的應(yīng)用其實就是數(shù)學(xué)模型的建立與應(yīng)用的典范．因此，本節(jié)課的教學(xué)是實施數(shù)學(xué)具體內(nèi)容的教學(xué)與核心素養(yǎng)教學(xué)有機(jī)結(jié)合的嘗試．五、教學(xué)過程與設(shè)計教學(xué)環(huán)節(jié)問題或任務(wù)師生活動設(shè)計意圖復(fù)習(xí)回顧，溫故知新[問題1]如圖,在陽光下觀察直立于地面的旗桿AB及它在地面的影子BC.隨著時間的變化,影子BC的位置在不斷地變化，旗桿所在直線AB與其影子BC所在直線是否保持垂直?[問題2]對于地面上不過點B的任意一條直線B'C'，旗桿AB會與之垂直嗎？教師1：提出問題1．學(xué)生1：旗桿AB所在直線始終與影子BC所在直線垂直．教師2：提出問題2．學(xué)生2：旗桿AB所在直線與地面上任意一條直線都垂直．通過實例引入本節(jié)新課。建立知識間的聯(lián)系，提高學(xué)生概括、類比推理的能力。探索交流，解決問題[問題3]直線與平面垂直定義中的關(guān)鍵詞“任意一條直線”是否可以換成“所有直線”或“無數(shù)條直線”？[問題4]如圖,一塊三角形紙片ABC,過△ABC的頂點A翻折紙片.得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上(BD、DC與桌面接觸)(1)折痕AD與桌面垂直嗎?(2)如何翻折才能使折痕AD與桌面垂直?[問題5]若把定理中“兩條相交直線”改為“兩條直線”，直線與平面一定垂直嗎？[問題6]如果兩條平行線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面嗎？教師3：小結(jié)：直線與平面垂直的定義定義：如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直，直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面．它們唯一的公共點P叫做垂足。記法：l⊥α圖示：性質(zhì)：若a⊥α，b?α，則a⊥b.教師4：提出問題3．學(xué)生3：定義中的“任意一條直線”與“所有直線”是等效的，但是不可說成“無數(shù)條直線”，因為一條直線與某平面內(nèi)無數(shù)條平行直線垂直，該直線與這個平面不一定垂直..教師5：提出問題4．學(xué)生4：容易發(fā)現(xiàn)，AD所在直線與桌面所在平面α垂直(如下圖)的充要條件是折痕AD是BC邊上的高。這時，由于翻折之后垂直關(guān)系不變，所以直線AD與平面α內(nèi)的兩條相交直線BD、DC都垂直.學(xué)生5：小結(jié)：直線與平面垂直的判定（1）文字語言：如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直。（2）符號語言：l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，a∩b＝P?l⊥α。（3）圖形語言：教師6：提出問題5.學(xué)生6：當(dāng)這兩條直線平行時，直線可與平面平行或相交，不一定垂直.教師7：提出問題6.學(xué)生7：垂直教師8：小結(jié)：直線和平面所成角和平面相交，但不垂直的直線叫做平面的斜線，斜線和平面相交的交點叫做斜足，過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線,過垂足和斜足的直線稱為斜線在平面內(nèi)的射影.平面的斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的角叫做直線和平面所成的角.直線和平面所成角的取值范圍為：。注意：關(guān)鍵在于作線面垂直找射影。通過思考，進(jìn)一步理解直線與平面垂直的定義，提高學(xué)生分析問題、概括能力。通過思考，線面垂直的判定定理，提高學(xué)生分析問題、概括能力。通過探究，讓學(xué)生更形象的得到直線與平面垂直的判定定理，提高學(xué)生分析問題的能力。典例分析，舉一反三1.直線與平面垂直的證明例1.如圖，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，AE⊥PB于點E，AF⊥PC于點F.(1)求證：PC⊥平面AEF；(2)設(shè)平面AEF交PD于點G，求證：AG⊥PD.2.直線與平面所成的角例2.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，(1)求直線A1C與平面ABCD所成的角的正切值；(2)求直線A1B與平面BDD1B1所成的角．[課堂練習(xí)1]求證：如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直于這個平面.[課堂練習(xí)2]如圖，在正方體中，求直線和平面所成的角。教師9：完成例題1.學(xué)生8：(1)因為AB為⊙O的直徑，所以AM⊥BM.又PA⊥平面ABM，所以PA⊥BM.又因為PA∩AM＝A，所以BM⊥平面PAM.又AN?平面PAM，所以BM⊥AN.又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，所以AN⊥平面PBM.(2)由(1)知AN⊥平面PBM，PB?平面PBM，所以AN⊥PB.又因為AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，所以PB⊥平面ANQ.又NQ?平面ANQ，所以NQ⊥PB.教師10：完成例題2.學(xué)生9：(1)∵直線A1A⊥平面ABCD，∴∠A1CA為直線A1C與平面ABCD所成的角，設(shè)A1A＝1，則AC＝eq\r(2)，∴tan∠A1CA＝eq\f(\r(2),2).(2)連接A1C1交B1D1于O(見題圖)，在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1?平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1，又BB1∩B1D1＝B1，∴A1C1⊥平面BDD1B1，垂足為O.∴∠A1BO為直線A1B與平面BDD1B1所成的角，在Rt△A1BO中，A1O＝eq\f(1,2)A1C1＝eq\f(1,2)A1B，∴∠A1BO＝30°，即A1B與平面BDD1B1所成的角為30°.教師11：布置課堂練習(xí)1、2．學(xué)生10：完成課堂練習(xí)，并核對答案．通過例題1，進(jìn)一步鞏固直線與平面垂直的判定定理，提高學(xué)生的概括問題的能力、解決問題的能力。通過例題2進(jìn)一步鞏固直線與平面所成角的求法，提高學(xué)生的概括問題的能力、解決問題的能力。[課堂練習(xí)1]鞏固直線與平面垂直判定定理．[課堂練習(xí)2]鞏固直線和平面所成夾角.課堂小結(jié)升華認(rèn)知[問題7]通過這節(jié)課，你學(xué)到了什么知識？在解決問題時，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？[課后練習(xí)]1．直線l⊥平面α，直線m?α，則l與m不可能()A．平行B．相交C．異面D．垂直2.垂直于梯形兩腰的直線與梯形所在平面的位置關(guān)系是()A．垂直B．相交但不垂直C．平行D．不確定3.如圖所示，若斜線段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，則AB與平面α所成的角是()A．60°B．45°C．30°D．120°4.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求證：A1C⊥平面BC1D.教師12：提出問題7．學(xué)生11：學(xué)生