2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（XX卷）數(shù)學(xué)試題(解析版)

...wd......wd......wd...2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試〔XX卷〕數(shù)學(xué)試題解答參考公式：假設(shè)事件互斥，則假設(shè)事件相互獨立，則假設(shè)事件在一次試驗中發(fā)生的概率是,則次獨立重復(fù)試驗中事件恰好發(fā)生次的概率臺體的體積公式其中分別表示臺體的上、下底面積，表示臺體的高柱體的體積公式其中表示柱體的底面積，表示柱體的高錐體的體積公式其中表示錐體的底面積，表示錐體的高球的外表積公式球體積公式其中表示球的半徑選擇題局部〔共40分〕一、選擇題：本大題共10小題，每題4分，共40分,在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的.1.全集，集合，，則〔〕A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】此題根據(jù)交集、補集的定義可得.容易題，注重了根基知識、根本計算能力的考察.【詳解】，則【點睛】易于理解集補集的概念、交集概念有誤.2.漸近線方程為的雙曲線的離心率是〔〕A. B.1C. D.2【答案】C【解析】【分析】此題根據(jù)雙曲線的漸近線方程可求得，進一步可得離心率.容易題，注重了雙曲線根基知識、根本計算能力的考察.【詳解】根據(jù)漸近線方程為x±y＝0的雙曲線，可得，所以c則該雙曲線的離心率為e，應(yīng)選：C．【點睛】理解概念，準確計算，是解答此類問題的根本要求.局部考生易出現(xiàn)理解性錯誤.3.假設(shè)實數(shù)滿足約束條件，則的最大值是〔〕A. B.1C.10 D.12【答案】C【解析】【分析】此題是簡單線性規(guī)劃問題的基此題型，根據(jù)“畫、移、解〞等步驟可得解.題目難度不大題，注重了根基知識、根本技能的考察.【詳解】在平面直角坐標系內(nèi)畫出題中的不等式組表示的平面區(qū)域為以為頂點的三角形區(qū)域〔包含邊界〕，由圖易得當目標函數(shù)經(jīng)過平面區(qū)域的點時，取最大值.【點睛】解答此類問題，要求作圖要準確，觀察要仔細.往往由于由于作圖欠準確而影響答案的準確程度，也有可能在解方程組的過程中出錯.4.祖暅是我國南北朝時代的偉大科學(xué)家.他提出的“冪勢既同，則積不容易〞稱為祖暅原理，利用該原理可以得到柱體體積公式，其中是柱體的底面積，是柱體的高，假設(shè)某柱體的三視圖如以下圖，則該柱體的體積是〔〕A.158 B.162C.182 D.32【答案】B【解析】【分析】此題首先根據(jù)三視圖，復(fù)原得到幾何體—棱柱，根據(jù)題目給定的數(shù)據(jù)，計算幾何體的體積.常規(guī)題目.難度不大，注重了根基知識、視圖用圖能力、根本計算能力的考察.【詳解】由三視圖得該棱柱的高為6，底面可以看作是由兩個直角梯形組合而成的，其中一個上底為4，下底為6，高為3，另一個的上底為2，下底為6，高為3，則該棱柱的體積為.【點睛】易錯點有二，一是不能正確復(fù)原幾何體；二是計算體積有誤.為防止出錯，應(yīng)注重多觀察、細心算.5.假設(shè)，則“〞是“〞的〔〕A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】此題根據(jù)根本不等式，結(jié)合選項，判斷得出充分性成立，利用“特殊值法〞，通過特取的值，推出矛盾，確定必要性不成立.題目有一定難度，注重重要知識、根基知識、邏輯推理能力的考察.【詳解】當時，，則當時，有，解得，充分性成立；當時，滿足，但此時，必要性不成立，綜上所述，“〞是“〞的充分不必要條件.【點睛】易出現(xiàn)的錯誤有，一是根本不等式掌握不熟，導(dǎo)致判斷失誤；二是不能靈活的應(yīng)用“賦值法〞，通過特取的值，從假設(shè)情況下推出合理結(jié)果或矛盾結(jié)果.6.在同一直角坐標系中，函數(shù)且的圖象可能是〔〕A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】此題通過討論的不同取值情況，分別討論此題指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象和，結(jié)合選項，判斷得出正確結(jié)論.題目不難，注重重要知識、根基知識、邏輯推理能力的考察.【詳解】當時，函數(shù)過定點且單調(diào)遞減，則函數(shù)過定點且單調(diào)遞增，函數(shù)過定點且單調(diào)遞減，D選項符合；當時，函數(shù)過定點且單調(diào)遞增，則函數(shù)過定點且單調(diào)遞減，函數(shù)過定點且單調(diào)遞增，各選項均不符合.綜上，選D.【點睛】易出現(xiàn)的錯誤有，一是指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)掌握不熟，導(dǎo)致判斷失誤；二是不能通過討論的不同取值范圍，認識函數(shù)的單調(diào)性.7.設(shè)，則隨機變量的分布列是：則當在內(nèi)增大時〔〕A.增大 B.減小C.先增大后減小 D.先減小后增大【答案】D【解析】【分析】研究方差隨變化的增大或減小規(guī)律，常用方法就是將方差用參數(shù)表示，應(yīng)用函數(shù)知識求解.此題根據(jù)方差與期望的關(guān)系，將方差表示為的二次函數(shù)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解題.題目有一定綜合性，注重重要知識、根基知識、運算求解能力的考察.詳解】方法1：由分布列得，則，則當在內(nèi)增大時，先減小后增大.方法2：則應(yīng)選D.【點睛】易出現(xiàn)的錯誤有，一是數(shù)學(xué)期望、方差以及二者之間的關(guān)系掌握不熟，無從著手；二是計算能力差，不能正確得到二次函數(shù)表達式.8.設(shè)三棱錐的底面是正三角形，側(cè)棱長均相等，是棱上的點〔不含端點〕，記直線與直線所成角為，直線與平面所成角為，二面角的平面角為，則〔〕A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】此題以三棱錐為載體，綜合考察異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的概念，以及各種角的計算.解答的根本方法是通過明確各種角，應(yīng)用三角函數(shù)知識求解，而后比擬大小.而充分利用圖形特征，則可事倍功半.【詳解】方法1：如圖為中點，在底面的投影為，則在底面投影在線段上，過作垂直，易得，過作交于，過作，交于，則，則，即，，即，綜上所述，答案為B.方法2：由最小角定理，記的平面角為〔顯然〕由最大角定理，應(yīng)選B.方法3：〔特殊位置〕取為正四面體，為中點，易得，應(yīng)選B.【點睛】常規(guī)解法下易出現(xiàn)的錯誤有，不能正確作圖得出各種角.未能想到利用“特殊位置法〞，尋求簡便解法.9.，函數(shù)，假設(shè)函數(shù)恰有三個零點，則〔〕A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】當時，最多一個零點；當時，，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性畫函數(shù)草圖，根據(jù)草圖可得．【詳解】當時，，得；最多一個零點；當時，，，當，即時，，在，上遞增，最多一個零點．不合題意；當，即時，令得，，函數(shù)遞增，令得，，函數(shù)遞減；函數(shù)最多有2個零點；根據(jù)題意函數(shù)恰有3個零點函數(shù)在上有一個零點，在，上有2個零點，如圖：且，解得，，．應(yīng)選：．【點睛】遇到此類問題，不少考生會一籌莫展.由于方程中涉及兩個參數(shù)，故按“一元化〞想法，逐步分類討論，這一過程中有可能分類不全面、不徹底.10.設(shè)，數(shù)列中，，,則〔〕A.當 B.當C.當 D.當【答案】A【解析】【分析】對于B，令0，得λ，取，得到當b時，a10＜10；對于C，令x2﹣λ﹣2＝0，得λ＝2或λ＝﹣1，取a1＝2，得到當b＝﹣2時，a10＜10；對于D，令x2﹣λ﹣4＝0，得，取，得到當b＝﹣4時，a10＜10；對于A，，，，當n≥4時，an1，由此推導(dǎo)出〔〕6，從而a1010．【詳解】對于B，令0，得λ，取，∴，∴當b時，a10＜10，故B錯誤；對于C，令x2﹣λ﹣2＝0，得λ＝2或λ＝﹣1，取a1＝2，∴a2＝2，…，an＝2＜10，∴當b＝﹣2時，a10＜10，故C錯誤；對于D，令x2﹣λ﹣4＝0，得，取，∴，…，10，∴當b＝﹣4時，a10＜10，故D錯誤；對于A，，，，an+1﹣an＞0，{an}遞增，當n≥4時，an1，∴，∴〔〕6，∴a1010．故A正確．應(yīng)選：A．【點睛】遇到此類問題，不少考生會一籌莫展.利用函數(shù)方程思想，通過研究函數(shù)的不動點，進一步討論的可能取值，利用“排除法〞求解.非選擇題局部〔共110分〕二、填空題：本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分11.復(fù)數(shù)〔為虛數(shù)單位〕，則________.【答案】【解析】【分析】此題先計算，而后求其模.或直接利用模的性質(zhì)計算.容易題，注重根基知識、運算求解能力的考察.【詳解】.【點睛】此題考察了復(fù)數(shù)模的運算，屬于簡單題.12.圓的圓心坐標是，半徑長是.假設(shè)直線與圓相切于點，則_____，______.【答案】(1).(2).【解析】【分析】此題主要考察圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系.首先通過確定直線的斜率，進一步得到其方程，將代入后求得，計算得解.【詳解】可知，把代入得，此時.【點睛】解答直線與圓的位置關(guān)系問題，往往要借助于數(shù)與形的結(jié)合，特別是要注意應(yīng)用圓的幾何性質(zhì).13.在二項式的展開式中，常數(shù)項是________；系數(shù)為有理數(shù)的項的個數(shù)是_______.【答案】(1).(2).【解析】【分析】此題主要考察二項式定理、二項展開式的通項公式、二項式系數(shù)，屬于常規(guī)題目.從寫出二項展開式的通項入手，根據(jù)要求，考察的冪指數(shù)，使問題得解.【詳解】的通項為可得常數(shù)項為，因系數(shù)為有理數(shù)，，有共5個項【點睛】此類問題解法比擬明確，首要的是要準確記憶通項公式，特別是“冪指數(shù)〞不能記混，其次，計算要細心，確保結(jié)果正確.14.在中，，，，點在線段上，假設(shè)，則____；________.【答案】(1).(2).【解析】【分析】此題主要考察解三角形問題，即正弦定理、三角恒等變換、數(shù)形結(jié)合思想及函數(shù)方程思想.在、中應(yīng)用正弦定理，由建設(shè)方程，進而得解.【詳解】在中，正弦定理有：，而,，，所以.【點睛】解答解三角形問題，要注意充分利用圖形特征.15.橢圓的左焦點為，點在橢圓上且在軸的上方，假設(shè)線段的中點在以原點為圓心，為半徑的圓上，則直線的斜率是_______.【答案】【解析】【分析】結(jié)合圖形可以發(fā)現(xiàn)，利用三角形中位線定理，將線段長度用坐標表示成圓的方程，與橢圓方程聯(lián)立可進一步求解.利用焦半徑及三角形中位線定理，則更為簡潔.【詳解】方法1：由題意可知，由中位線定理可得，設(shè)可得，聯(lián)立方程可解得〔舍〕，點在橢圓上且在軸的上方，求得，所以方法2：焦半徑公式應(yīng)用解析1：由題意可知，由中位線定理可得，即求得，所以.【點睛】此題主要考察橢圓的標準方程、橢圓的幾何性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合思想，是解答解析幾何問題的重要途徑.16.，函數(shù)，假設(shè)存在，使得，則實數(shù)的最大值是____.【答案】【解析】【分析】此題主要考察含參絕對值不等式、函數(shù)方程思想及數(shù)形結(jié)合思想，屬于能力型考題.從研究入手，令，從而使問題加以轉(zhuǎn)化，通過繪制函數(shù)圖象，觀察得解.【詳解】使得，使得令，則原不等式轉(zhuǎn)化為存在，由折線函數(shù)，如圖只需，即，即的最大值是【點睛】對于函數(shù)不等式問題，需充分利用轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想.17.正方形的邊長為1，當每個取遍時，的最小值是________；最大值是_______.【答案】(1).0(2).【解析】分析】此題主要考察平面向量的應(yīng)用，題目難度較大.從引入“基向量〞入手，簡化模的表現(xiàn)形式，利用轉(zhuǎn)化與化歸思想將問題逐步簡化.【詳解】正方形ABCD的邊長為1，可得，，?0，要使的最小，只需要，此時只需要取此時等號成立當且僅當均非負或者均非正，并且均非負或者均非正。比方則.點睛：對于此題需充分利用轉(zhuǎn)化與化歸思想，從“基向量〞入手，最后求不等式最值，是一道向量和不等式的綜合題?！军c睛】對于平面向量的應(yīng)用問題，需充分利用轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想.三、解答題：本大題共5小題，共74分，解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟.18.設(shè)函數(shù).〔1〕函數(shù)是偶函數(shù)，求的值；〔2〕求函數(shù)的值域.【答案】〔1〕；〔2〕.【解析】【分析】(1)由函數(shù)的解析式結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)即可確定的值；(2)首先整理函數(shù)的解析式為的形式，然后確定其值域即可.【詳解】(1)由題意結(jié)合函數(shù)的解析式可得：，函數(shù)為偶函數(shù)，則當時，，即，結(jié)合可取，相應(yīng)的值為.(2)由函數(shù)的解析式可得：.據(jù)此可得函數(shù)的值域為：.【點睛】此題主要考察由三角函數(shù)的奇偶性確定參數(shù)值，三角函數(shù)值域的求解，三角函數(shù)式的整理變形等知識，意在考察學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.19.如圖，三棱柱，平面平面,，分別是的中點.〔1〕證明：；〔2〕求直線與平面所成角的余弦值.【答案】〔1〕證明見解析；〔2〕.【解析】【分析】(1)由題意首先證得線面垂直，然后利用線面垂直的定義即可證得線線垂直；(2)建設(shè)空間直角坐標系，分別求得直線的方向向量和平面的法向量，然后結(jié)合線面角的正弦值和同角三角函數(shù)根本關(guān)系可得線面角的余弦值.【詳解】(1)如以下圖，連結(jié)，等邊中，，則，平面ABC⊥平面，且平面ABC∩平面，由面面垂直的性質(zhì)定理可得：平面，故，由三棱柱的性質(zhì)可知，而，故，且，由線面垂直的判定定理可得：平面，結(jié)合?平面，故.(2)在底面ABC內(nèi)作EH⊥AC，以點E為坐標原點，EH,EC,方向分別為x,y,z軸正方向建設(shè)空間直角坐標系.設(shè)，則，,，據(jù)此可得：，由可得點的坐標為，利用中點坐標公式可得：，由于，故直線EF方向向量為：設(shè)平面的法向量為，則：，據(jù)此可得平面的一個法向量為，此時，設(shè)直線EF與平面所成角為，則.【點睛】此題考察了立體幾何中的線線垂直的判定和線面角的求解問題，意在考察學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力；解答此題關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，通過嚴密推理，同時對于立體幾何中角的計算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.20.設(shè)等差數(shù)列的前項和為，，，數(shù)列滿足：對每成等比數(shù)列.〔1〕求數(shù)列的通項公式；〔2〕記證明：【答案】〔1〕，；〔2〕證明見解析.【解析】【分析】(1)首先求得數(shù)列的首項和公差確定數(shù)列的通項公式，然后結(jié)合三項成等比數(shù)列的充分必要條件整理計算即可確定數(shù)列的通項公式；(2)結(jié)合(1)的結(jié)果對數(shù)列的通項公式進展放縮，然后利用不等式的性質(zhì)和裂項求和的方法即可證得題中的不等式.【詳解】(1)由題意可得：，解得：，則數(shù)列的通項公式為.其前n項和.則成等比數(shù)列，即：，據(jù)此有：，故.(2)結(jié)合(1)中的通項公式可得：，則.【點睛】此題主要考察數(shù)列通項公式的求解，，裂項求和的方法，數(shù)列中用放縮法證明不等式的方法等知識，意在考察學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.21.如圖，點為拋物線，點為焦點，過點的直線交拋物線于兩點，點在拋物線上，使得的重心在軸上，直線交軸于點，且在點右側(cè).記的面積為.〔1〕求的值及拋物線的準線方程；〔2〕求的最小值及此時點的坐標.【答案】〔1〕1，；〔2〕，.【解析】【分析】(1)由焦點坐標確定p的值和準線方程即可；(2)設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線方程和拋物線方程，結(jié)合韋達定理求得面積的表達式，最后結(jié)合均值不等式的結(jié)論即可求得的最小值和點G的坐標.【詳解】(1)由題意可得，則，拋物線方程為，準線方程為.(2)設(shè)，設(shè)直線AB方程為，與拋物線方程聯(lián)立可得：，故：，，設(shè)點C的坐標為，由重心坐標公式可得：，，令可得：，則.即，由斜率公式可得：，直線AC的方程為：，令可得：，故，且，由于，代