數(shù)形結(jié)合解題的幾個(gè)誤區(qū)

數(shù)形結(jié)合解題的

數(shù)與形是初等數(shù)學(xué)的兩大研究對(duì)象，數(shù)形結(jié)合是高中階段一種很重要的數(shù)學(xué)思想方法，形是數(shù)的翅膀，數(shù)是形的靈魂，正可謂“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”。恰當(dāng)?shù)貞?yīng)用數(shù)形結(jié)合可以使問題得以高質(zhì)高效的解決，但同時(shí)數(shù)形結(jié)合也是解題的一把雙刃劍，學(xué)生往往在數(shù)與形轉(zhuǎn)換過程中，稍有不慎，就會(huì)步入數(shù)形結(jié)合解題的誤區(qū)。幾個(gè)誤區(qū)例1求函數(shù)的值域。解法1

題目的結(jié)構(gòu)像斜率公式，故取A(tx,t2x2),B(1,-3)，則A在拋物線y=x2上，問題轉(zhuǎn)化為求拋物線上動(dòng)點(diǎn)A與定點(diǎn)B的連線的斜率的變化范圍（如圖1）。

設(shè)過B(1,-3)的直線方程為y=k(x-1)-3，代入拋物線方程，得x2-kx+k+3=0，其判別式非負(fù)，△=k2-4k-12≥0，解得k≥6或k≤-2，所以函數(shù)的值域?yàn)椋?∞,-2]U[6,+∞)。一、濫用數(shù)形結(jié)合Ay·A·OB·x圖1

本題對(duì)數(shù)與形之間的分析是準(zhǔn)確的，但理解其實(shí)質(zhì)步驟后可知，解題的關(guān)鍵是對(duì)二次方程x2-kx+k+3=0討論判別式，而這可由原式直接得到。剖析

解法2

原式可化為t2x2-ytx+y+3=0，有△=y2t2-4t2(y+3)≥0，且t2≥0，化簡(jiǎn)得y2-4y-12≥0，解得y≥6或y≤-2。評(píng)注

用數(shù)形結(jié)合思想指導(dǎo)解題，應(yīng)該達(dá)到簡(jiǎn)潔明快的目的，如果達(dá)不到這種效果，甚至造成解法更為繁瑣，那就無異于畫蛇添足，失去數(shù)形結(jié)合的意義，所以解題時(shí)切忌不問是否需要，強(qiáng)行‘結(jié)合’。二、作圖不準(zhǔn)確例2求方程sinx=x根的個(gè)數(shù)是（）

A、1 B、2 C、3 D、5錯(cuò)解

在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=sinx，與y=x的圖象如圖2，由圖選C。yx0圖2

此題錯(cuò)在作圖不準(zhǔn)確，因?yàn)樵?0,1)內(nèi)，sinx＜x，且在[1,+∞)內(nèi)，sinx＜x所以在(0,+∞)內(nèi)，函數(shù)y=sinx圖象在y=x的圖象下方，無交點(diǎn)，有奇函數(shù)的性質(zhì)知在(-∞,0)內(nèi)也無交點(diǎn)，故選A。剖析

√例3函數(shù)y=|x2-1|+1的圖象與函數(shù)y=2x的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為

A、1 B、2 C、3 D、4錯(cuò)解

在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=|x2-1|+1與函數(shù)y=2x的圖象如圖3，選B。

此題錯(cuò)在作圖不準(zhǔn)確，因?yàn)楫?dāng)x＞2時(shí)，x2＞2x不一定成立。剖析

y圖30xE642

由于x大到一定程度時(shí)，指數(shù)型增大的速度比冪函數(shù)增大的速度快（可以從導(dǎo)函數(shù)推出），所以在(2,+∞)區(qū)域上還有一個(gè)交點(diǎn)，如圖4，故選C。例3函數(shù)y=|x2-1|+1的圖象與函數(shù)y=2x的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為

A、1 B、2 C、3 D、4√0xE(2,4)y205圖41510A(4,16)··評(píng)注

有時(shí)在草稿紙上畫一張草圖，就能幫助我們正確的理解題意和分析問題，迅速找到解題思路。但是我們必須充分意識(shí)到，如果對(duì)數(shù)據(jù)缺乏科學(xué)的分析，僅憑隨意的幾何作圖，常會(huì)導(dǎo)出錯(cuò)誤的答案。因此我們畫圖時(shí)一定要特別注意交點(diǎn)的位置及圖象上方下方的相對(duì)位置等情況。三、數(shù)形轉(zhuǎn)換不等價(jià)例4已知cos2α+cos2β+2sinα+2sinβ=0，求t=sinα+sinβ的取值范圍

。錯(cuò)解

由所求的目標(biāo)表達(dá)式可知先把已知等式變形為同名三角式（正弦）（sinα-1）2+（sinβ-1）2=4，令u=sinα，v=sinβ，則點(diǎn)(u,v)對(duì)應(yīng)的軌跡是以(1,1)為圓心，2為半徑的圓，如圖5，函數(shù)t=u+v與之有交點(diǎn)，在v軸上的截距t∈[2-2，2+2]。·0uu=v52+22-2v圖5

此題在設(shè)u=sinα，v=sinβ時(shí)，忽視了u,v的取值范圍，即-1≤u≤1，-1≤v≤1，而此導(dǎo)致作圖出現(xiàn)錯(cuò)誤，正確的圖形應(yīng)為一段圓弧，如圖6的實(shí)線部分，函數(shù)t=u+v的圖象與之有交點(diǎn)，直線v=-u+t在v軸上的截距t∈[2-2，0]。剖析

·0uu=v52-2(1,1)圖6v例5已知橢圓（a＞b＞0），從中心作兩條互相垂直的弦AC，BD，順次連結(jié)A,B,C,D得一四邊形，記其面積為S，求S的最小值。錯(cuò)解

先畫出圖形，如圖7，由對(duì)稱性可知，四邊形為菱形，由橢圓的參數(shù)方程可設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為A(acosθ,bsinθ),其中0≤θ≤。ABCDoxy圖7由OA⊥OB得點(diǎn)B坐標(biāo)為化簡(jiǎn)為B(-asinθ,bcosθ),則S=4S△AOB=2OA·OB

當(dāng)sin2θ=0時(shí)取等號(hào)S有最小值2ab.ABCDoxy圖7

這個(gè)解法把參數(shù)方程中的θ誤認(rèn)為OA的傾斜角，得出的B坐標(biāo)是錯(cuò)的，結(jié)論當(dāng)然也錯(cuò)了，正確的解法如下：設(shè)OA=r1,OB=r2點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為A(r1cosθ,r1sinθ),B(r2cos(θ+),r2sin(θ+)),即B(-r2sinθ,r2cosθ),分別代入橢圓方程并聯(lián)立化簡(jiǎn)得

即，當(dāng)且僅當(dāng)r1=r2時(shí)取等號(hào)，即點(diǎn)A在直線y=x上時(shí)S有最小值。由上面的分析可知，數(shù)形結(jié)合解題時(shí)要注意數(shù)形轉(zhuǎn)換的等價(jià)性、簡(jiǎn)潔性