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文檔簡介

24.1圓的有關(guān)性質(zhì)一、圓的概念1、圓:在一個平面內(nèi),線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周,另一個端點A所形成的圖形叫做圓。其固定的端點O叫做圓心,線段OA叫做半徑。以點O為圓心的圓,記作⊙O,讀作“圓O”。注:①圓上各點到定點(圓心O)的距離都等于定長(半徑r);到定點的距離等于定長的點都在同一個圓上;②圓心為O、半徑為的圓可以看成是所有到定點O的距離等于定長r的點的集合。2、圓的兩要素:圓心(定點)、半徑(定長)。注:①同心圓:圓心重合、半徑不同的圓是同心圓;②等圓:半徑相等的圓是等圓。二、圓的相關(guān)概念1、弦:連接圓上任意兩點的線段叫做弦。2、直徑:經(jīng)過圓心的弦叫做直徑。3、圓?。簣A上任意兩點間的部分叫做圓弧,簡稱弧。以A,B為端點的弧記作AB,讀作“圓弧AB”或“弧AB”。圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧,每一條弧都叫做半圓。4、等圓:能夠重合的兩個圓叫做等圓。半徑相等的兩個圓是等圓;反過來,同圓或等圓的半徑相等。5、等?。涸谕瑘A或等圓中,能夠互相重合的弧叫做等弧。三、垂直于弦的直徑1、圓的對稱性:圓是軸對稱圖形,任何一條直徑所在直線都是圓的對稱軸。2、垂徑定理:垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對的兩條弧。推論:平分弦的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧。四、弧、弦、圓心角1、圓心角的概念:我們把頂點在圓心的角叫做圓心角。2、弧、弦、圓心角之間的關(guān)系:(1)在同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弧相等,所對的弦也相等;(2)在同圓或等圓中,如果兩條弧相等,那么它們所對的圓心角相等,所對的弦相等;(3)在同圓或等圓中,如果兩條弦相等,那么它們所對應的圓心角相等,所對的優(yōu)弧和劣弧分別相等。五、圓周角1、圓周角的概念:把頂點在圓周,并且兩邊都與圓相交,這樣的角叫做圓周角;2、圓周角定理:一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半;3、圓周角定理的推論:(1)同弧或等弧所對的圓周角相等。(2)半圓所對的圓周角是直角,90°的圓周角所對的弦是直徑。六、圓內(nèi)接多邊形1、圓內(nèi)接多邊形:如果一個多邊形的所有頂點都在同一個圓上,這個多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形,這個圓叫做這個多邊形的外接圓。2、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì):圓內(nèi)接四邊形的對角互補。題型一圓的相關(guān)概念的理解【例1】到O點距離為2的點的集合是.【變式11】下列命題:①長度相等的弧是等弧;②直徑是圓中最長的弦;③相等的圓心角所對的弦相等;④半圓是弧.其中真命題共有(

)A.0個 B.1個 C.2個 D.3個【變式12】下列條件中,能確定一個圓的是(

)A.以點O為圓心 B.以2cmC.以點O為圓心,10cm長為半徑 D.經(jīng)過點【變式13】若⊙O的直徑長為4,點A,B在⊙O上,則AB的長不可能是(

)A.2 B.3 C.4 D.5【變式14】在同一平面內(nèi),點P到圓上的點的最大距離為6,最小距離為4,則此圓的半徑為(

)A.2 B.5 C.1 D.5或1題型二求圓中弦的條數(shù)【例2】如圖,點A,O,D,點C,D,E以及點B,O,C分別在一條直線上,則圓中弦的條數(shù)為(

)A.2條 B.3條 C.4條 D.5條【變式21】如圖所示,在⊙O中,點A,O,D以及點B,O,C分別在一條直線上,則圖中的弦有(

)A.2條 B.3條 C.4條 D.5條【變式22】如圖,在⊙O中,點A、O、D和點B、O、C分別在一條直線上,圖中共有條弦,它們分別是.【變式23】如圖,⊙O中,點A、O、D以及點B、O、C分別在一條直線上,圖中弦的條數(shù)有條.【變式24】如圖,△ABC是⊙O內(nèi)接三角形,請僅用無刻度的直尺,分別按下列要求畫圖.(1)在圖1中,畫山一條與BC相等的弦;(2)在圖2中,畫出一個與△ABC全等的三角形.題型三圓的周長和面積問題【例3】由所有到已知點O的距離大于或等于1,并且小于或等于2的點組成的圖形的面積為(

)A.π B.2π C.3π D.4π【變式31】如圖,一塊四邊形綠化園地,四角都做有半徑為R的圓形噴水池,則這四個噴水池占去的綠化園地的面積為(

)A.2πR2 B.4πR2 C【變式32】小麗用圓規(guī)畫了一個半徑為2cm的圓,小杰用12.56cm的線圍成一個圓.下列說法正確的是(A.兩個圓一樣大 B.小杰圍的圓大 C.小麗畫的圓大 D.無法確定兩個圓的大小【變式33】圓的面積擴大為原來的4倍,則半徑(

)A.擴大為4倍 B.擴大為16倍 C.不變 D.擴大為2倍【變式34】如圖,大螞蟻沿著大圓爬一圈,小螞蟻沿著兩個小圓各爬了一圈.誰爬的路程長?請通過計算說明.題型四利用垂徑定理求解【例4】如圖,⊙O的半徑為5,M是圓外一點,MO=6,∠OMB=30°,MB交⊙O于點A,B,則弦AB的長為(

)A.4 B.6 C.63 D.【變式41】將一盛有不足半杯水的圓柱形玻璃水杯擰緊杯蓋后放倒,水平放置在桌面上,水杯的底面如圖所示,已知水杯內(nèi)徑(圖中小圓的直徑)是8cm,水的最大深度是2cm,則杯底有水面AB的寬度是()cm.A.6 B.42 C.43 D【變式42】興隆蔬菜基地建圓弧形蔬菜大棚的剖面如圖所示,已知AB=16m,半徑OA=10m,高度CD為【變式43】如圖,⊙O的直徑為10cm,弦AB=8cm,P是弦AB上的一個動點,則OP【變式44】在半徑為10的⊙O中,弦AB=12,弦CD=16,且AB∥CD,則AB與CD之間的距離是題型五垂徑定理的推理的理解【例5】如圖,⊙O的半徑為4,將⊙O的一部分沿著弦AB翻折,劣弧恰好經(jīng)過圓心O.則折痕AB的長為(

)A.3 B.23 C.6 D.【變式51】如圖所示,⊙O的直徑CD=10cm,AB是⊙O的弦,AM=BM,OM:OC=3:5,則AB的長為(

A.8cm B.91cm C.6cm【變式52】如圖,⊙O的弦AB=6,C為AB的中點,且OC=4,則⊙O的半徑為(

)A.8 B.6 C.5 D.4【變式53】如圖,點A、B、C三點在⊙O上,點D為弦AB的中點,AB=8cm,CD=6cm,則A.43cm B.53cm C.83【變式54】如圖,已知在半圓AOB中,AD=DC,∠CAB=30°,AB=8,求AD的長.題型六垂徑定理的實際應用【例6】一輛裝滿貨物,寬2.4m的卡車,欲通過如圖所示的隧道(截面上部為半圓形,下部為長4m,寬2.5mA.4.1m B.4.0m C.3.9m【變式61】如圖是一個圓柱形輸水管橫截面的示意圖,陰影部分為有水部分,如果水面AB的寬為8cm,水面最深的地方高度為2A.5cm B.6cm C.7cm【變式62】唐代李皋發(fā)明了“槳輪船”,這種船是原始形態(tài)的輪船,是近代明輪航行模式之先導.如圖,某槳輪船的輪子被水面截得的弦AB長8m,輪子的吃水深度CD為2m,則該槳輪船的輪子直徑為(A.10m B.8m C.6m【變式63】一條排水管的截面如圖所示,已知排水管的截面圓半徑OB=10,截面圓圓心O到水面的距離OC=6,求水面的寬AB.【變式64】如圖,一座石橋的主橋拱是圓弧形,某時刻測得水面AB寬度為6米,拱高CD(弧的中點到水面的距離)為1米,若水面下降1米,則此時水面的寬度為(

)A.5米 B.6米 C.7米 D.8米題型七利用弧、弦、圓心角求解【例7】如圖,點A,B,C,D,E均在⊙O上,AB=CD,∠CED=21°,則∠AOB的度數(shù)是(A.69° B.48° C.42° D.21°【變式71】如圖,EF、CD是⊙O的兩條直徑,A是劣弧DF的中點,若∠EOD=32°,則∠CDA的度數(shù)是(A.37° B.74° C.53° D.63°【變式72】如圖,AB是⊙O的直徑,CD、BE是⊙O的兩條弦,CD交AB于點G,點C是BE的中點,點B是CD的中點,若AB=10,BG=2,則BE的長為(

)A.3 B.4 C.6 D.8【變式73】如圖,AB是⊙O的弦,C是AB的中點,OC交AB于點D.(1)若∠AOB=120°,則∠AOC=°;(2)若AB=8cm,則AD=cm【變式74】如圖所示,A,B是半徑為3的⊙O上的兩點.若∠AOB=120°,C是AB的中點,則四邊形AOBC的周長為.題型八利用弧、弦、圓心角求證【例8】如圖所示,在⊙O中,AB=CD,則在①AB=CD;②AC=BD;③∠AOC=∠BOD;④AC=A.1 B.2 C.3 D.4【變式81】如圖,點A、B、C、D在⊙O中,且AB=AC,AC與【變式82】如圖,在⊙O中,弦AB、CD交于點E,且AB=CD.求證:DE=BE.【變式83】如圖,在⊙O中,∠AOB=∠COD,證明AC=【變式84】如圖,已知圓O的直徑AB垂直于弦CD于點E,連接CO并延長交AD于點F,且CF⊥AD.證明:E是OB題型九圓心角的理解與圓弧度數(shù)【例9】下列圖形中的角是圓心角的是(

)A.

B.

C.

D.

【變式91】下列說法正確的是()A.如果一個角的一邊過圓心,則這個角就是圓心角B.圓心角α的取值范圍是0°<α<180°C.圓心角就是頂點在圓心,且角的兩邊是兩半徑所在的射線的角D.圓心角就是在圓心的角【變式92】如圖△ABC中,∠C=90°,∠B=20°,以C為圓心,CA為半徑A.30° B.40° C.45°【變式93】如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠B=28°,以點C為圓心,CA為半徑的圓交AB于點D,交BC于點E,那么DE的度數(shù)是.【變式94】如圖,

AB、CD是⊙O的直徑,弦CE∥AB,若∠AOC=75°,則題型十圓周角的理解與運用【例10】下列圖形中的角是圓周角的是(

)A. B. C. D.【變式101】如圖,△ABC內(nèi)接于圓,弦BD交AC于點P,連接AD.下列角中,AB所對圓周角的是(

)A.∠APB B.∠ABD C.∠ACB D.∠BAC【變式102】已知弦AB把圓周分成1:3兩部分,則弦AB所對圓周角的度數(shù)為(

)A.45° B.135° C.90°或270° D.45°或135°【變式103】觀察下圖中角的頂點與兩邊有何特征?指出哪些角是圓周角?【變式104】如圖,CD是⊙O的直徑,∠EOD=84°,AE交⊙O于點B,且AB=OC,求BE的度數(shù)題型十一利用圓周角定理求解【例11】如圖,AB、CD是⊙O的兩條直徑,點E是弧BD的中點,連接AC、BE,若A.40° B.44° C.50° D.55°【變式111】如圖,△ADC內(nèi)接于⊙O,BC是⊙O的直徑,若∠A=66°,則∠BCD等于(

)A.66° B.34° C.24° D.14°【變式112】如圖,等邊△ABC內(nèi)接于⊙O,D是⊙O上的一點,∠CAD=45°,則∠BCD的度數(shù)是.【變式113】已知:如圖,△ABC中,以AB為直徑的⊙O分別交BC,AC于點D,E,連接DE,若DE=DC.求證:BD=DE.【變式114】如圖,⊙O的半徑為1,點A,B,C是⊙O上的三個點,點P在劣弧AB上,∠APB=120°,PC平分∠APB.求證:(1)△ABC是等邊三角形;(2)PA+PB=PC.題型十二求圓內(nèi)接四邊形的角度【例12】如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,AB為⊙O的直徑,點C為BD的中點,若∠DCB=140°,則∠ABC的度數(shù)為(

)A.60° B.65° C.70° D.

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