重慶市高考數(shù)試卷(文科)答案與解析

PAGEPAGE62015年重慶市高考數(shù)學(xué)試卷（文科）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．（5分）（2015?重慶）已知集合A={1，2，3}，B={1，3}，則A∩B=（）A．{2}B．{1，2}C．{1，3}D．{1，2，3}考點(diǎn)：交集及其運(yùn)算．專題：集合．分析：直接利用集合的交集的求法求解即可．解答：解：集合A={1，2，3}，B={1，3}，則A∩B={1，3}．故選：C．點(diǎn)評：本題考查交集的求法，考查計(jì)算能力．2．（5分）（2015?重慶）“x=1”是“x2﹣2x+1=0”的（）A．充要條件B．充分而不必要條件C．必要而不充分條件D．既不充分也不必要條件考點(diǎn)：充要條件．專題：簡易邏輯．分析：先求出方程x2﹣2x+1=0的解，再和x=1比較，從而得到答案．解答：解：由x2﹣2x+1=0，解得：x=1，故“x=1”是“x2﹣2x+1=0”的充要條件，故選：A．點(diǎn)評：本題考察了充分必要條件，考察一元二次方程問題，是一道基礎(chǔ)題．3．（5分）（2015?重慶）函數(shù)f（x）=log2（x2+2x﹣3）的定義域是（）A．[﹣3，1]B．（﹣3，1）C．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）考點(diǎn)：一元二次不等式的解法；對數(shù)函數(shù)的定義域．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；不等式．分析：利用對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0求得函數(shù)定義域．解答：解：由題意得：x2+2x﹣3＞0，即（x﹣1）（x+3）＞0解得x＞1或x＜﹣3所以定義域?yàn)椋ī仭蓿?）∪（1，+∞）故選D．點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的定義域的求法．屬簡單題型．高考?？碱}型．4．（5分）（2015?重慶）重慶市2013年各月的平均氣溫（℃）數(shù)據(jù)的莖葉圖如，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A．19B．20C．21.5D．23考點(diǎn)：莖葉圖．專題：概率與統(tǒng)計(jì)．分析：根據(jù)中位數(shù)的定義進(jìn)行求解即可．解答：解：樣本數(shù)據(jù)有12個，位于中間的兩個數(shù)為20，20，則中位數(shù)為，故選：B點(diǎn)評：本題主要考查莖葉圖的應(yīng)用，根據(jù)中位數(shù)的定義是解決本題的關(guān)鍵．比較基礎(chǔ)．5．（5分）（2015?重慶）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A．B．C．D．考點(diǎn)：由三視圖求面積、體積．專題：空間位置關(guān)系與距離．分析：利用三視圖判斷直觀圖的形狀，結(jié)合三視圖的數(shù)據(jù)，求解幾何體的體積即可．解答：解：由題意可知幾何體的形狀是放倒的圓柱，底面半徑為1，高為2，左側(cè)與一個底面半徑為1，高為1的半圓錐組成的組合體，幾何體的體積為：=．故選：B．點(diǎn)評：本題考查三視圖的作法，組合體的體積的求法，考查計(jì)算能力．6．（5分）（2015?重慶）若tanα=，tan（α+β）=，則tanβ=（）A．B．C．D．考點(diǎn)：兩角和與差的正切函數(shù)．專題：三角函數(shù)的求值．分析：由條件利用查兩角差的正切公式，求得tanβ=tan[（α+β）﹣α]的值．點(diǎn)評：本題主要考查線性規(guī)劃以及三角形面積的計(jì)算，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合三角形的面積公式是解決本題的關(guān)鍵．二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.11．（5分）（2015?重慶）復(fù)數(shù)（1+2i）i的實(shí)部為﹣2．考點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算；復(fù)數(shù)的基本概念．專題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．分析：利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則化簡為a+bi的形式，然后找出實(shí)部；注意i2=﹣1．解答：解：（1+2i）i=i+2i2=﹣2+i，所以此復(fù)數(shù)的實(shí)部為﹣2；故答案為：﹣2．點(diǎn)評：本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的認(rèn)識；注意i2=﹣1．屬于基礎(chǔ)題．12．（5分）（2015?重慶）若點(diǎn)P（1，2）在以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的圓上，則該圓在點(diǎn)P處的切線方程為x+2y﹣5=0．考點(diǎn)：圓的切線方程；直線與圓的位置關(guān)系．專題：直線與圓．分析：由條件利用直線和圓相切的性質(zhì)，兩條直線垂直的性質(zhì)求出切線的斜率，再利用點(diǎn)斜式求出該圓在點(diǎn)P處的切線的方程．解答：解：由題意可得OP和切線垂直，故切線的斜率為﹣==﹣，故切線的方程為y﹣2=﹣（x﹣1），即x+2y﹣5=0，故答案為：x+2y﹣5=0．點(diǎn)評：本題主要考查直線和圓相切的性質(zhì)，兩條直線垂直的性質(zhì)，用點(diǎn)斜式求直線的方程，屬于基礎(chǔ)題．13．（5分）（2015?重慶）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a=2，cosC=﹣，3sinA=2sinB，則c=4．考點(diǎn)：正弦定理的應(yīng)用．專題：解三角形．分析：由3sinA=2sinB即正弦定理可得3a=2b，由a=2，即可求得b，利用余弦定理結(jié)合已知即可得解．解答：解：∵3sinA=2sinB，∴由正弦定理可得：3a=2b，∵a=2，∴可解得b=3，又∵cosC=﹣，∴由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC=4+9﹣2×=16，∴解得：c=4．故答案為：4．點(diǎn)評：本題主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．14．（5分）（2015?重慶）設(shè)a，b＞0，a+b=5，則的最大值為3．考點(diǎn)：函數(shù)最值的應(yīng)用．專題：計(jì)算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：利用柯西不等式，即可求出的最大值．解答：解：由題意，（）2≤（1+1）（a+1+b+3）=18，∴的最大值為3，故答案為：3．點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的最值，考查柯西不等式的運(yùn)用，正確運(yùn)用柯西不等式是關(guān)鍵．15．（5分）（2015?重慶）在區(qū)間[0，5]上隨機(jī)地選擇一個數(shù)p，則方程x2+2px+3p﹣2=0有兩個負(fù)根的概率為．考點(diǎn)：幾何概型．專題：開放型；概率與統(tǒng)計(jì)．分析：由一元二次方程根的分布可得p的不等式組，解不等式組，由長度之比可得所求概率．解答：解：方程x2+2px+3p﹣2=0有兩個負(fù)根等價于，解關(guān)于p的不等式組可得＜p≤1或p≥2，∴所求概率P==故答案為：點(diǎn)評：本題考查幾何概型，涉及一元二次方程根的分布，屬基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共6小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．16．（12分）（2015?重慶）已知等差數(shù)列{an}滿足a3=2，前3項(xiàng)和S3=．（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)等比數(shù)列{bn}滿足b1=a1，b4=a15，求{bn}前n項(xiàng)和Tn．考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則由已知條件列式求得首項(xiàng)和公差，代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案；（Ⅱ）求出，再求出等比數(shù)列的公比，由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求得{bn}前n項(xiàng)和Tn．解答：解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則由已知條件得：，解得．代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得：；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，．設(shè){bn}的公比為q，則，從而q=2，故{bn}的前n項(xiàng)和．點(diǎn)評：本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，是中檔題．17．（13分）（2015?重慶）隨著我國經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，居民的儲蓄存款逐年增長．設(shè)某地區(qū)城鄉(xiāng)居民人民幣儲蓄存款（年底余額）如下表：年份20102011201220132014時間代號t12345儲蓄存款y（千億元）567810（Ⅰ）求y關(guān)于t的回歸方程=t+．（Ⅱ）用所求回歸方程預(yù)測該地區(qū)2015年（t=6）的人民幣儲蓄存款．附：回歸方程=t+中．考點(diǎn)：回歸分析的初步應(yīng)用．專題：計(jì)算題；概率與統(tǒng)計(jì)．分析：（Ⅰ）利用公式求出a，b，即可求y關(guān)于t的回歸方程=t+．（Ⅱ）t=6，代入回歸方程，即可預(yù)測該地區(qū)2015年的人民幣儲蓄存款．解答：解：（Ⅰ）由題意，=3，=7.2，=55﹣5×32=10，=120﹣5×3×7.2=12，∴=1.2，=7.2﹣1.2×3=3.6，∴y關(guān)于t的回歸方程=1.2t+3.6．（Ⅱ）t=6時，=1.2×6+3.6=10.8（千億元）．點(diǎn)評：本題考查線性回歸方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．18．（13分）（2015?重慶）已知函數(shù)f（x）=sin2x﹣cos2x．（Ⅰ）求f（x）的最小周期和最小值；（Ⅱ）將函數(shù)f（x）的圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的兩倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)g（x）的圖象．當(dāng)x∈時，求g（x）的值域．考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．分析：（Ⅰ）由三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得f（x）=sin（2x﹣）﹣，從而可求最小周期和最小值；（Ⅱ）由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換可得g（x）=sin（x﹣）﹣，由x∈[，π]時，可得x﹣的范圍，即可求得g（x）的值域．解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=sin2x﹣cos2x=sin2x﹣（1+cos2x）=sin（2x﹣）﹣，∴f（x）的最小周期T==π，最小值為：﹣1﹣=﹣．（Ⅱ）由條件可知：g（x）=sin（x﹣）﹣當(dāng)x∈[，π]時，有x﹣∈[，]，從而sin（x﹣）的值域?yàn)閇，1]，那么sin（x﹣）﹣的值域?yàn)椋篬，]，故g（x）在區(qū)間[，π]上的值域是[，]．點(diǎn)評：本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，屬于基本知識的考查．19．（12分）（2015?重慶）已知函數(shù)f（x）=ax3+x2（a∈R）在x=處取得極值．（Ⅰ）確定a的值；（Ⅱ）若g（x）=f（x）ex，討論g（x）的單調(diào)性．考點(diǎn)：函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件．專題：綜合題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，利用f（x）=ax3+x2（a∈R）在x=處取得極值，可得f′（﹣）=0，即可確定a的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）得g（x）=（x3+x2）ex，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可得g（x）的單調(diào)性．解答：解：（Ⅰ）對f（x）求導(dǎo)得f′（x）=3ax2+2x．∵f（x）=ax3+x2（a∈R）在x=處取得極值，∴f′（﹣）=0，∴3a?+2?（﹣）=0，∴a=；（Ⅱ）由（Ⅰ）得g（x）=（x3+x2）ex，∴g′（x）=（x2+2x）ex+（x3+x2）ex=x（x+1）（x+4）ex，令g′（x）=0，解得x=0，x=﹣1或x=﹣4，當(dāng)x＜﹣4時，g′（x）＜0，故g（x）為減函數(shù)；當(dāng)﹣4＜x＜﹣1時，g′（x）＞0，故g（x）為增函數(shù)；當(dāng)﹣1＜x＜0時，g′（x）＜0，故g（x）為減函數(shù)；當(dāng)x＞0時，g′（x）＞0，故g（x）為增函數(shù)；綜上知g（x）在（﹣∞，﹣4）和（﹣1，0）內(nèi)為減函數(shù)，在（﹣4，﹣1）和（0，+∞）內(nèi)為增函數(shù)．點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值，考查分類討論的思想方法，以及函數(shù)和方程的轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．20．（12分）（2015?重慶）如題圖，三棱錐P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠ABC=，點(diǎn)D、E在線段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，點(diǎn)F在線段AB上，且EF∥BC．（Ⅰ）證明：AB⊥平面PFE．（Ⅱ）若四棱錐P﹣DFBC的體積為7，求線段BC的長．考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定；棱柱、棱錐、棱臺的體積．專題：開放型；空間位置關(guān)系與距離．分析：（Ⅰ）由等腰三角形的性質(zhì)可證PE⊥AC，可證PE⊥AB．又EF∥BC，可證AB⊥EF，從而AB與平面PEF內(nèi)兩條相交直線PE，EF都垂直，可證AB⊥平面PEF．（Ⅱ）設(shè)BC=x，可求AB，S△ABC，由EF∥BC可得△AFE≌△ABC，求得S△AFE=S△ABC，由AD=AE，可求S△AFD，從而求得四邊形DFBC的面積，由（Ⅰ）知PE為四棱錐P﹣DFBC的高，求得PE，由體積VP﹣DFBC=SDFBC?PE=7，即可解得線段BC的長．解答：解：（Ⅰ）如圖，由DE=EC，PD=PC知，E為等腰△PDC中DC邊的中點(diǎn)，故PE⊥AC，又平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，PE?平面PAC，PE⊥AC，所以PE⊥平面ABC，從而PE⊥AB．因?yàn)椤螦BC=，EF∥BC，故AB⊥EF，從而AB與平面PEF內(nèi)兩條相交直線PE，EF都垂直，所以AB⊥平面PEF．（Ⅱ）設(shè)BC=x，則在直角△ABC中，AB==，從而S△ABC=AB?BC=x，由EF∥BC知，得△AFE≌△ABC，故=（）2=，即S△AFE=S△ABC，由AD=AE，S△AFD==S△ABC=S△ABC=x，從而四邊形DFBC的面積為：SDFBC=S△ABC﹣SAFD=x﹣x=x．由（Ⅰ）知，PE⊥平面ABC，所以PE為四棱錐P﹣DFBC的高．在直角△PEC中，PE===2，故體積VP﹣DFBC=SDFBC?PE=x=7，故得x4﹣36x2+243=0，解得x2=9或x2=27，由于x＞0，可得x=3或x=3．所以：BC=3或BC=3．點(diǎn)評：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，棱柱、棱錐、棱臺的體積的求法，考查了空間想象能力和推理論證能力，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．21．（13分）（2015?重慶）如題圖，橢圓=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，且過F2的直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，且PQ⊥PF1．（Ⅰ）若|PF1|=2+，|PF2|=2﹣，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（Ⅱ）若|PQ|=λ|PF1|，且≤λ＜，試確定橢圓離心率e的取值范圍．考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)．專題：開放型；圓錐曲線中的最值與范圍問題．分析：（I）由橢圓的定義可得：2a=|