第三章3.33.3.2第1課時拋物線的簡單幾何性質課件高中數(shù)學人教A版選擇性

第1課時拋物線的簡單幾何性質第三章

拋物線的簡單幾何性質本資料分享自千人教師QQ群323031380期待你的加入與分享1.掌握拋物線的幾何性質.2.會利用拋物線的性質解決一些簡單的拋物線問題.學習目標圖形標準方程焦點坐標準線方程

y2＝2px(p>0)

y2＝－2px(p>0)在上一節(jié)中，我們已經學習了拋物線的定義及其標準方程，這一節(jié)我們利用方程研究拋物線的幾何性質.導語

x2＝2py(p>0)

x2＝－2py(p>0)隨堂演練課時對點練一、拋物線的幾何性質二、拋物線的幾何性質的應用內容索引一、拋物線的幾何性質問題1

類比用方程研究橢圓、雙曲線幾何性質的過程與方法，你認為應研究拋物線y2＝2px(p>0)的哪些幾何性質，如何研究這些性質？提示1.范圍當x>0時，拋物線y2

＝2px(p＞0)在y軸的右側，開口向右，這條拋物線上的任意一點M

的坐標(x，y)的橫坐標滿足不等式x≥0；當x

的值增大時，|y|的值也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸.拋物線是無界曲線.2.對稱性觀察圖象，不難發(fā)現(xiàn)，拋物線y2＝2px(p＞0)關于x軸對稱，我們把拋物線的對稱軸叫做拋物線的軸.拋物線只有一條對稱軸.3.頂點拋物線和它的軸的交點叫做拋物線的頂點.拋物線的頂點坐標是坐標原點(0,0).4.離心率拋物線上的點M到焦點的距離和它到準線的距離的比，叫做拋物線的離心率.用e表示，e＝1.標準方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)圖形

范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R對稱軸

軸

軸

軸

軸xx知識梳理yy1焦點坐標F______F_________準線方程x＝_______x＝____y＝______y＝____頂點坐標O(0,0)離心率e＝___注意點：只有焦點在坐標軸上，頂點是原點的拋物線的方程才是標準方程.例1

拋物線的頂點在原點，對稱軸重合于橢圓9x2＋4y2＝36短軸所在的直線，拋物線焦點到頂點的距離為3，求拋物線的方程及拋物線的準線方程.其短軸在x軸上，∴拋物線的對稱軸為x軸，∴設拋物線的方程為y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0).∵拋物線的焦點到頂點的距離為3，∴拋物線的標準方程為y2＝12x或y2＝－12x，其準線方程分別為x＝－3和x＝3.反思感悟把握三個要點確定拋物線的簡單幾何性質(1)開口：由拋物線標準方程看圖象開口，關鍵是看準一次項是x還是y，一次項的系數(shù)是正還是負.(2)關系：頂點位于焦點與準線中間，準線垂直于對稱軸.(3)定值：焦點到準線的距離為p；過焦點垂直于對稱軸的弦(又稱為通徑)長為2p；離心率恒等于1.跟蹤訓練1

邊長為1的等邊三角形AOB，O為坐標原點，AB⊥x軸，以O為頂點且過A，B的拋物線方程是√解析設拋物線方程為y2＝ax(a≠0).二、拋物線的幾何性質的應用例2

(1)已知正三角形AOB的一個頂點O位于坐標原點，另外兩個頂點A，B在拋物線y2＝2px(p＞0)上，求這個三角形的邊長.解如圖所示，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，又|OA|＝|OB|，整理得(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0.因為x1＞0，x2＞0,2p＞0，所以x1＝x2，由此可得|y1|＝|y2|，即線段AB關于x軸對稱，由此得∠AOx＝30°，(2)已知A，B是拋物線y2＝2px(p>0)上兩點，O為坐標原點，若|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰是此拋物線的焦點，求直線AB的方程.解如圖，設點A(x0，y0)，由題意可知點B(x0，－y0)，∴AF⊥OB，∴kAF·kOB＝－1，反思感悟利用拋物線的性質可以解決的問題(1)對稱性：解決拋物線的內接三角形問題.(2)焦點、準線：解決與拋物線的定義有關的問題.(3)范圍：解決與拋物線有關的最值問題.(4)焦點弦：解決焦點弦問題.跟蹤訓練2

(1)(多選)設拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，點M在拋物線C上，|MF|＝5，若y軸上存在點A(0,2)，使得

則p的值可以為A.2√√解析由題意可得，以MF為直徑的圓過點(0,2)，因為圓心是MF的中點，所以根據(jù)中點坐標公式可得，據(jù)此可知該圓與y軸相切于點A(0,2)，故圓心縱坐標為2，則M點縱坐標為4，代入拋物線方程得p2－10p＋16＝0，所以p＝2或p＝8.(2)拋物線y2＝4x的焦點為F，準線為l，點A是拋物線上一點，且∠AFO＝120°(O為坐標原點)，AK⊥l，垂足為K，則△AKF的面積是______.解析由拋物線方程可知F(1,0)，準線l的方程為x＝－1.如圖，設A(x0，y0)，過A作AH⊥x軸于H，在Rt△AFH中，|FH|＝x0－1，1.知識清單：(1)拋物線的幾何性質.(2)拋物線的幾何性質的應用.2.方法歸納：待定系數(shù)法.3.常見誤區(qū)：求拋物線方程時焦點的位置易判斷失誤.課堂小結隨堂演練1.對拋物線y＝4x2，下列描述正確的是A.開口向上，焦點為(0,1)B.開口向上，焦點為C.開口向右，焦點為(1,0)D.開口向右，焦點為√1234解析由拋物線y＝4x2，2.(多選)以y軸為對稱軸的拋物線的通徑(過焦點且與對稱軸垂直的弦)長為8，若拋物線的頂點在坐標原點，則其方程為A.y2＝8x

B.y2＝－8xC.x2＝8y

D.x2＝－8y√1234√解析設拋物線方程為x2＝2py或x2＝－2py(p>0)，2p＝8，p＝4.∴拋物線方程為x2＝8y或x2＝－8y.3.若拋物線y2＝x上一點P到準線的距離等于它到頂點的距離，則點P的坐標為√1234解析設拋物線的焦點為F，原點為O，P(x0，y0)，由條件及拋物線的定義知，|PF|＝|PO|，4.已知拋物線y2＝2px(p>0)，直線x＝m與拋物線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，則y1＋y2＝______.01234解析因為拋物線y2＝2px(p>0)關于x軸對稱，x＝m與x軸垂直，故y1＝－y2，即y1＋y2＝0.課時對點練1.若拋物線y2＝2x上有兩點A，B且AB垂直于x軸，若|AB|＝

則拋物線的焦點到直線AB的距離為√解析由題意知，線段AB所在的直線方程為x＝1，基礎鞏固123456789101112131415162.以坐標軸為對稱軸，以原點為頂點且過圓x2＋y2－2x＋6y＋9＝0的圓心的拋物線的方程是A.y＝3x2或y＝－3x2

B.y＝3x2C.y2＝－9x或y＝3x2

D.y＝－3x2或y2＝9x√解析圓的方程可化為(x－1)2＋(y＋3)2＝1，圓心為(1，－3)，由題意可設拋物線方程為y2＝2px(p>0)或x2＝－2py(p>0).把(1，－3)代入得9＝2p或1＝6p，12345678910111213141516√123456789101112131415164.若拋物線y2＝4x上一點P到x軸的距離為

則點P到拋物線的焦點F的距離為A.4√解析由題意，知拋物線y2＝4x的準線方程為x＝－1，12345678910111213141516∴點P到拋物線的準線的距離為3＋1＝4，∴點P到拋物線的焦點F的距離為4.解析曲線的方程可化為(x－2)2＋y2＝9，其表示圓心為(2,0)，半徑為3的圓，5.已知拋物線y2＝2px(p>0)的準線與曲線x2＋y2－4x－5＝0相切，則p的值為√123456789101112131415166.(多選)點M(1,1)到拋物線y＝ax2的準線的距離為2，則a的值可以為√12345678910111213141516√因為點M(1,1)到拋物線y＝ax2的準線的距離為2，7.已知點A(－2,3)在拋物線C：y2＝2px(p>0)的準線上，記拋物線C的焦點為F，則直線AF的斜率為______.解析∵點A(－2,3)在拋物線C的準線上，12345678910111213141516∴拋物線的方程為y2＝8x，則焦點F的坐標為(2,0).8.已知F是拋物線C：y2＝8x的焦點，M是C上一點，F(xiàn)M的延長線交y軸于點N.若M是FN的中點，則|FN|＝_____.6解析如圖，過點M作MM′⊥y軸，垂足為M′，|OF|＝2，∵M為FN的中點，|MM′|＝1，12345678910111213141516∴|MF|＝3，∴|FN|＝6.9.若拋物線的頂點在原點，開口向上，F(xiàn)為焦點，M為準線與y軸的交點，A為拋物線上一點，且|AM|＝

，|AF|＝3，求此拋物線的標準方程.解設所求拋物線的標準方程為x2＝2py(p>0)，12345678910111213141516所以所求拋物線的標準方程為x2＝4y或x2＝8y.10.已知拋物線C的頂點在原點，焦點F在x軸的正半軸上，設A，B是拋物線C上的兩個動點(AB不垂直于x軸)，且|AF|＋|BF|＝8，線段AB的垂直平分線恒經過點Q(6,0)，求拋物線的方程.12345678910111213141516解設拋物線的方程為y2＝2px(p＞0)，12345678910111213141516∵|AF|＋|BF|＝8，∵Q(6,0)在線段AB的中垂線上，∴|QA|＝|QB|，12345678910111213141516∴(x1－x2)(x1＋x2－12＋2p)＝0.∵AB與x軸不垂直，∴x1≠x2.故x1＋x2－12＋2p＝8－p－12＋2p＝0，即p＝4.從而拋物線方程為y2＝8x.√∴點A的坐標為(1，±2).12345678910111213141516綜合運用12.已知P是拋物線C：y2＝2px(p>0)上的一點，F(xiàn)是拋物線C的焦點，O為坐標原點，若|PF|＝2，∠PFO＝

，則拋物線C的方程為A.y2＝6x

B.y2＝2xC.y2＝x

D.y2＝4x√解析過P向x軸作垂線，設垂足為Q，12345678910111213141516將P點的坐標代入y2＝2px，得p＝3，故C的方程為y2＝6x.13.已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，O為坐標原點，M為拋物線上一點，且|MF|＝4|OF|，△MFO

的面積為

則拋物線方程為A.y2＝6x

B.y2＝8xC.y2＝16x

D.y2＝x12345678910111213141516√解析設M(x1，y1)，解得p＝4，即拋物線的方程為y2＝8x.14.拋物線x2＝2py(p>0)的焦點為F，其準線與雙曲線

相交于A，B兩點，若△ABF為等邊三角形，則p＝_____.123456789101112131415166解得p2＝36，p＝6.15.如圖，已知P為拋物線y2＝4x上的動點，過P分別作y軸與直線x－y＋4＝0的垂線，垂足分別為A，B，則|PA|＋|PB|