上海市大學附屬中學2023屆高三下學期第一周綜合自測數學試題

上海市大學附屬中學2023屆高三下學期第一周綜合自測數學試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若，則的虛部是A．3 B． C． D．2．已知全集，集合，，則（）A． B． C． D．3．已知集合A={x|y=lg（4﹣x2）}，B={y|y=3x，x＞0}時，A∩B=（）A．{x|x＞﹣2}B．{x|1＜x＜2}C．{x|1≤x≤2}D．?4．復數的共軛復數對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．已知雙曲線的左右焦點分別為，，以線段為直徑的圓與雙曲線在第二象限的交點為，若直線與圓相切，則雙曲線的漸近線方程是（）A． B． C． D．6．設函數的導函數，且滿足，若在中，，則（）A． B． C． D．7．我國宋代數學家秦九韶（1202-1261）在《數書九章》（1247）一書中提出“三斜求積術”，即：以少廣求之，以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上；以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實；一為從隅，開平方得積.其實質是根據三角形的三邊長，，求三角形面積，即.若的面積，，，則等于（）A． B． C．或 D．或8．已知函數，若對任意，都有成立，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．9．如圖，在正四棱柱中，，分別為的中點，異面直線與所成角的余弦值為，則()A．直線與直線異面，且 B．直線與直線共面，且C．直線與直線異面，且 D．直線與直線共面，且10．1777年，法國科學家蒲豐在宴請客人時，在地上鋪了一張白紙，上面畫著一條條等距離的平行線，而他給每個客人發(fā)許多等質量的，長度等于相鄰兩平行線距離的一半的針，讓他們隨意投放.事后，蒲豐對針落地的位置進行統(tǒng)計，發(fā)現共投針2212枚，與直線相交的有704枚.根據這次統(tǒng)計數據，若客人隨意向這張白紙上投放一根這樣的針，則針落地后與直線相交的概率約為（）A． B． C． D．11．總體由編號為01，02，...，39，40的40個個體組成.利用下面的隨機數表選取5個個體，選取方法是從隨機數表（如表）第1行的第4列和第5列數字開始由左到右依次選取兩個數字，則選出來的第5個個體的編號為（）A．23 B．21 C．35 D．3212．若的二項展開式中的系數是40，則正整數的值為（）A．4 B．5 C．6 D．7二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知為拋物線：的焦點，過作兩條互相垂直的直線，，直線與交于、兩點，直線與交于、兩點，則的最小值為__________．14．如圖所示梯子結構的點數依次構成數列，則________.15．如圖是一個算法偽代碼，則輸出的的值為_______________.16．在正方體中，分別為棱的中點，則直線與直線所成角的正切值為_________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設函數．（1）當時，解不等式；（2）設，且當時，不等式有解，求實數的取值范圍．18．（12分）已知正實數滿足.（1）求的最小值.（2）證明：19．（12分）已知矩陣,二階矩陣滿足.（1）求矩陣;（2）求矩陣的特征值．20．（12分）已知動圓過定點，且與直線相切，動圓圓心的軌跡為，過作斜率為的直線與交于兩點，過分別作的切線，兩切線的交點為，直線與交于兩點．（1）證明：點始終在直線上且；（2）求四邊形的面積的最小值．21．（12分）若養(yǎng)殖場每個月生豬的死亡率不超過，則該養(yǎng)殖場考核為合格，該養(yǎng)殖場在2019年1月到8月養(yǎng)殖生豬的相關數據如下表所示：月份1月2月3月4月5月6月7月8月月養(yǎng)殖量/千只33456791012月利潤/十萬元3.64.14.45.26.27.57.99.1生豬死亡數/只293749537798126145（1）從該養(yǎng)殖場2019年2月到6月這5個月中任意選取3個月，求恰好有2個月考核獲得合格的概率；（2）根據1月到8月的數據，求出月利潤y（十萬元）關于月養(yǎng)殖量x（千只）的線性回歸方程（精確到0.001）.（3）預計在今后的養(yǎng)殖中，月利潤與月養(yǎng)殖量仍然服從（2）中的關系，若9月份的養(yǎng)殖量為1.5萬只，試估計：該月利潤約為多少萬元？附：線性回歸方程中斜率和截距用最小二乘法估計計算公式如下：，參考數據：.22．（10分）如圖，空間幾何體中，是邊長為2的等邊三角形，，，，平面平面，且平面平面，為中點.（1）證明：平面；（2）求二面角平面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

因為，所以的虛部是.故選B．2、B【解析】

直接利用集合的基本運算求解即可．【詳解】解：全集，集合，，則，故選：．【點睛】本題考查集合的基本運算，屬于基礎題．3、B【解析】試題分析：由集合A中的函數y=lg(4-x2)，得到4-x2>0，解得：-2<x<2，∴集合A={x|-2<x<2}，由集合B中的函數考點：交集及其運算．4、A【解析】

試題分析：由題意可得：.共軛復數為，故選A.考點：1.復數的除法運算;2.以及復平面上的點與復數的關系5、B【解析】

先設直線與圓相切于點，根據題意，得到，再由，根據勾股定理求出，從而可得漸近線方程.【詳解】設直線與圓相切于點，因為是以圓的直徑為斜邊的圓內接三角形，所以，又因為圓與直線的切點為，所以，又，所以，因此，因此有，所以，因此漸近線的方程為.故選B【點睛】本題主要考查雙曲線的漸近線方程，熟記雙曲線的簡單性質即可，屬于常考題型.6、D【解析】

根據的結構形式，設，求導，則，在上是增函數，再根據在中，，得到，，利用余弦函數的單調性，得到，再利用的單調性求解.【詳解】設，所以，因為當時，，即，所以，在上是增函數，在中，因為，所以，，因為，且，所以，即，所以，即故選：D【點睛】本題主要考查導數與函數的單調性，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.7、C【解析】

將，，，代入，解得，再分類討論，利用余弦弦定理求，再用平方關系求解.【詳解】已知，，，代入，得，即，解得，當時，由余弦弦定理得：，.當時，由余弦弦定理得：，.故選：C【點睛】本題主要考查余弦定理和平方關系，還考查了對數學史的理解能力，屬于基礎題.8、D【解析】

先將所求問題轉化為對任意恒成立，即得圖象恒在函數圖象的上方，再利用數形結合即可解決.【詳解】由得，由題意函數得圖象恒在函數圖象的上方，作出函數的圖象如圖所示過原點作函數的切線，設切點為，則，解得，所以切線斜率為，所以，解得.故選：D.【點睛】本題考查導數在不等式恒成立中的應用，考查了學生轉化與化歸思想以及數形結合的思想，是一道中檔題.9、B【解析】

連接，，，，由正四棱柱的特征可知，再由平面的基本性質可知，直線與直線共面.，同理易得，由異面直線所成的角的定義可知，異面直線與所成角為，然后再利用余弦定理求解.【詳解】如圖所示：連接，，，，由正方體的特征得，所以直線與直線共面.由正四棱柱的特征得，所以異面直線與所成角為.設，則，則，，，由余弦定理，得.故選：B【點睛】本題主要考查異面直線的定義及所成的角和平面的基本性質，還考查了推理論證和運算求解的能力，屬于中檔題.10、D【解析】

根據統(tǒng)計數據，求出頻率，用以估計概率.【詳解】.故選:D.【點睛】本題以數學文化為背景，考查利用頻率估計概率，屬于基礎題.11、B【解析】

根據隨機數表法的抽樣方法，確定選出來的第5個個體的編號.【詳解】隨機數表第1行的第4列和第5列數字為4和6，所以從這兩個數字開始，由左向右依次選取兩個數字如下46，64，42，16，60，65，80，56，26，16，55，43，50，24，23，54，89，63，21，…其中落在編號01，02，…，39，40內的有：16，26，16，24，23，21，…依次不重復的第5個編號為21.故選：B【點睛】本小題主要考查隨機數表法進行抽樣，屬于基礎題.12、B【解析】

先化簡的二項展開式中第項，然后直接求解即可【詳解】的二項展開式中第項.令，則，∴，∴（舍）或.【點睛】本題考查二項展開式問題，屬于基礎題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、16.【解析】由題意可知拋物線的焦點，準線為設直線的解析式為∵直線互相垂直∴的斜率為與拋物線的方程聯(lián)立，消去得設點由跟與系數的關系得，同理∵根據拋物線的性質，拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離∴，同理∴，當且僅當時取等號.故答案為16點睛：（1）與拋物線有關的最值問題，一般情況下都與拋物線的定義有關．利用定義可將拋物線上的點到焦點的距離轉化為到準線的距離，可以使運算化繁為簡．“看到準線想焦點，看到焦點想準線”，這是解決拋物線焦點弦有關問題的重要途徑；（2）圓錐曲線中的最值問題，可利用基本不等式求解，但要注意不等式成立的條件．14、【解析】

根據圖像歸納，根據等差數列求和公式得到答案.【詳解】根據圖像：，，故，故.故答案為：.【點睛】本題考查了等差數列的應用，意在考查學生的計算能力和應用能力.15、5【解析】

執(zhí)行循環(huán)結構流程圖，即得結果.【詳解】執(zhí)行循環(huán)結構流程圖得,結束循環(huán)，輸出.【點睛】本題考查循環(huán)結構流程圖，考查基本分析與運算能力，屬基礎題.16、【解析】

由中位線定理和正方體性質得，從而作出異面直線所成的角，在三角形中計算可得．【詳解】如圖，連接，，，∵分別為棱的中點，∴，又正方體中，即是平行四邊形，∴，∴，（或其補角）就是直線與直線所成角，是等邊三角形，∴＝60°，其正切值為．故答案為：．【點睛】本題考查異面直線所成的角，解題關鍵是根據定義作出異面直線所成的角．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1）通過分類討論去掉絕對值符號，進而解不等式組求得結果；（2）將不等式整理為，根據能成立思想可知，由此構造不等式求得結果.【詳解】（1）當時，可化為，由，解得；由，解得；由，解得．綜上所述：所以原不等式的解集為．（2），，，，有解，，即，又，，實數的取值范圍是．【點睛】本題考查絕對值不等式的求解、根據不等式有解求解參數范圍的問題；關鍵是明確對于不等式能成立的問題，通過分離變量的方式將問題轉化為所求參數與函數最值之間的比較問題.18、（1）；（2）見解析【解析】

（1）利用乘“1”法，結合基本不等式求得結果.（2）直接利用基本不等式及乘“1”法，證明即可.【詳解】（1）因為，所以因為，所以（當且僅當，即時等號成立），所以（2）證明：因為，所以故（當且僅當時，等號成立）【點睛】本題考查了基本不等式的應用，考查了乘“1”法的技巧，考查了推理論證能力，屬于中檔題.19、（1）（2）特征值為或．【解析】

（1）先設矩陣,根據,按照運算規(guī)律,即可求出矩陣.（2）令矩陣的特征多項式等于,即可求出矩陣的特征值．【詳解】解：（1）設矩陣由題意,因為,所以,即所以,（2）矩陣的特征多項式,令,解得或,所以矩陣的特征值為1或．【點睛】本題主要考查矩陣的乘法和矩陣的特征值,考查學生的劃歸與轉化能力和運算求解能力.20、（1）見解析（2）最小值為1．【解析】

（1）根據拋物線的定義，判斷出的軌跡為拋物線，并由此求得軌跡的方程.設出兩點的坐標，利用導數求得切線的方程，由此求得點的坐標.寫出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和曲線的方程，根據韋達定理求得點的坐標，并由此判斷出始終在直線上，且.（2）設直線的傾斜角為，求得的表達式，求得的表達式，由此求得四邊形的面積的表達式進而求得四邊形的面積的最小值．【詳解】(1)∵動圓過定點，且與直線相切，∴動圓圓心到定點和定直線的距離相等，∴動圓圓心的軌跡是以為焦點的拋物線，∴軌跡的方程為：，設，∴直線的方程為：，即：①，同理，直線的方程為：②，由①②可得：，直線方程為：，聯(lián)立可得：，，∴點始終在直線上且；（2）設直線的傾斜角為，由（1）可得：，，∴四邊形的面積為：，當且僅當或，即時取等號，∴四邊形的面積的最小值為1.【點睛】本小題主要考查動點軌跡方程的求法，考查直線和拋物線的位置關系，考查拋物線中四邊形面積的最值的計算，考查運算求解能力，屬于中檔題.21、（1）；（2）；（3）利潤約為111.2萬元.【解析】

（1）首先列出基本事件，然后根據古典概型求出恰好兩個月合格的概率；（2）首先求出利潤y和養(yǎng)殖量x的平均值，然后根據公式求出線性回歸方程中的斜率和截距即可求出線性回歸方程；（3）根據線性回歸方程代入9月份的數據即可求出9月利潤.【詳解】（1）2月到6月中，合格的月份為2，3，4月份，則5個月份任意選取3個月份的基本事件有，，，，，，，，，，共計10個，故恰好有兩個月考核合格的概率為；（2），，，，故；（3）當千只，（十萬元）（萬元），故9月份的利潤約為111.2萬元.【點睛】本題主要考查了古典概型，線性回歸方程的求解和使用，屬于基礎題.22、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）分別取，的中點，，連接，，，，，要證明平面，只需證明面∥面即可.（2）以點為原點，以為軸，以為軸，以為軸，建立空間直角坐標系，分別計