專題07導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（重點(diǎn)）（解析版）

專題07導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（重點(diǎn)）一、單選題1．已知函數(shù)可導(dǎo)，且滿足，則函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求解.【解析】因?yàn)?所以,故選:A.2．曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則a，b的值分別為（

）A．-1，1 B．-1，-1 C．1，1 D．1，-1【答案】C【分析】根據(jù)切點(diǎn)和斜率求得切線方程.【解析】依題意，切點(diǎn)為，斜率為，，所以，解得.故選：C3．下列求導(dǎo)運(yùn)算錯誤的是（

）.A． B．C． D．【答案】D【分析】利用導(dǎo)數(shù)公式和運(yùn)算法則判斷【解析】解：A選項(xiàng)中，，故正確；B選項(xiàng)中，，故正確；C選項(xiàng)中，，故正確D選項(xiàng)中，，故錯誤，故選：D.4．函數(shù)的圖像如圖所示，則關(guān)于函數(shù)的說法正確的是（

）A．函數(shù)有3個極值點(diǎn)B．函數(shù)在區(qū)間上是增加的C．函數(shù)在區(qū)間上是增加的D．當(dāng)時，函數(shù)取得極大值【答案】C【分析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可知，，函數(shù)單調(diào)遞增，，函數(shù)單調(diào)遞減，結(jié)合圖像即可判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值.【解析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可知，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，故當(dāng)時，函數(shù)取得極大值，當(dāng)時，函數(shù)取得極小值.所以D錯誤；故函數(shù)有2個極值點(diǎn)，所以A錯誤；函數(shù)的單調(diào)性為：單增區(qū)間；單減區(qū)間.故B錯誤，C正確.故選：C.5．當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，則（

）A． B． C．2 D．4【答案】A【分析】由得，再由在處取得最大值，分析得，得.【解析】當(dāng)時，函數(shù)取得最大值-2，所以，即，，定義域?yàn)?，又因?yàn)樵谔幦〉米畲笾?，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，則，所以.故選：A.6．若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】求導(dǎo)，對分類討論，分與兩種情況，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理可得的取值范圍.【解析】，，當(dāng)時，在上恒成立，此時在上單調(diào)遞減，不合要求，舍去；當(dāng)時，則要求的零點(diǎn)在內(nèi)，的對稱軸為，由零點(diǎn)存在性定理可得：，故，解得：，故的取值范圍.故選：C7．已知，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】原式整理化簡為，可構(gòu)造函數(shù)，使用函數(shù)的單調(diào)性求解.【解析】∵∴原式令，則，當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，又∵，，，∴當(dāng)時，，∴當(dāng)，的取值范圍是.故選：D.8．函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先得到的奇偶性，排除CD，再利用導(dǎo)函數(shù)得到時，恒成立，排除A，選出正確答案.【解析】的定義域?yàn)镽，且，所以為偶函數(shù)，排除CD；令，，則恒成立，故當(dāng)時，，又在上恒成立，所以在上恒成立，排除A，B選項(xiàng)正確.,故選：B9．定義在上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)記為，若為奇函數(shù)且，當(dāng)時，，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，根據(jù)題意求得函數(shù)在為單調(diào)遞增函數(shù)，然后分，和三種情況進(jìn)行求解即可【解析】設(shè)，則，因?yàn)楫?dāng)時，成立，所以，為遞減函數(shù)，又因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，可得，則，所以函數(shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)在為單調(diào)遞增函數(shù)，因?yàn)?，所以，，，?dāng)時，由為奇函數(shù)可得不滿足題意；當(dāng)時，由可得，所以；當(dāng)時，由可得，所以，此時，綜上所述，不等式的解集是故選：D10．函數(shù)的定義域?yàn)?，為奇函?shù)，且的圖像關(guān)于對稱．若曲線在處的切線斜率為，則曲線在處的切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意得函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，關(guān)于對稱，進(jìn)而得函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，再結(jié)合題意，根據(jù)周期性與對稱性求解即可.【解析】解：因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，即，所以，函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，即，因?yàn)榈膱D像關(guān)于對稱，所以的圖像關(guān)于對稱，即，所以，，所以，即函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，所以曲線在處的切線斜率等于曲線在處的切線斜率，因?yàn)榍€在處的切線斜率為，圖像關(guān)于對稱，所以，曲線在處的切線斜率為，因?yàn)?，，所以，所以，所以曲線在處的切線方程為，即.故選：A11．對任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由得，令，，利用導(dǎo)函數(shù)求最小值、最大值即可.【解析】當(dāng)時，，不等式顯然成立；當(dāng)時，，令，令，則是上的增函數(shù)且，當(dāng)時，此時遞減，時，此時遞增.故的最小值為，令，則，故是增函數(shù)，的最大值為，故，綜上所述，，故選：D12．關(guān)于函數(shù)，下列判斷正確的是（

）①是的極大值點(diǎn)，②函數(shù)有且只有1個零點(diǎn)，③存在正實(shí)數(shù)，使得成立，④對任意兩個正實(shí)數(shù)，且，若，則.A．①④ B．②③ C．②③④ D．②④【答案】D【分析】對于①，根據(jù)極大值點(diǎn)的定義，求導(dǎo)，研究導(dǎo)數(shù)與零的大小關(guān)系，可得答案；對于②，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)研究其單調(diào)性，根據(jù)零點(diǎn)存在定理，可得答案；對于③，采用變量分離，構(gòu)造函數(shù)，研究單調(diào)性與最值，可得答案；對于④，以直線為對稱軸，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)研究其單調(diào)性和最值，可得答案.【解析】對于①，由，求導(dǎo)得，令，解得，可得下表：極小值則為函數(shù)的極小值點(diǎn)，故錯誤；對于②，由，求導(dǎo)得：，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，當(dāng)時，，由，故函數(shù)有且只有1個零點(diǎn)，故正確；對于③，由題意，等價于存在正實(shí)數(shù)，使得，令，求導(dǎo)得，令，則，在上，，函數(shù)單調(diào)遞增；在上，，函數(shù)單調(diào)遞減，，，在上單調(diào)遞減，無最小值，不存在正實(shí)數(shù)，使得恒成立，故錯誤；對于④，令，則，，令，則，在上單調(diào)遞減，則，即，令，由，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，得，則，當(dāng)時，顯然成立，故正確.故選：D.二、多選題13．（多選）設(shè)在處可導(dǎo)，下列式子中與相等的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義對各選項(xiàng)逐一分析計(jì)算并判斷作答.【解析】對于A，，A滿足；對于B，，B不滿足；對于C，，C滿足；對于D，，D不滿足.故選：AC14．已知函數(shù)，則（

）A．成立 B．是上的減函數(shù)C．為的極值點(diǎn) D．只有一個零點(diǎn)【答案】CD【分析】本題首先可根據(jù)求導(dǎo)得出，然后利用導(dǎo)函數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，最后結(jié)合單調(diào)性求出函數(shù)的最值，即可得出結(jié)果.【解析】因?yàn)椋?，?dāng)時，，，即當(dāng)時是增函數(shù)，B錯誤，當(dāng)時，，，即當(dāng)時是減函數(shù)，則當(dāng)時，取極小值，即最小值，，，故A錯誤，C正確，D正確，故選：CD.15．定義在上的函數(shù)滿足，，則下列說法正確的是（

）A．在處取得極大值，極大值為B．有兩個零點(diǎn)C．若在上恒成立，則D．【答案】ACD【分析】根據(jù)給定條件，求出函數(shù)的解析式，再逐項(xiàng)分析即可判斷作答.【解析】，由得：，即，令，而，則，即有，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，于是得在處取得極大值，A正確；顯然，即函數(shù)在上有1個零點(diǎn)，而時，恒成立，即函數(shù)在無零點(diǎn)，因此，函數(shù)在定義域上只有1個零點(diǎn)，B不正確；，，令，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，即函數(shù)在上遞增，在上遞減，因此，當(dāng)時，，所以，C正確；因函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，則，又，則，即，D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及不等式恒成立問題，將給定不等式等價轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探求函數(shù)單調(diào)性、最值是解決問題的關(guān)鍵.16．已知函數(shù)，則下列選項(xiàng)正確的有（

）A．函數(shù)極小值為1B．函數(shù)在上單調(diào)遞增C．當(dāng)時，函數(shù)的最大值為D．當(dāng)時，方程恰有3個不等實(shí)根【答案】AC【分析】求導(dǎo)得，分析的單調(diào)性，進(jìn)而可得極大值、極小值與最值，即可判斷ABC是否正確；作出的圖象，結(jié)合圖象即可判斷D是否正確.【解析】對于AB：，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以的極大值為，的極小值為，故A正確，B錯誤；對于C：由函數(shù)單調(diào)性知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上遞增，且，，故函數(shù)的最大值為，故C正確；對于D：當(dāng)時，，時，，且的極大值為，的極小值為，由上述分析可知，的圖象為：由圖象可得當(dāng)或時，有1個實(shí)數(shù)根，當(dāng)或時，有2個實(shí)數(shù)根，當(dāng)時，有3個實(shí)數(shù)根，故D錯誤.故選：AC.三、填空題17．已知曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則實(shí)數(shù)______．【答案】【分析】求導(dǎo)，根據(jù)切線斜率為切點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值即可求解.【解析】直線的斜率為：，故切線的斜率為2，，解得．故答案為：18．記函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且溥足，則＝______．【答案】##1.5【分析】首先對函數(shù)求導(dǎo)，將代入導(dǎo)函數(shù)中，求解的導(dǎo)函數(shù)值，進(jìn)而求得，最后代入求解即可.【解析】由題意得，，∴，解得，∴，∴．故答案為：19．已知函數(shù)的定義域?yàn)镈，給出下列三個條件：①，有；②，有；③且，有.試寫出一個同時滿足條件①②③的函數(shù)，則___________.【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)條件分析函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性判斷即可【解析】由①可得，在定義域內(nèi)為奇函數(shù)，由②可得恒成立，由③可得不是在整個區(qū)間上單調(diào)遞減，故可有故答案為：（答案不唯一）20．的兩個極值點(diǎn)滿足，則的最小值為________.【答案】【分析】由已知函數(shù)求導(dǎo)，令則可得，代入極值點(diǎn)后兩式作商，可得到的關(guān)系，作商得到的結(jié)果指對互換，便可解出，根據(jù)題目所求，代入后便可構(gòu)造新的函數(shù)，通過求導(dǎo)可求得最小值.【解析】由函數(shù)，，則，因?yàn)楹瘮?shù)兩個極值點(diǎn)，則①，②，得③，設(shè)，則且，代入③得，設(shè)，則，設(shè)，則，在單調(diào)遞減，，從而，在單調(diào)遞減，，故的最小值為.故答案為：【點(diǎn)睛】求函數(shù)最值，通常是對所求函數(shù)求導(dǎo)，當(dāng)一階導(dǎo)數(shù)不能確定極值點(diǎn)時，可二階求導(dǎo)確定導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)，可得到原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求得原函數(shù)的最值.四、解答題21．已知函數(shù)，且.(1)求的解析式；(2)求曲線在處的切線方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）先求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)可求，進(jìn)而可得答案；（2）先求導(dǎo)數(shù)得到切線斜率，再求出切點(diǎn)，利用點(diǎn)斜式可求切線方程.（1）因?yàn)?，且，所以，解得，所以函?shù)的解析式為.（2）由（1）可知，；又，所以曲線在處的切線方程為，即.22．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【分析】（1）利用基本初等函數(shù)及加法求導(dǎo)法則計(jì)算；（2）利用導(dǎo)函數(shù)乘法法則進(jìn)行計(jì)算；（3）利用導(dǎo)函數(shù)乘法法則進(jìn)行計(jì)算；（4）利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則計(jì)算；（5）利用復(fù)合函數(shù)及導(dǎo)函數(shù)乘法法則進(jìn)行計(jì)算；（6）利用求導(dǎo)加減乘除法則進(jìn)行計(jì)算.(1)(2)(3)(4)(5)(6)23．已知函數(shù)，其中(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)恒成立，求a的值．【答案】(1)遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是；(2)2.【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再解不等式即可作答.（2）利用（1）的信息，求出的最小值，再構(gòu)造函數(shù)并求出其最大值即可作答.【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得函數(shù)，因，當(dāng)時，，當(dāng)時，，即函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以函數(shù)的遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是.（2）由（1）知，函數(shù)在處取得最小值，，令，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，于是得恒成立，而恒成立，即恒成立，從而得，所以.24．已知且.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，求證：.【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.【分析】（1）對參數(shù)的值進(jìn)行分類討論，在不同的情況下根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)即可判斷函數(shù)單調(diào)性；（2）將待證不等式兩邊同乘以，令，將問題轉(zhuǎn)化為證明的最小值大于等于零即可.【解析】（1）且的定義域?yàn)?，，?dāng)時，令，得；令，得，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，令，得；令，得，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）當(dāng)時，即為，由于，兩邊同時乘以，得，即證明.因?yàn)?，令，令，則，所以在上，單調(diào)遞減，在上，單調(diào)遞增.所以，所以.即得證.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，以及利用導(dǎo)數(shù)證明不等式；第二問處理的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，從而簡化證明，屬綜合中檔題.25．設(shè)函數(shù)．(1)若函數(shù)是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)是否存在實(shí)數(shù)a，使得是的極值點(diǎn)？若存在，求出a；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)不存在，理由見解析【分析】（1）由是增函數(shù)等價轉(zhuǎn)化為恒成立，通過參變分離，求新函數(shù)的最值，得到參數(shù)a的取值范圍；（2）先假設(shè)是的極值點(diǎn)，由必要性條件求出a的值，再代回驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)不能使是極值點(diǎn)成立，故判斷為不存在.【解析】（1），∵是增函數(shù)，∴對恒成立，∴令令且當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增.∴，∴即a的取值范圍為．（2）若是的極值點(diǎn)，則必有（必要性）當(dāng)時，∴在上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)，故假設(shè)不成立即不存在這樣的a．26．如圖，某地為了開發(fā)旅游資源，欲修建一條連接風(fēng)景點(diǎn)P和居民區(qū)O的公路，點(diǎn)P所在的山坡面與山腳所在水平面所成的二面角為，且，點(diǎn)P到平面的距離．沿山腳原有一段筆直的公路AB可供利用，從點(diǎn)O到山腳修路的造價為a萬元，原有公路改建費(fèi)用為萬元，當(dāng)山坡上公路長度為時，其造價為萬元，已知，，，．(1)在AB上求一點(diǎn)D，使沿折線PDAO修建公路的總造價最?。?2)對于（1）中得到的點(diǎn)D，在DA上求一點(diǎn)E，使沿折線PDEO修建公路的總造價最小；(3)在AB上是否存在兩個不同的點(diǎn)，使沿折線修建公路的總造價小于（2）中得到的最小總造價，證明你的結(jié)論．【答案】(1)時，總造價最小.(2)時，總造價最小(3)不存在，使總造價小于（2）中得到的最小造價，證明見解析【分析】（1）設(shè)，則，寫出總造價的函數(shù)解析式，求最小值；（2）設(shè)，寫出總造價的函數(shù)解析式，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最小值；（3）設(shè)，，寫出總造價的解析式，求最小值，并與（2）中得到的最小值進(jìn)行比較.【解析】（1）由題，因?yàn)?，，，所以，即山坡面與所成二面角的平面角，，.設(shè)，，則.設(shè)總造價萬元，則當(dāng)，即時，總造價最小.（2）設(shè)，，總造價萬元，則，，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)，即時，總造價最小，最小總造價為萬元.（3）不存在，使總造價小于（2）中得到的最小造價.證明：在AB上取不同兩點(diǎn)，，由題在和A點(diǎn)之間，設(shè)，，，總造價為萬元，則，同（1）（2），，，當(dāng)且僅當(dāng)，時，等號同時成立，即總造價最小，最小總造價為萬元，等于第（2）中的最小造價.所以不存在，使總造價小于（2）中得到的最小造價.27．已知函數(shù)(1)若函數(shù)f（x）在處取得極值，求m；(2)在（1）的條件下，，使得不等式成立，求a的取值范圍.【答案】(1)1(2)【分析】（1）首先對函數(shù)求導(dǎo)，利