北京市朝陽(yáng)區(qū)2023-2024學(xué)年高三期中數(shù)學(xué)試卷

年北京市朝陽(yáng)區(qū)高三數(shù)學(xué)期中考試本試卷分為第一部分（選擇題）和第二部分（非選擇題），滿(mǎn)分150分，考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘。考生務(wù)必將答案寫(xiě)在答題紙上，在試卷上作答無(wú)效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題紙一并交回。第一部分（選擇題共40分）一、選擇題：共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1.已知全集，集合，，則 A. B. C. D.2.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是 A. B. C. D.3.若，則 A. B. C. D.4.已知，，，則 A. B. C. D.5.函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸是 A. B. C. D.6.設(shè)，則“”是“”的 A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件7.已知平面內(nèi)四個(gè)不同的點(diǎn)滿(mǎn)足，則 A. B. C. D.8.已知一個(gè)圓錐的高與其底面圓的半徑相等，且體積為.在該圓錐內(nèi)有一個(gè)正方體，其下底面的四個(gè)頂點(diǎn)在圓錐的底面內(nèi)，上底面的四個(gè)頂點(diǎn)在圓錐的側(cè)面上，則該正方體的棱長(zhǎng)為 A. B. C. D.9.已知函數(shù)，.設(shè)，若存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 A. B. C. D.10.已知點(diǎn)集，.設(shè)非空點(diǎn)集，若對(duì)中任意一點(diǎn)，在中存在一點(diǎn)（與不重合），使得線段上除了點(diǎn)外沒(méi)有中的點(diǎn)，則中的元素個(gè)數(shù)最小值是 A. B. C. D.

第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。11.已知函數(shù)，則的最小正周期是_________.12.已知單位向量滿(mǎn)足，則向量與的夾角為_(kāi)________.13.設(shè)公差為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，能說(shuō)明“若，則數(shù)列是遞減數(shù)列”為假命題的一組的值依次為_(kāi)________.14.古希臘數(shù)學(xué)家托勒密對(duì)三角學(xué)的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)，他的《天文學(xué)大成》包含一張弦表（即不同圓心角的弦長(zhǎng)表），這張表本質(zhì)上相當(dāng)于正弦三角函數(shù)表.托勒密把圓的半徑等分，用圓的半徑長(zhǎng)的作為單位來(lái)度量弦長(zhǎng).將圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)記為.如圖，在圓中，的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)恰好等于圓的半徑，因此的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為個(gè)單位，即.若為圓心角，，則_________.15.如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)是側(cè)面上（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，且，給出下列四個(gè)結(jié)論：①動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一段圓弧；②動(dòng)點(diǎn)的軌跡與沒(méi)有公共點(diǎn)；③三棱錐的體積的最小值為；④平面截該正方體所得截面的面積的最大值為.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是_________.

三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。16.（本小題13分）已知是遞增的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，滿(mǎn)足，.（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式及；（Ⅱ）若，求的最小值.

17.（本小題13分）在中，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知，使存在且唯一確定，求的面積.條件①：；條件②：；條件③：.注：如果選擇的條件不符合要求，第（Ⅱ）問(wèn)得分；如果選擇多組符合要求的條件分別解答，按第一組解答計(jì)分.

18.（本小題15分）如圖，在三棱錐中，平面，，.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求二面角的大?。唬á螅┣簏c(diǎn)到平面的距離.

19.（本小題14分）已知函數(shù).（Ⅰ）若，求在區(qū)間上的最小值和最大值；（Ⅱ）若，求證：在處取得極小值.

20.（本小題15分）已知函數(shù).（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ）若在區(qū)間上恒成立，求的取值范圍；（Ⅲ）試比較與的大小，并說(shuō)明理由.

21.（本小題15分）已知是個(gè)正整數(shù)組成的行列的數(shù)表，當(dāng)，時(shí)，記.設(shè)，若滿(mǎn)足如下兩個(gè)性