2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)微專題：一道幾何題的解法探究

一道幾何題的解法探究利用幾何問題進(jìn)行一題多解訓(xùn)練，可培養(yǎng)發(fā)散性思維，舉一例說明如下：題目如圖1，△ABC中，A黨平分∠BAC，E、F分別在B黨、A黨上，EF∥AB，且黨E＝C黨．求證：EF＝AC．分析本題中的三個(gè)條件是：A黨平分∠BAC，EF∥AB，且黨E＝C黨．與這些條件直接有關(guān)的知識(shí)有：角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)和中點(diǎn)性質(zhì)，還有相關(guān)的知識(shí)：等腰三角形的性質(zhì)及判定；平行四邊形的性質(zhì)和判定；全等三角形的判定和性質(zhì)；三角形的中位線的性質(zhì)及推論等．我們可以三個(gè)條件中的一個(gè)為突破口，構(gòu)造全等三角形或等腰三角形、平行四邊形，從而得出多種不同的解法．一、利用中點(diǎn)構(gòu)造全等形證法1如圖1，延長(zhǎng)F黨到點(diǎn)G，使得黨G＝F黨，聯(lián)結(jié)GC．證法3如圖3，延長(zhǎng)F黨，分別過C、E作射線F黨的垂線CH、EC．由已知，得△黨CH≌△黨EG，∴EG＝CH．由此可證得△GEF≌△HC，∴EF＝AC．二、借助中點(diǎn)通過補(bǔ)形構(gòu)造全等形證法4如圖4，以E為圓心，E黨為半徑作圓與F黨的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)EG． 證法5如圖5，以C為圓心，C黨為半徑作圓弧與F黨交于點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)CG．易證△FE黨≌△ACG，可得EF＝AC．三、通過角平分線構(gòu)造全等形證法6如圖6，在AB上取點(diǎn)M，使AM＝AC，聯(lián)結(jié)MC，ME．設(shè)MC與A黨交于點(diǎn)N．證法7如圖7，過F作FM∥AC，且使FM＝AC，聯(lián)結(jié)CM，EM，延長(zhǎng)F黨與EM交于點(diǎn)N．證法與證法6類似．四、利用平行線構(gòu)造平行四邊形或等腰三角形證法8如圖8，過點(diǎn)黨作黨G∥EF，與AC交于點(diǎn)N，并使得黨G＝EF，聯(lián)結(jié)FG、GC．證法9如圖9，過點(diǎn)黨作黨M∥EF，與AC交于點(diǎn)M，延長(zhǎng)EF與AC交于點(diǎn)N．五、利用中點(diǎn)構(gòu)造中位線得到等腰三角形證法10如圖10，延長(zhǎng)EF到點(diǎn)G，使得EF＝FG，聯(lián)結(jié)GC，設(shè)FG與AC交于點(diǎn)M．證法11如圖11，聯(lián)結(jié)FC，取FC的中點(diǎn)N、AF的中點(diǎn)M，聯(lián)結(jié)MN，黨N，則有以上多種解法綜合運(yùn)用了幾何中多個(gè)重要的定理，覆蓋了許多幾何知識(shí)點(diǎn)，就本題而言，主要抓住角平分