專題2不等式及其應(yīng)用（學(xué)生版）

專題2：不等式及其應(yīng)用<<<專題綜述>>><<<專題綜述>>>基本不等式是主要應(yīng)用于求某些函數(shù)的最值及證明的不等式，在高考中，基本不等式是作為求多變?cè)淖钪档墓ぞ撸镁挡坏仁角笞钪敌枰盐諟?zhǔn)確“一正、二定、三相等”的含義，并要掌握相應(yīng)的技巧.<<<專題探究>>><<<專題探究>>>題型一：配湊法題型一：配湊法配湊法就是將相關(guān)代數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危ㄟ^添項(xiàng)、拆項(xiàng)等方法湊成和為定值或積為定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．配湊法的實(shí)質(zhì)是代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵．例1(2021·湖南省株洲市模擬)若a>0，b>0，c>0且a(a+b+c)+bc=16，則2a+b+c>m2+2m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是A.(-∞,-2)∪(4,+∞) B.(-∞,-4)∪(2,+∞)

C.-2,4 D.-4,2【思路點(diǎn)撥】首先恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題，本題實(shí)質(zhì)是求2a+b+c的最小值，表達(dá)式為“和式”結(jié)構(gòu)，因此可將條件a(a+b+c)+bc=16轉(zhuǎn)化為“積式”結(jié)構(gòu)，也即因式分解為a+ba+c=16練1(2023·安徽省合肥市模擬)若a，b∈R+，ab+2a+b=4，則a+b的最小值為(

)A.2 B.6-1 C.26練2(2023·江蘇省無(wú)錫市模擬)已知正實(shí)數(shù)x，y滿足3x2+4xy+y2題型二：題型二：利用常數(shù)代換法求最值常數(shù)代換是指利用某些帶有常數(shù)項(xiàng)的恒等式，把常量化為變量代入到所求證的式子中，并進(jìn)行代數(shù)變形，進(jìn)而利用均值不等式來(lái)求最值.常見的有“1”的代換.例2(2023·湖北省武漢市模擬)若x>0,y>0，且1x+1+1x+2y=1，則2x+yA.2 B.23 C.12【思路點(diǎn)撥】通過換元x+1=a,x+2y=b將題設(shè)條件簡(jiǎn)化為1a+1b=1，然后將目標(biāo)2x+y轉(zhuǎn)化為關(guān)于a,b的表達(dá)式練3(2021·浙江省杭州市模擬)已知a>0,b>0，且a+b=1，則3aba+4b的最大值為（A．310B．38C．928題型三：化題型三：化單變量利用條件將其中一個(gè)變量用另一個(gè)變量表示，將多變量的問題轉(zhuǎn)化為單變量的問題，再利用均值不等式求解，也可以通過齊次化轉(zhuǎn)化，利用比值換元轉(zhuǎn)化為單變量問題.例3(2021·江蘇省南通市模擬)已知正數(shù)a，b滿足1a+1b=2，則3b+1【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)1a+1b=2得到b=a2a-1練4(2023·江蘇省無(wú)錫市模擬)若對(duì)任意實(shí)數(shù)x>0，y>0，不等式x+xy≤ax+y恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為(

)A.2-12 B.2-1 C.2題型四：多次題型四：多次使用基本不等式連續(xù)使用均值不等式的關(guān)鍵在于取等條件是否成立，可以根據(jù)變量的個(gè)數(shù)以及方程的個(gè)數(shù)來(lái)確定可使用均值不等式的次數(shù)，或者需要保證所用均值不等式等號(hào)成立的條件不沖突.例4(2023·天津市模擬)已知正數(shù)x，y，z滿足x2+y2+z2A.3 B.3(3+1)2 C.【思路點(diǎn)撥】 本題變量為3個(gè)，方程1個(gè)，因此可以“自由”使用兩次均值不等式，根據(jù)題干條件，可以先將目標(biāo)S=1+z2xyz中的xy利用均值不等式轉(zhuǎn)化為x練5(2023·福建省莆田市模擬)已知x+1>y>0，則x+4x+y+1+1x-y+1A.3102-1 B.103練6(2022·湖北省襄陽(yáng)市模擬)已知x>0，y>0，z>0，則x+yx+題型五：柯西不等式題型五：柯西不等式柯西不等式的二維形式是：a2+b其向量形式為：m=a,b根據(jù)柯西不等式的結(jié)構(gòu)，即a2+b2c例5(2021·安徽省合肥市模擬)已知m，n均為正實(shí)數(shù)，4m+n=9，則2m+1+n+3【思路點(diǎn)撥】題干條件相當(dāng)于目標(biāo)的平方和的形式，因此可以通過配湊系數(shù)，利用柯西不等式求解.練7(2022·北京市期末)已知a+b=3(a>0,b>0)，則a2b+練8(2021·湖北省鄂州市模擬)已知a1-b2+bA．a(chǎn)2+b2C．a(chǎn)2+b2<<<專題訓(xùn)練>>><<<專題訓(xùn)練>>>1.(2021·湖北省鄂州市模擬)若正數(shù)a，b滿足4a+3b=1，則12a+b+1a+b的最小值為(

A.3+22 B.1+22 C.2+32.(2021·江蘇省無(wú)錫市模擬)實(shí)數(shù)a,b滿足a>0,b>0,a+b=4,則a2a+1+A．4B．6C．32D．3.(2022·四川省綿陽(yáng)市模擬)設(shè)a>b>0，則a2+1A．1B．2C．3D．44.(2022·湖北省武漢市模擬)已知正實(shí)數(shù)a,b,c,d滿足a+b=1,c+d=1,則1abc+1dA.10 B.9 C.42 D.5.(2021·天津市期末)已知實(shí)數(shù)a>0,b>0,1a+2b=1,則4aa-16.(20