考研數(shù)學(xué)三真題與全面解析

...wd......wd......wd...1990年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題一、填空題(此題總分值15分,每題3分.把答案填在題中橫線上.)(1)極限_________.(2)設(shè)函數(shù)有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù),,假設(shè)函數(shù)在處連續(xù),則常數(shù)=___________.(3)曲線與直線所圍成的平面圖形的面積為_________.(4)假設(shè)線性方程組有解,則常數(shù)應(yīng)滿足條件________.(5)一射手對同一目標(biāo)獨立地進(jìn)展四次射擊,假設(shè)至少命中一次的概率為,則該射手的命中率為________.二、選擇題(此題總分值15分,每題3分.每題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).)(1)設(shè)函數(shù),則是()(A)偶函數(shù)(B)無界函數(shù)(C)周期函數(shù)(D)單調(diào)函數(shù)(2)設(shè)函數(shù)對任意均滿足等式,且有其中為非零常數(shù),則()(A)在處不可導(dǎo)(B)在處可導(dǎo),且(C)在處可導(dǎo),且(D)在處可導(dǎo),且(3)向量組線性無關(guān)的充分條件是()(A)均不為零向量(B)中任意兩個向量的分量不成比例(C)中任意一個向量均不能由其余個向量線性表示(D)中有一局部向量線性無關(guān)(4)設(shè)為兩隨機(jī)事件,且,則以下式子正確的選項是()(A)(B)(C)(D)(5)設(shè)隨機(jī)變量和相互獨立,其概率分布為-11-11則以下式子正確的選項是()(A)(B)(C)(D)三、計算題(此題總分值20分,每題5分.)(1)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值.(2)計算二重積分,其中是曲線和在第一象限所圍成的區(qū)域.(3)求級數(shù)的收斂域.(4)求微分方程的通解.四、(此題總分值9分)某公司可通過電臺及報紙兩種形式做銷售某種商品的廣告,根據(jù)統(tǒng)計資料,銷售收入(萬元)與電臺廣告費用(萬元)及報紙廣告費用(萬元)之間的關(guān)系有如下經(jīng)歷公式:(1)在廣告費用不限的情況下,求最優(yōu)廣告策略；(2)假設(shè)提供的廣告費用為1.5萬元,求相應(yīng)的最優(yōu)廣告策略.五、(此題總分值6分)設(shè)在閉區(qū)間上連續(xù),其導(dǎo)數(shù)在開區(qū)間內(nèi)存在且單調(diào)減少；,試應(yīng)用拉格朗日中值定理證明不等式:,其中常數(shù)滿足條件.六、(此題總分值8分)線性方程組(1)為何值時,方程組有解?(2)方程組有解時,求出方程組的導(dǎo)出組的一個根基解系；(3)方程組有解時,求出方程組的全部解.七、(此題總分值5分)對于階方陣,存在自然數(shù),使得,試證明矩陣可逆,并寫出其逆矩陣的表達(dá)式(為階單位陣).八、(此題總分值6分)設(shè)是階矩陣,和是的兩個不同的特征值,是分別屬于和的特征向量.試證明不是的特征向量.九、(此題總分值4分)從十個數(shù)字中任意選出三個不同數(shù)字,試求以下事件的概率：{三個數(shù)字中不含0和5}；{三個數(shù)字中不含0或5}.十、(此題總分值5分)一電子儀器由兩個部件構(gòu)成,以和分別表示兩個部件的壽命(單位:千小時),和的聯(lián)合分布函數(shù)為:問和是否獨立?求兩個部件的壽命都超過100小時的概率.十一、(此題總分值7分) 某地抽樣調(diào)查結(jié)果說明,考生的外語成績(百分制)近似服從正態(tài)分布,平均成績?yōu)?2分,96分以上的占考生總數(shù)的2.3%,試求考生的外語成績在60分至84分之間的概率.[附表]00.51.01.52.02.53.00.5000.6920.8410.9330.9770.9940.999表中是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù).1990年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題解析一、填空題(此題總分值15分,每題3分.)(1)【答案】【解析】對原式進(jìn)展分子有理化,分子分母同乘以有理化因子.,再分子分母同時除以,有原式.因為,其中為常數(shù),所以原式(2)【答案】【解析】由于在處連續(xù),故.為“〞型的極限未定式,又在點處導(dǎo)數(shù)存在,所以.【相關(guān)知識點】函數(shù)在點連續(xù)：設(shè)函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)有定義,如果則稱函數(shù)在點連續(xù).(3)【答案】【解析】O2先解出兩條曲線在平面的交點,即令,O2解得和,故所圍成的平面圖形如右圖所示:所求面積為(4)【答案】【解析】由于方程組有解,對作初等行變換,第一行乘以加到第四行上,有,第二行加到第四行上,再第三行乘以加到第四行上,有.為使,常數(shù)應(yīng)滿足條件:.【相關(guān)知識點】非齊次線性方程組有解的判定定理：設(shè)是矩陣,線性方程組有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩,即是(或者說,可由的列向量線表出,亦等同于與是等價向量組).設(shè)是矩陣,線性方程組,則有唯一解有無窮多解無解不能由的列向量線表出.(5)【答案】【解析】這是一個四重伯努利試驗概率模型,設(shè)試驗的成功率即射手的命中率為,則進(jìn)展四次獨立的射擊,設(shè)事件為“射手命中目標(biāo)的次數(shù)〞,服從參數(shù)的二項分布,由二項分布的概率公式,事件“四次均不中〞的概率為,它是至少命中一次的對立事件.依題意.此題的另一種分析方法是用隨機(jī)變量表示獨立地進(jìn)展射擊中命中目標(biāo)的次數(shù),表示一次射擊的命中率,則,依題意即【相關(guān)知識點】二項分布的概率公式：假設(shè),則,.二、選擇題(此題總分值15分,每題3分.)(1)【答案】(B)【解析】由于,而,所以,,故無界.或考察在的函數(shù)值,有,可見是無界函數(shù).應(yīng)選(B).以下證明其他結(jié)論均不正確.由,知(A)不正確；由,而,知(D)不正確.證明(C)不正確可用反證法.設(shè),于是的定義域為且的全部零點為假設(shè)以為周期,則有令有即.從而,其中為某一正數(shù).于是也是的周期.代入即得,對有這說明在上成立,于是在上成立,導(dǎo)致了矛盾.故不可能是周期函數(shù).【相關(guān)知識點】極限的四則運(yùn)算法則:假設(shè),,則有.(2)【答案】(D)【解析】通過變量代換或按定義由關(guān)系式將在的可導(dǎo)性與在的可導(dǎo)性聯(lián)系起來.令,則.由復(fù)合函數(shù)可導(dǎo)性及求導(dǎo)法則,知在可導(dǎo),且,因此,應(yīng)選(D).【相關(guān)知識點】復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則:如果在點可導(dǎo),而在點可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)在點可導(dǎo),且其導(dǎo)數(shù)為或.(3)【答案】(C)【解析】此題考察線性無關(guān)的概念與理論,以及充分必要性條件的概念.(A)(B)(D)均是必要條件,并非充分條件.也就是說,向量組線性無關(guān),可以推導(dǎo)出(A)(B)(D)選項,但是不能由(A)(B)(D)選項中的任意一個推導(dǎo)出向量組線性無關(guān).例如:顯然有,該向量組線性相關(guān).但(A)(B)(D)均成立.根據(jù)“線性相關(guān)的充分必要條件是存在某可以由線性表出.〞或由“線性無關(guān)的充分必要條件是任意一個均不能由線性表出.〞應(yīng)選(C).(4)【答案】A【解析】由于,所以,于是有.故此題選A.對于B選項,因為,所以事件發(fā)生,則事件必然發(fā)生,所以,而不是,故B錯.對于C選項,因為,由條件概率公式,當(dāng)是相互獨立的事件時,才會有；所以C錯.對于D選項,因為,所以事件發(fā)生事件不發(fā)生是個不可能事件,故,所以(D)錯.(5)【答案】(C)【解析】由離散型隨機(jī)變量概率的定義,有.故此題選(C).而(B)、(D)選項是錯誤的.對于(A)選項,題目中只說了隨機(jī)變量和相互獨立,且他們的概率分布一樣,但是二者是不同的事件,并不能說事件與事件是同一事件.故(A)錯.三、計算題(此題總分值20分,每題5分.)(1)【解析】在上,,故函數(shù)在上單調(diào)增加,最大值為.由,有.【相關(guān)知識點】1.對積分上限的函數(shù)的求導(dǎo)公式：假設(shè),,均一階可導(dǎo),則.2.假定與均具有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù),則或者(2)【解析】區(qū)域是無界函數(shù),設(shè),不難發(fā)現(xiàn),當(dāng)時有,從而(3)【解析】因系數(shù),故,這樣,冪級數(shù)的收斂半徑.因此當(dāng),即時級數(shù)絕對收斂.當(dāng)時,得交織級數(shù)；當(dāng)時,得正項級數(shù),二者都收斂,于是原級數(shù)的收斂域為.【相關(guān)知識點】1.求收斂半徑的方法：如果,其中是冪級數(shù)的相鄰兩項的系數(shù),則這冪級數(shù)的收斂半徑2.交織級數(shù)的萊布尼茨判別法：設(shè)交織級數(shù)滿足：(1)(2)則收斂,且其和滿足余項3．級數(shù)：當(dāng)時收斂；當(dāng)時發(fā)散.(4)【解析】方法1:所給方程為一階線性微分方程,可直接利用通解公式求解..方法2:用函數(shù)同乘方程兩端,構(gòu)造成全微分方程.方程兩端同乘,得,再積分一次得.最后,再用同乘上式兩端即得通解.【相關(guān)知識點】一階線性非齊次方程的通解為,其中為任意常數(shù).四、(此題總分值9分)【解析】(1)利潤為銷售收入減去本錢,所以利潤函數(shù)為由多元函數(shù)極值點的必要條件,有因駐點惟一,且實際問題必有最大值,故投入電臺廣告費用0.75萬元,報紙廣告費用1.25萬元可獲最大利潤.(2)假設(shè)廣告費用為1.5萬元,則應(yīng)當(dāng)求利潤函數(shù)(與(1)中解析式一樣)在時的條件最大值.拉格朗日函數(shù)為由因駐點惟一,且實際問題必有最大值,故應(yīng)將廣告費1.5萬元全部用于報紙廣告,可使利潤最大.【相關(guān)知識點】拉格朗日乘數(shù)法:要找函數(shù)在附加條件下的可能極值點,可以先作拉格朗日函數(shù)其中為參數(shù).求其對與的一階偏導(dǎo)數(shù),并使之為零,然后與附加條件聯(lián)立起來：由這方程組解出及,這樣得到的就是函數(shù)在附加條件下的可能極值點.五、(此題總分值6分)【解析】方法1:當(dāng)時,,即不等式成立；假設(shè),因為其中.又單調(diào)減少,故.從而有,即.方法2:構(gòu)造輔助函數(shù),將式子移到不等式右邊,再將視為變量,得輔助函數(shù)令,由于,所以,又因為且,在單調(diào)減少,所以,于是在上單調(diào)遞增,故,即,其中.【相關(guān)知識點】拉格朗日中值定理：如果函數(shù)滿足在閉區(qū)間上連續(xù)；在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),那么在內(nèi)至少有一點,使等式成立.六、(此題總分值8分)【解析】此題中,方程組有解.(相關(guān)定理見第一題(4))對增廣矩陣作初等行變換,第一行乘以、分別加到第二、四行上,有,第二行乘以、分別加到第三、四行上,第二行再自乘,有(1)當(dāng)且,即時方程組有解.(2)當(dāng)時,方程組的同解方程組是由,即解空間的維數(shù)為3.取自變量為,則導(dǎo)出組的根基解系為.(3)令,得方程組的特解為.因此,方程組的所有解是,其中為任意常數(shù).【相關(guān)知識點】假設(shè)、是對應(yīng)齊次線性方程組的根基解系,則的通解形式為其中是的根基解系,是的一個特解.七、(此題總分值5分)【解析】假設(shè)、是階矩陣,且則必有于是按可逆的定義知.如果對特征值熟悉,由可知矩陣的特征值全是0,從而的特征值全是1,也就能證明可逆.由于,故.所以可逆,且.八、(此題總分值6分)【解析】(反證法)假設(shè)是的特征向量,它所對應(yīng)的特征值為,則由定義有：.由又有.兩式相減得.由,知不全為0,于是線性相關(guān),這與不同特征值的特征向量線性無關(guān)相矛盾.所以,不是的特征向量.【相關(guān)知識點】矩陣特征值與特征向量的定義：設(shè)是階矩陣,假設(shè)存在數(shù)及非零的維列向量使得成立,則稱是矩陣的特征值,稱非零向量是矩陣的特征向量.九、(此題總分值4分)【解析】樣本空間含樣本點總數(shù)為；即十個數(shù)字任意選三個有多少種選擇方案.有利于事件的樣本點數(shù)為；十個數(shù)字除去0和5任意選三個有多少種選擇方案.有利于事件的樣本點數(shù)為；十個數(shù)字除去0任意選三個的選擇方案和十個數(shù)字除去5任意選三個的選擇方案再減去中間多算了一次的方法數(shù),即是事件被加了兩次,所以應(yīng)該減去.由古