隨機(jī)過程在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用

/隨機(jī)過程在經(jīng)濟(jì)學(xué)的應(yīng)用一、隨機(jī)過程概述隨機(jī)過程是由一組無(wú)限多個(gè)隨機(jī)變量組成的序列，是用來(lái)描繪一連串隨機(jī)事件動(dòng)態(tài)關(guān)系的序列。隨機(jī)過程論語(yǔ)其他數(shù)學(xué)分支如位勢(shì)論、微分方程、力學(xué)及復(fù)變函數(shù)論鄧有密切的關(guān)系，是在自然科學(xué)、工程科學(xué)及社會(huì)科學(xué)各領(lǐng)域研究隨機(jī)現(xiàn)象的重要工具。隨機(jī)過程論目前已得到廣泛的應(yīng)用，在諸多如天氣預(yù)報(bào)、統(tǒng)計(jì)物理、天體物理、運(yùn)籌決策、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)、安全科學(xué)、人口理論、可靠性及計(jì)算機(jī)科學(xué)等很多領(lǐng)域都要經(jīng)常用到隨機(jī)過程的理論來(lái)建立數(shù)學(xué)模型。隨機(jī)過程的概念很廣泛，其研究幾乎包括概率論的全部。在客觀世界中有些隨機(jī)現(xiàn)象表示的是事物隨機(jī)變化的過程，不能用隨機(jī)變量和速記矢量來(lái)描繪，需要用一族無(wú)限多個(gè)隨見變量來(lái)描述，這就是隨機(jī)過程。定義：設(shè)（Ω，F(xiàn)，P）是一個(gè)概率空間，T是一個(gè)實(shí)數(shù)集。{X（t，w），t∈T，w∈Ω}即為定義在T和Ω上的二元函數(shù)，若此函數(shù)對(duì)任意固定的t∈T，X（w，t）是任意（Ω，F(xiàn)，P）上的隨機(jī)變量，則稱{X（t，w），t∈T，w∈Ω}是隨機(jī)過程（StochasticProcess）。在研究隨機(jī)過程是人們透過表面的偶然性描述出必然的內(nèi)在規(guī)律并以概率的形式來(lái)描述這些規(guī)律，從偶然中悟出必然正是這一學(xué)科的魅力所在。二、隨機(jī)過程發(fā)展簡(jiǎn)史概率論的起源與博弈問題有關(guān)，而隨機(jī)過程這一學(xué)科最早是起源于對(duì)物理學(xué)的研究，如布吉斯、玻爾茲曼、龐加萊等人對(duì)統(tǒng)計(jì)力學(xué)的研究，及后來(lái)愛因斯坦、維納、萊維等人對(duì)布朗運(yùn)動(dòng)的開創(chuàng)性工作。氣體分子運(yùn)動(dòng)是，由于相互碰撞等原因而迅速改變自己的位置與速度，其運(yùn)動(dòng)的過程是隨機(jī)的。人們希望知道，運(yùn)動(dòng)的軌道有什么性質(zhì)（能否連續(xù)、可微的等等）；分子從一點(diǎn)出發(fā)能達(dá)到某區(qū)域的概率有多大；如果有兩類分子同時(shí)運(yùn)動(dòng)，由于擴(kuò)散而互相滲透，那么擴(kuò)散是如何進(jìn)行的，要經(jīng)過多久其混合才會(huì)變得均勻這些實(shí)際問題的數(shù)學(xué)抽象為隨機(jī)過程論提供了研究的課題。1900年，Bachelier首次將布朗運(yùn)動(dòng)用與股票價(jià)格的描述。隨后公式化概率論首先使得隨機(jī)過程的研究獲得了新的起點(diǎn)，他是作為隨機(jī)變化的偶然量的數(shù)學(xué)模型，是線代概率論研究的主要論題。1907年前后，A.A.馬爾可夫研究過一列有特定相依性的隨機(jī)變量，后人稱之為馬爾可夫鏈。這是一種無(wú)后效性隨機(jī)過程，即在當(dāng)前狀態(tài)下，過程未來(lái)狀態(tài)與其過去狀態(tài)無(wú)關(guān)。1923年，N.維納給出了布朗運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)定義（后人也稱數(shù)學(xué)上的布朗運(yùn)動(dòng)為維納過程），這種過程至今仍是重要的研究對(duì)象。雖然如此，隨機(jī)過程一般理論的研究通常認(rèn)為開始于30年代，維納還在時(shí)間序列和濾波理論的建立做出了貢獻(xiàn)。1931年，A.H.柯爾莫哥洛夫發(fā)表了《概率論的解析方法》；三年后，A.R.辛欽發(fā)表了《平穩(wěn)過程的相關(guān)理論》。這兩篇重要論文為馬爾可夫過程與平穩(wěn)過程奠定了理論基礎(chǔ)。稍后，P.Levy從1938年開始創(chuàng)立研究隨機(jī)過程的新方法，即著眼于軌道性質(zhì)的概率方法，1948年出版了《隨機(jī)過程與布朗運(yùn)動(dòng)》，提出了獨(dú)立增量的一般理論，并以其為基礎(chǔ)極大地促進(jìn)了對(duì)作為一類特殊的Markov過程的布朗運(yùn)動(dòng)的研究。從1942年開始，日本數(shù)學(xué)家伊藤清引進(jìn)了隨機(jī)積分和隨機(jī)微分方程。1951年，伊藤清建立了關(guān)于布朗運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)微分方程的理論，為研究馬爾可夫過程開辟了新的道路。1953年，J.L杜布的名著《隨機(jī)過程論》問世，它系統(tǒng)且嚴(yán)格的敘述了隨機(jī)過程的基本理論。60年代，法國(guó)學(xué)派基于馬爾可夫過程和位勢(shì)理論中的一些思想與結(jié)果，在相當(dāng)大的程度上發(fā)展了隨機(jī)過程的一般理論，包括截口定理與過程的投影理論等。隨機(jī)過程的發(fā)展歷史當(dāng)中，中國(guó)學(xué)者如江澤培、王梓坤、馬志明、李文博等人在平穩(wěn)過程、馬爾可夫過程、極限定理、隨機(jī)微分方程鄧方面也做出了較大的貢獻(xiàn)。研究隨機(jī)過程的方法多種多樣，主要可以分為兩大類：一類是概率方法，其中用到軌道性質(zhì)、停時(shí)和隨機(jī)微分方程鄧；另一類是分析的方法，其中用到測(cè)度論、微分方程、半群理論、函數(shù)堆和希爾伯特空間等。另外組合方法和袋鼠方法在某些特殊隨機(jī)過程的研究中也有一定的作用。研究的主要內(nèi)容有：多指標(biāo)隨機(jī)過程、無(wú)窮質(zhì)點(diǎn)與馬爾可夫過程、概率與位勢(shì)及各種特殊過程的專題討論等。三、隨機(jī)過程在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用在進(jìn)行經(jīng)濟(jì)管理決策之前，往往存在不確定的一些東西，導(dǎo)致所作出的決策存在一定的風(fēng)險(xiǎn)，只有在做出科學(xué)的、正確的決策才能使我們獲益最大。因此在做決策之前我們應(yīng)該充分考慮所要投資的東西所帶來(lái)的風(fēng)險(xiǎn)程度，才能正確的做出投資決策，才能使我們把風(fēng)險(xiǎn)降到最低。利用隨機(jī)過程知識(shí)就可以為我們做出好的決策，下面將從兩個(gè)方面來(lái)進(jìn)行說(shuō)明隨機(jī)過程論在經(jīng)濟(jì)決策中的作用。3.1最大利潤(rùn)與投資風(fēng)險(xiǎn)（數(shù)學(xué)期望與方差的應(yīng)用）在隨機(jī)過程中有這樣兩個(gè)我們很熟悉的字眼“數(shù)學(xué)期望”和“方差”，通過“數(shù)學(xué)期望”和“方差”可以解決人們?cè)诮?jīng)濟(jì)中的決策問題，幫助人們選擇合適的投資方案降低投資風(fēng)險(xiǎn)，盡可能的獲得更高的效益?！皵?shù)學(xué)期望”可以表示收益的大小，“數(shù)學(xué)期望”越大收益就越大，“方差”代表的是波動(dòng)性的大小，方差越大波動(dòng)性越大,人們要獲得利益最大，風(fēng)險(xiǎn)最小，就只需求出投資方案的期望與方差，選擇期望最大，方差最小的方案，就是最優(yōu)方案。求“數(shù)學(xué)期望“的公式為：若離散型隨機(jī)變量可能取值為a（i=1,2,3,4）,其分布列為p（i=1,2,3…..）則當(dāng)時(shí)，稱存在數(shù)學(xué)期望，并且數(shù)學(xué)期望為E=；計(jì)算方差的公式是D=E(-E)下面將以實(shí)例來(lái)進(jìn)行說(shuō)明：例3.1:現(xiàn)有A、B、C、D四種證券，它們的收益與概率如下表表3.1類型收益（元）概率證券證券證券證券（1）某人要投資以上四種證券中的一種問如何選擇最好？解：我們先考慮數(shù)學(xué)期望可見選擇中證券的平均收益最大，但還要考慮投資風(fēng)險(xiǎn)，其次再來(lái)考慮它的方差：可見若要單獨(dú)投資一種我們要選擇效益高而且是風(fēng)險(xiǎn)最低的一種，那就選擇是最合適的了。（2）若某人選擇投資兩種證券，問按什么樣的比例來(lái)投資他的收益是最大的，而且風(fēng)險(xiǎn)也最??？解：要投資兩種證券，則我們應(yīng)該構(gòu)造一個(gè)投資組合,其中指一份中占的比例。此時(shí)我們要選擇適當(dāng)?shù)模棺钚?，由?jiǎn)單的數(shù)學(xué)知識(shí)我們可算得a=9/17時(shí)，達(dá)到最小值為，則當(dāng)與按的比例構(gòu)造時(shí)，平均收益仍為元，但投資風(fēng)險(xiǎn)比單獨(dú)投資時(shí)減少了將近一半故采用上述投資最好?？梢娎秒S機(jī)過程論中的數(shù)學(xué)期望與方差可以很好的解決一些經(jīng)濟(jì)中的決策問題。當(dāng)面臨幾種經(jīng)濟(jì)決策時(shí)，就可以利用期望和方差做出最優(yōu)的決策。3.2隨機(jī)過程論知識(shí)在彩票問題中的應(yīng)用前幾年，“彩票颶風(fēng)”席卷中華大地，在我國(guó)的各個(gè)地方流行著各種彩票，花幾塊錢就可以中百萬(wàn)元大獎(jiǎng)，這是多少人夢(mèng)寐以求的事情。以某省“選”福利彩票為例可得出人們中獎(jiǎng)的概率平均為幾萬(wàn)分之一?？梢娭歇?jiǎng)的幾率太小了，但仍有人很多人抱著“早中，晚中，早晚要中”的僥幸心理，就會(huì)一直堅(jiān)持著買彩票，在這個(gè)過程中我們是賺了還是賠了呢？現(xiàn)在我們就用隨機(jī)過程論中的獨(dú)立性來(lái)分析一下：我們不妨假設(shè)某彩票每周開一次，每次提供一千萬(wàn)分之一的中頭獎(jiǎng)的機(jī)會(huì)，并且每周開獎(jiǎng)是獨(dú)立的，你堅(jiān)持十年買彩票（每年按52周算）你中頭獎(jiǎng)的概率會(huì)是多少呢？對(duì)任意事件，如果有四個(gè)等式同時(shí)成立，則稱事件相互獨(dú)立。解：我們計(jì)為“第次開獎(jiǎng)中獎(jiǎng)”,則十年未中獎(jiǎng)的概率為==這個(gè)結(jié)果表明，十年以后未中獎(jiǎng)是件再正常不過的事了通過以上分析你