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延邊市重點(diǎn)中學(xué)2024屆高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量檢測試題注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.過點(diǎn)(-2,1)的直線中,被圓x2+y2-2x+4y=0截得的弦最長的直線的方程是()A.x+y+1=0 B.x+y-1=0C.x-y+1=0 D.x-y-1=02.如圖,直四棱柱的底面是菱形,,,M是的中點(diǎn),則異面直線與所成角的余弦值為()A. B.C. D.3.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若,則△ABC()A.一定是銳角三角形 B.一定是直角三角形C.一定是鈍角三角形 D.是銳角或直角三角形4.雙曲線:的實(shí)軸長為()A. B.C.4 D.25.已知曲線與直線總有公共點(diǎn),則m的取值范圍是()A. B.C. D.6.如圖,已知四棱錐,底面ABCD是邊長為4的菱形,且,E為AD的中點(diǎn),,則異面直線PC與BE所成角的余弦值為()A. B.C. D.7.設(shè)太陽光線垂直于平面,在陽光下任意轉(zhuǎn)動(dòng)棱長為一個(gè)單位的立方體,則它在平面上的投影面積的最大值是()A.1 B.C. D.8.已知命題:,命題:,則是的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9.在正三棱錐S-ABC中,AB=4,D、E分別是SA、AB中點(diǎn),且DE⊥CD,則三棱錐S-ABC外接球的體積為()A.π B.πC.π D.π10.已知某地區(qū)7%的男性和0.49%的女性患色盲.假如男性、女性各占一半,從中隨機(jī)選一人,則此人恰是色盲的概率是()A.0.01245 B.0.05786C.0.02865 D.0.0374511.下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為()①若,則;②若,則;③若,則;④若,則A.4 B.3C.2 D.112.如圖已知正方體,點(diǎn)是對角線上的一點(diǎn)且,,則()A.當(dāng)時(shí),平面 B.當(dāng)時(shí),平面C.當(dāng)為直角三角形時(shí), D.當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí),二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.?dāng)?shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線,曲線就是其中之一(如圖),給出下列三個(gè)結(jié)論:①曲線C恰好經(jīng)過6個(gè)整點(diǎn)(即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn));②曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過;③曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3;其中,所有正確結(jié)論的序號是________14.已知,則正整數(shù)___________.15.已知雙曲線,(,)的左右焦點(diǎn)分別為,過的直線與圓相切,與雙曲線在第四象限交于一點(diǎn),且有軸,則直線的斜率是___________,雙曲線的漸近線方程為___________.16.函數(shù),若,則的值等于_______三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,已知圓臺下底面圓的直徑為,是圓上異于、的點(diǎn),是圓臺上底面圓上的點(diǎn),且平面平面,,,、分別是、的中點(diǎn).(1)證明:平面;(2)若直線上平面且過點(diǎn),試問直線上是否存在點(diǎn),使直線與平面所成的角和平面與平面的夾角相等?若存在,求出點(diǎn)的所有可能位置;若不存在,請說明理由.18.(12分)已知數(shù)列是等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為,,,數(shù)列滿足(且),.(1)求和的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.19.(12分)如圖1是一張長方形鐵片,,,,分別是,中點(diǎn),,分別在邊,上,且,將它卷成一個(gè)圓柱的側(cè)面圖2,使與重合,與重合.(1)求證:平面;(2)求幾何體的體積.20.(12分)已知等差數(shù)列公差不為0,且成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和;(2)記,求數(shù)列的前n項(xiàng)和.21.(12分)以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知直線的極坐標(biāo)方程為,曲線的參數(shù)方程是(為參數(shù)(1)求直線和曲線的普通方程;(2)直線與軸交于點(diǎn),與曲線交于,兩點(diǎn),求22.(10分)如圖甲是由正方形,等邊和等邊組成的一個(gè)平面圖形,其中,將其沿,,折起得三棱錐,如圖乙.(1)求證:平面平面;(2)過棱作平面交棱于點(diǎn),且三棱錐和的體積比為,求直線與平面所成角的正弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】當(dāng)直線被圓截得的最弦長最大時(shí),直線要經(jīng)過圓心,即圓心在直線上,然后根據(jù)兩點(diǎn)式方程可得所求【詳解】由題意得,圓的方程為,∴圓心坐標(biāo)為∵直線被圓截得的弦長最大,∴直線過圓心,又直線過點(diǎn)(-2,1),所以所求直線的方程為,即故選:A2、D【解析】用向量分別表示,利用向量的夾角公式即可求解.【詳解】由題意可得,故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查用向量的夾角公式求異面直線所成的角,屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】由余弦定理確定角的范圍,從而判斷出三角形形狀【詳解】由得-cosC>0,所以cosC<0,從而C為鈍角,因此△ABC一定是鈍角三角形.故選:C4、A【解析】根據(jù)雙曲線的幾何意義即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)殡p曲線的實(shí)軸長為2a,而雙曲線中,,所以其實(shí)軸長為故選:A5、D【解析】對曲線化簡可知曲線表示以點(diǎn)為圓心,2為半徑的圓的下半部分,對直線方程化簡可得直線過定點(diǎn),畫出圖形,由圖可知,,然后求出直線的斜率即可【詳解】由,得,因?yàn)?,所以曲線表示以點(diǎn)為圓心,2為半徑的圓的下半部分,由,得,所以,得,所以直線過定點(diǎn),如圖所示設(shè)曲線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為,直線過定點(diǎn),為曲線上一動(dòng)點(diǎn),根據(jù)圖可知,若曲線與直線總有公共點(diǎn),則,得,設(shè)直線為,則,解得,或,所以,所以,所以,故選:D6、B【解析】根據(jù)異面直線的定義找出角即為所求,再利用余弦定理解三角形即可得出.【詳解】分別取BC,PB的中點(diǎn)F,G,連接DF,F(xiàn)G,DG,如圖,因?yàn)镋為AD的中點(diǎn),四邊形ABCD是菱形,所以,所以(其補(bǔ)角)是異面直線PC與BE所成的角因?yàn)榈酌鍭BCD是邊長為4菱形,且,,由余弦定理可知,所以,所以,所以異面直線PC與BE所成角的余弦值為,故選:B7、C【解析】確定正方體投影面積最大時(shí),是投影面與平面AB'C平行,從而求出投影面積的最大值.【詳解】設(shè)正方體投影最大時(shí),是投影面與平面AB'C平行,三個(gè)面的投影為兩個(gè)全等的菱形,其對角線為,即投影面上三條對角線構(gòu)成邊長為的等邊三角形,如圖所示,所以投影面積為故選:C8、B【解析】利用充分條件和必要條件的定義判斷.【詳解】因?yàn)槊}:或,命題:,所以是的必要不充分條件,故選:B9、C【解析】取中點(diǎn),連接,證明平面,得證,然后證明平面,得兩兩垂直,以為棱把三棱錐補(bǔ)成一個(gè)正方體,正方體的對角線是其外接球的直徑,而正方體的外接球也是正三棱錐的外接球,由此計(jì)算可得【詳解】取中點(diǎn),連接,則,,,平面,所以平面,又平面,所以,D、E分別是SA、AB的中點(diǎn),則,又,所以,,平面,所以平面,而平面,所以,,是正三棱錐,因此,因此可以為棱把三棱錐補(bǔ)成一個(gè)正方體,正方體的對角線是其外接球的直徑,而正方體的外接球也是正三棱錐的外接球,由,得,所以所求外接球直徑為,半徑為,球體積為故選:C10、D【解析】設(shè)出事件,利用全概率公式進(jìn)行求解.【詳解】用事件A,B分別表示隨機(jī)選1人為男性或女性,用事件C表示此人恰是色盲,則,且A,B互斥,故故選:D11、D【解析】根據(jù)常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0,可判斷①;根據(jù)冪函數(shù)的求導(dǎo)公式,可判斷②;根據(jù)指數(shù)函數(shù)以及對數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)公式,可判斷③④.【詳解】由得:,故①錯(cuò)誤;對于,,故,故②正確;對于,則,故③錯(cuò)誤;對于,則,故④錯(cuò)誤,故選:D12、D【解析】建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量法一一計(jì)算可得;【詳解】解:由題可知,如圖令正方體的棱長為1,建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,,,所以,因?yàn)?,所以,所以,,,,設(shè)平面的法向量為,則,令,則,,所以對于A:若平面,則,則,解得,故A錯(cuò)誤;對于B:若平面,則,即,解得,故B錯(cuò)誤;當(dāng)為直角三角形時(shí),有,即,解得或(舍去),故C錯(cuò)誤;設(shè)到的距離為,則,當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí),,故正確故選:二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、①②【解析】先根據(jù)圖像的對稱性找出整點(diǎn),再判斷是否還有其他的整點(diǎn)在曲線上;找出曲線上離原點(diǎn)距離最大的點(diǎn)的區(qū)域,再由基本不等式得到最大值不超過;在心形區(qū)域內(nèi)找到一個(gè)內(nèi)接多邊形,該多邊形的面積等于3,從而判斷出“心形”區(qū)域的面積大于3.【詳解】①:由于曲線,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;由于圖形的對稱性可知,沒有其他的整點(diǎn)在曲線上,故曲線恰好經(jīng)過6個(gè)整點(diǎn):,,,,,,所以①正確;②:由圖知,到原點(diǎn)距離的最大值是在時(shí),由基本不等式,當(dāng)時(shí),,所以即,所以②正確;③:由①知長方形CDFE的面積為2,三角形BCE的面積為1,所以曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積大于3,故③錯(cuò)誤;故答案為:①②.【點(diǎn)睛】找準(zhǔn)圖形的關(guān)鍵信息,比如對稱性,整點(diǎn),內(nèi)接多邊形是解決本題的關(guān)鍵.14、6【解析】根據(jù)組合數(shù)和排列數(shù)的運(yùn)算即可求得答案.【詳解】由題意,,得.故答案為:6.15、①.②.【解析】由題意,不妨設(shè)直線與圓相切于點(diǎn),由可得,代入雙曲線方程,可得,因此,即得解【詳解】如圖所示,不妨設(shè)直線與圓相切于點(diǎn),,由于代入進(jìn)入,可得,漸近線方程為故答案為:,16、【解析】對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),把代入導(dǎo)函數(shù)中,化簡即可求出的值.【詳解】函數(shù).故答案為:.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析;(2)存在,點(diǎn)與點(diǎn)重合.【解析】(1)證明出,利用面面垂直的性質(zhì)可證得結(jié)論成立;(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn),為軸,為軸,過垂直于平面的直線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,易知軸在平面內(nèi),分析可知,設(shè)點(diǎn),利用空間向量法結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得出關(guān)于的方程,解出的值,即可得出結(jié)論.【小問1詳解】證明:因?yàn)闉閳A的一條直徑,且是圓上異于、的點(diǎn),故,又因平面平面,平面平面,平面,所以平面.【小問2詳解】解:存在,理由如下:如圖,以為坐標(biāo)原點(diǎn),為軸,為軸,過垂直于平面的直線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,易知軸在平面內(nèi),則,,,,,,由直線平面且過點(diǎn),以及平面,得,設(shè),則,,,設(shè)平面的法向量為,則則,即,取,得,易知平面的法向量,設(shè)直線與平面所成的角為,平面與平面的夾角為,則,,由,得,即,解得,所以當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí),直線與平面所成的角和平面與平面的夾角相等.18、(1),;(2).【解析】(1)根據(jù),列方程組即可求解數(shù)列的通項(xiàng)公式,根據(jù)可求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)化簡,利用裂項(xiàng)相消法求該數(shù)列前n項(xiàng)和.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為d,∵,∴,∵公差,∴.由得,即,∴數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為2的等比數(shù)列,∴;【小問2詳解】∵,∴,.19、(1)證明見解析.(2).【解析】(1)根據(jù)線面垂直的性質(zhì)和判定可得證;(2)作圓柱的母線,由平面幾何知識可得四邊形為平行四邊形,利用等體積法可求得,由幾何體的體積,可求得答案.【小問1詳解】證明:∵是直徑,∴,∵平面,平面,∴,∵平面,平面,,∴平面;【小問2詳解】如圖,作圓柱的母線,則,且,∴四邊形是平行四邊形,∴,且①又依題知,,,為底面圓的四等分點(diǎn),∴,且②由①②知四邊形為平行四邊形,得,且,∴,∵到面的距離為,∴,所以幾何體的體積.20、(1),(2)【解析】(1)根據(jù)分式的合分比性質(zhì)以及等差數(shù)列的性質(zhì)即可求出;(2)根據(jù)裂項(xiàng)相消法即可求出【小問1詳解】由題意:,即,又∵,∴,∴,∴,.【小問2詳解】因?yàn)椋?21、(1),(2)4【解析】(1)根據(jù),即可將直線的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為普通方程;消參數(shù),即可求出曲線的普通方程;(2)由題意易知,求出直線的參數(shù)方程,將其代入曲線的普通方程,利用一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用,即可求出結(jié)果【小問1詳解】解:直線極坐標(biāo)方程為,即,又,可得的普通方程為,曲線的參數(shù)方程是(為參數(shù),消參數(shù),所以曲線的普通方程為【小問2詳解】解:在中令得,,傾斜角,的參數(shù)方程可設(shè)為,即(為參數(shù)),將其代入,得,,設(shè),對應(yīng)的參數(shù)分別為,,則,,,異號,.22、(1)證明見解析;(2).【解析】(1)取的中點(diǎn)為,連接,,證明,,即證平面,即證得面面垂直;(2)建立如圖空間直角坐標(biāo)系,寫出對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo),再計(jì)算平面法向量,利用所求角的正弦為即得結(jié)果.【詳解】(1)證明:如圖,取的中點(diǎn)為,連接,.∵
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