積累數(shù)學活動經(jīng)驗的基本路線

積累數(shù)學活動經(jīng)驗的基本路線

數(shù)學教育不僅是一種知識的提供，也是一種技能的培養(yǎng)，是一種激勵智慧和精神的刺激。課程標準(2011版)中提出讓學生獲得適應(yīng)社會生活和進一步發(fā)展所必需的基本思想與“基本的數(shù)學活動經(jīng)驗”,理應(yīng)成為發(fā)展學生智慧的載體。筆者經(jīng)過幾年的專題研究,摸索到積累數(shù)學活動經(jīng)驗的三條路線。一、問題4:確定研究方案在數(shù)學教學中,開展數(shù)學活動的目的是讓學生通過經(jīng)歷探究、思考、預(yù)測、推理、反思等過程,逐步達到對數(shù)學知識的意會、感悟,并積累解決和分析問題的基本經(jīng)驗,將這些經(jīng)驗遷移運用到后續(xù)的數(shù)學學習中去?？梢?數(shù)學活動經(jīng)驗的積累應(yīng)當以數(shù)學活動為陣地,重在活動的過程,活動中的體驗。只有學生經(jīng)歷、體驗了知識的形成過程,體驗了數(shù)學的思維方法和應(yīng)用價值,才有可能形成數(shù)學學習經(jīng)驗?！敬巴鈱嵺`】周一的實踐課上,我們研究的問題是如何測量路燈底座刷漆部分的面積?；顒忧?我在黑板上畫出立體圖形,并啟發(fā)學生思考:要測量刷漆部分的面積,需要測量哪些數(shù)據(jù)?大多數(shù)學生覺得應(yīng)測量出底座的底面周長和高?！翱墒锹窡舻鬃⒉皇且粋€標準的圓柱體,怎樣量出它的高呢?你們所說的‘高’究竟指的是哪條線段的長度?”在我的追問下,學生們終于達成了共識——要測量刷漆部分的面積,一般需要測量底座的周長和底座上端最高點、最低點與底座底面之間的距離。基礎(chǔ)工作做好了,接下來就要確定研究方案了。我話鋒一轉(zhuǎn):“如果這些數(shù)據(jù)都知道了,那又該怎樣計算刷漆部分的面積呢?”實踐課上“確定研究方案”這一環(huán)節(jié)尤為重要,通常我們可采用教師先行(提供范例)、學生共商(思維碰撞)、師生合議(補充完善)等方式。只要在討論時間上有保證,在思維參與中有廣度,在啟發(fā)點撥方面有妙招,那么學生是能夠想出多種設(shè)計方案的。果不其然,在我的啟發(fā)、引導下,學生們想到了用轉(zhuǎn)化、切割、剪拼等多種方法來計算刷漆部分的面積。我們帶上卷尺、本子來到操場邊,測量好有關(guān)數(shù)據(jù)。用轉(zhuǎn)化、切割的方法計算刷漆部分的面積,學生比較容易理解,而剪拼的方法卻比較抽象,究竟把底座的曲面剪開得到的是一個什么樣的平面圖形呢?我腦中浮現(xiàn)出的是一個由三角形和長方形組合而成的圖形,而有幾個學生卻認為展開后得到的是一個不規(guī)則圖形和一個長方形組合成的圖形。究竟誰對誰錯呢?我找來一張舊報紙,把路燈底座上端圍了一圈,并撕去了多余的部分。報紙攤平了,呈現(xiàn)在我眼前的卻是一個不規(guī)則的圖形。只是這個不規(guī)則的圖形可以通過割、補轉(zhuǎn)化成一個長方形。我們以為成人的空間想象能力肯定比學生強,殊不知學生的想象能力也很強。學生的空間想象能力的形成和提高,并不完全依賴于教師有意的培養(yǎng),有時過多的“培養(yǎng)”反而會束縛甚至歪曲學生的想象力?；氐浇淌液?我讓學生選擇兩種不同的方法算出刷漆部分的面積,結(jié)果絕大多數(shù)學生都順利完成了任務(wù)?！净顒痈形颉堪咐薪處熃Y(jié)合“如何測量路燈底座刷漆部分的面積”引導學生在數(shù)學活動中經(jīng)歷思考、設(shè)計、猜想、驗證等過程,把過程目標落到實處,使學生獲得了一些與圓柱知識有關(guān)的豐富體驗,形成了一些經(jīng)驗性認識。盡管這些認識比較粗糙、模糊,但只要加以提煉、修正,便能形成寶貴的數(shù)學活動經(jīng)驗。在數(shù)學教學中,我們應(yīng)采用推、引、扶的方式和順序啟發(fā)學生思維,這樣更能促進學生主動學習,提高解決問題的能力。為了培養(yǎng)學生的數(shù)學學力,積累學生的活動經(jīng)驗,我們不妨先把學生帶到“問題”面前,放手讓他們進行嘗試、探索,在他們探之未果、思之受阻時,教師再主動出擊,通過巧引暗傳,最終幫助學生找到一條“通道”。久而久之,學生就會找準解決問題的“方向盤”,從而真正成為學習的主人。二、自由是一種正確的算法學生學習數(shù)學都是親自或間接經(jīng)歷數(shù)學活動過程而獲得數(shù)學基本經(jīng)驗的,不僅包括前面提到的操作的經(jīng)驗、探究的經(jīng)驗,還包括發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的經(jīng)驗等。其中,借助想象體驗的數(shù)學活動經(jīng)驗也是重要的一類。積累數(shù)學活動經(jīng)驗的目的之一是建立數(shù)學的感悟、數(shù)學的直觀。波利亞曾說:“抽象的道理是重要的,但要用一切辦法使它們看得見、摸得著。”幫助學生積累想象活動經(jīng)驗,不僅符合學生的年齡特征和心理特點,還能在直觀與抽象之間搭起一座橋梁,有助于學生體悟數(shù)學的本質(zhì),實現(xiàn)理性的跨越。【問題聚焦】教學“分數(shù)加減混合運算”時,學生對于一類沒有括號且只含有同一級(加、減法)運算的式題如何進行簡便運算始終摸不清門道。為此,我專門安排了幾次對比練習——先出示“”,然后放手讓學生自行進行計算。不出所料,學生算出的結(jié)果“五花八門”。究竟正確的結(jié)果是多少呢?如果這時教師明確指出哪種算法是正確的,那么算錯的學生是否真的會認可呢?毫無疑問,讓學生先換一種思路,按照原來的運算順序進行計算,讓學生明確正確的結(jié)果是多少,這才是教師的明智之舉。有了正確的結(jié)果作指引,接下來再從不同的算法中篩選出正確的算法,并寫出板書來:。為了讓學生弄清這種算法的來龍去脈,我又在以上計算過程中增加了一個交換位置后的式子“”,并說明在交換位置時要連同前面的運算符號一起交換,即先把“”向左移,再把“”向右移。在正確交換位置的基礎(chǔ)上,再應(yīng)用有關(guān)的運算定律、性質(zhì)進行計算。有了這樣的引領(lǐng),接下來我又編排了三道題讓學生進行專項練習。如。本以為“舉一隅能以三隅反”,可事實卻并未能如我所愿。在經(jīng)歷了一陣焦躁的講評、訂正后,我靜下心來尋找下一步的對策。在小學階段一般只能讓學生通過比較兩種算法(按原來順序計算和改變順序簡算)計算結(jié)果的一致性,從而默認簡算方法的合理性。而到了初中階段,由于有了有理數(shù)加、減計算法則的內(nèi)在統(tǒng)一性,學生對于“如何移項”才能獲得真正意義上的理解。那么究竟怎樣才能讓小學五年級的學生掌握分數(shù)加減混合運算中的簡算方法呢?【問道生活】有人說:數(shù)學教師不是要創(chuàng)造新的數(shù)學概念,而是要創(chuàng)造兒童對數(shù)學概念的理解能力,數(shù)學中越是抽象理性的內(nèi)涵,越需要我們轉(zhuǎn)化為恰當貼切的直觀形象。我一直在尋找一種合適的直觀形象,來闡釋抽象的算理。一次班上某位同學的家長從先鋒老家來看他,開的是一輛寶馬轎車。看著寶馬車前的標志,我靈機一動,就借助汽車標志來說明以上算理。第二天的數(shù)學課上,我跟學生說:一輛寶馬轎車從先鋒開到金沙,汽車前面的標志不會改變;同樣一輛傳祺跑車從金沙開到常熟,汽車前面的標志也不會改變。就好比我們在計算分數(shù)加減混合運算時,如果要把某一項交換位置,要連同前面的運算符號一起交換。要是汽車在移動位置后,汽車前面的標志變化了,那就壞事了。接下來,我們再用這種“移動汽車”的方法來計算幾道題吧?？梢?“經(jīng)驗是提煉數(shù)學知識與方法的‘富礦’,只要善于挖掘和捕捉,就能為兒童的數(shù)學學習提供合適而又重要的感性支撐?！痹谛W階段,借助“汽車移動,標志不變”這一感性經(jīng)驗來幫助學生理解分數(shù)加減混合運算中的算理,不失為一種有趣又有效的嘗試。想象體驗的數(shù)學活動經(jīng)驗,不是直接產(chǎn)生于某種實際活動,而是借助想象、比喻、聯(lián)想等手段,尋求某種具體的、形象化的支撐,使原來抽象的知識由于有了直觀的闡釋更容易與學生已有的知識經(jīng)驗發(fā)生粘連,并為今后建構(gòu)相關(guān)的知識體系提供新的固著點。三、“三維思維鍛煉方法”：尋求創(chuàng)新和積累思維活動經(jīng)驗1.將數(shù)學故事引入教學,引導學生分析和探究《義務(wù)教育數(shù)學課程標準(2011年版)》指出:“推理是數(shù)學的基本思維方式,也是人們學習和生活中經(jīng)常使用的思維方式?！蓖评碜钪饕氖菤w納與演繹。命題內(nèi)涵由小到大的叫歸納推理,從大到小的叫演繹推理。歸納推理,就是用曾經(jīng)經(jīng)驗的東西去推斷未曾經(jīng)驗的東西,它所得到的結(jié)論不一定是對的,只有靠“可能是對的”這樣一種推理,才有可能發(fā)現(xiàn)一種新的東西。演繹推理雖然必要,但僅用這種推理卻不利于發(fā)明、創(chuàng)造新的東西。兩種推理交互進行,對于學生數(shù)學素養(yǎng)的提升更為有利?！驹僬乙?guī)律】教學“找規(guī)律(周期現(xiàn)象)”時,由于例題及習題中的周期數(shù)都是顯而易見的,因此學生在學習這部分內(nèi)容時更多的是用演繹法,這對于提高學生探索規(guī)律的能力,培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識是不利的。鑒于此,我與學生經(jīng)歷了一次“再找規(guī)律”的探索:第一層次是在思想指引下尋找循環(huán)規(guī)律;第二層次是在策略應(yīng)用中發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律,讓學生通過畫圖、列表,找到新問題中隱藏的規(guī)律,并應(yīng)用規(guī)律解決問題;第三層次是在相互對比中感受游戲規(guī)律。以第一層次的教學為例,我以一則數(shù)學故事引入新課:畢達哥拉斯是古希臘的一位大數(shù)學家,他對學生要求非常嚴格。相傳有一次他處罰學生,讓他來回數(shù)狄安娜神廟前的九根柱子?！澳銖淖筮叺牡谝桓訑?shù)起,依次數(shù)到最后一根,再往回數(shù),如此反復,直到數(shù)到1999時,才能停下來。你要告訴我,你停在從左邊數(shù)起的第幾根柱子旁。”我問學生,如果能讓我們穿越時空來到這位學生的面前,那么你們愿意幫助他盡快地結(jié)束這次處罰嗎?“究竟該怎樣解決這個問題呢?”學生們陷入了思考。在學生經(jīng)歷獨立思考、相互討論仍思而未果時,我請他們說出心中的困惑(石柱根數(shù)太多,不大容易發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律),并相機引出波利亞說過的一句話:“從簡單的做起”,啟發(fā)學生先從簡單的、特殊的情況做起,找出在2、3、4根石柱間來回數(shù)周期是幾,然后通過列舉、觀察、對比,幫助學生最終發(fā)現(xiàn)了一般規(guī)律【在n根石柱間來回數(shù),周期為2(n-1)】。最后再由一般到特殊,讓學生運用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律獨立解決問題。把復雜的問題盡量變得簡單些,然后從一些特殊的情況中尋找到一般的規(guī)律,最后再把發(fā)現(xiàn)的規(guī)律應(yīng)用于特殊的情形。這就是探索數(shù)學規(guī)律問題的一般方法。這其中從特殊(小)到一般(大),就是歸納;從一般(大)到特殊(小),則是演繹。它們既對立又統(tǒng)一,一般概括了特殊,比特殊更能反映事物的本質(zhì);而特殊相對一般來說則顯得簡單和容易,直觀且具體?！菊蔑@智慧】蘇霍姆林斯基曾說:“兒童來到學校里,不僅僅是為了取得一個知識的行囊,更主要的是為了變得更聰明?！敝Z貝爾獎獲得者楊振寧在評價國內(nèi)教育時說:“中國的學生應(yīng)把視野放遠一些,天線放高一些,堅持把大的方向與能力、興趣結(jié)合起來,必有大作為。”可見,在數(shù)學教學中,教師要充分利用課程資源,啟發(fā)學生積極思維、主動探究。一方面要用演繹推理的方法組織教學過程,幫助學生積累思維活動經(jīng)驗,培養(yǎng)學生有序推理、思考的意識,提高他們的數(shù)學素養(yǎng);另一方面要主動尋找、整合課程資源,有意識地讓學生積累歸納推理、合情推理的經(jīng)驗,充分挖掘他們的創(chuàng)新潛質(zhì)。教育,尤其是數(shù)學教育,應(yīng)是一種智慧的發(fā)揮,而非知識的堆積。上述案例中,我之所以要帶學生“再找規(guī)律”,源于學生探索規(guī)律能力的提高不是簡單體現(xiàn)在又知道了什么規(guī)律,而是體現(xiàn)在面對新的現(xiàn)象或者問題時,能主動應(yīng)用相關(guān)的策略,有效地發(fā)現(xiàn)給定現(xiàn)象中隱藏的規(guī)律或者解決問題的方法。更為重要的,是要引導學生發(fā)現(xiàn)各種有規(guī)律的現(xiàn)象背后蘊含的數(shù)學思想方法,并能幫助學生逐步提煉出探索規(guī)律性問題的一般方法,我以為這才是最根本的,是學生真正能夠帶得走的東西,即數(shù)學智慧。關(guān)于智慧教學,臺灣學者曾打過一個比方——“把學生帶到高速路口”,而我對智慧教學所作的形象闡釋為“我在前方等著你”“照亮學生前方的道路”。在“大”與“小”之間求統(tǒng)一,找平衡,能幫助學生學會思考,學會創(chuàng)新;在“大”處著眼,“小”處著手,能放飛學生想象的翅膀,積淀智慧。2.以小施“化簡”,發(fā)現(xiàn)錯誤與真理印度詩人泰戈爾曾說:“當你把所有的錯誤都關(guān)在門外,真理也就被拒絕了?！边@說明錯與對是有著千絲萬縷聯(lián)系的一組關(guān)系。在數(shù)學課堂上,正確的可能只是模仿,但是錯誤的一定是創(chuàng)造。不管是正確的還是錯誤的,都是課堂上的生命體,都應(yīng)受到尊重。錯誤,是學生成長路上必須經(jīng)歷的,無法回避,學生正是在不斷地犯錯、糾錯的過程中成長、豐富起來的。學會善待錯誤、善用錯誤,才能從錯誤中汲取有用的價值,獲得正確的認識——錯誤,是一種反證,它表明學生的學以及教師的教尚存某些不足,需要不斷調(diào)整,逐步完善。【善待錯誤】在學習了“等式的性質(zhì)”后,學生們遇到了這樣一只“攔路虎”:根據(jù)數(shù)量關(guān)系列方程,并解答。圓珠筆的單價是x元,鋼筆的單價是28元,比圓珠筆貴15元。根據(jù)題意,一般可列出這樣的關(guān)系式“鋼筆的單價-圓珠筆的單價=15元”,可是根據(jù)這個關(guān)系式列出的方程“28-x=15”學生很難直接應(yīng)用等式的性質(zhì)求解,因此大多數(shù)學生選擇了根據(jù)另一個關(guān)系式“圓珠筆的單價+15元=鋼筆的單價”列出方程并解答的。從學生作業(yè)修改的痕跡中可以看出他們經(jīng)歷了“遇挫—調(diào)整”的思考過程。只有一位學生小張在列出方程“28-x=15”后并沒有發(fā)現(xiàn)其中的“暗溝”,而是直接在方程兩邊同時加上28,導致出錯。后來在我的提醒下,她根據(jù)另一個關(guān)系式列出方程“x+15=28”,并最終順利“過關(guān)”。現(xiàn)行教材在“方程”這一單元中主要是讓學生應(yīng)用等式的性質(zhì)解方程,目的是為了與中學接軌。盡管書本上的習題以及配套的練習中都盡量回避了解形如“a-x=b,a÷x=b”這兩種類型的方程,但學生在解答類似前述的問題時會面臨幾種選擇,一旦列出了上面兩種類型的方程,學生該如何應(yīng)對呢?放學前,我把小張暴露出來的問題“拋”了出來——如果列出方程“28-x=15”,怎樣求出x的值呢?小施率先“觸電”:等式兩邊同時加上28。見沒有人提出不同的意見,我只好把過程板書出來:28-x+28=15+28,并進一步引導:“我們在解方程時,一般是根據(jù)等式的性質(zhì)把含有未知數(shù)的一邊化簡成只含有一個未知數(shù)。像這樣等式兩邊同時加上28,含有未知數(shù)的一邊變成了什么?能達到化簡的目的嗎?”漸漸地,越來越多的學生發(fā)現(xiàn)了這樣做根本起不到化簡的作用?！熬烤乖撛鯓忧蠼饽?”一條路受阻,接下來又該如何開辟新路呢?還是學生小施,他又一次舉起手。正如我所期待的那樣,他是根據(jù)“減數(shù)=被減數(shù)-差”這個關(guān)系式來解答的。抓住這一契機,我適時地“告訴”學生:在解方程時,既可以根據(jù)等式的性質(zhì)又可以根據(jù)加、減、乘、除法各部分之間的關(guān)系來解答。為了鼓勵同學們積極思考,我決定“放大”小施的優(yōu)點:我們在解決問題時不要怕犯錯,就連數(shù)學家也不可能不犯錯。其實,錯誤與真理是一對“鄰居”,真理往往是從錯誤中誕生的。像小施一開始想錯了,但他不放棄,肯動腦,善思考,終于獲得了成功。他的這種鉆研精神值得大家學習!【完善認知】那么形如“28-x=15”這種類型的方程,是不是就不能根據(jù)等式的性質(zhì)來解呢?事實并非如此。為了能讓學生多掌握一種解方程的方法,我繼續(xù)啟發(fā):“剛才在等式兩邊同時加上28,起不到化簡的作用,如果我偏要應(yīng)用等式的性質(zhì),該怎么辦呢?”“等式兩邊同時加上x”,“等式兩邊同時減去28”……一個個獨特的想法“誕生”了。通過試驗,學生們發(fā)現(xiàn)“等式兩邊同時加上x,原方程就變成了28=15+x,而左右交換一下位置就成了15+x=28?！碑攲W生面臨新問題時,如何把它們轉(zhuǎn)化成熟悉的問題,這體現(xiàn)出教師的一種教學智慧。而學生一旦掌握了這種學習方法,那么教師也就把智慧傳遞給學生了。在數(shù)學教學中,如果能多給學生一些犯錯的機會,多給學生一些思考的時間,多給學生一些方法的啟迪,那么學生就一定會多些體驗,多些感悟,多些成功。3.引導學生探索出圓的面積計算公式,促進學生自主探索數(shù)學活動經(jīng)驗包括數(shù)學思維活動和實踐活動的經(jīng)驗。數(shù)學思維最基本的兩大方面是精確的定量化方法和嚴密的邏輯推理,無論是定量化還是邏輯推理,本質(zhì)上都是通過建立適當?shù)哪Ｐ蛠韺崿F(xiàn)的。可以說,數(shù)學就是關(guān)于模式的科學,數(shù)學尋求盡可能簡單、普適的模式,來解決認識自然、發(fā)展社會以及數(shù)學自身世界的各種問題。【另類設(shè)計】在執(zhí)教“圓的面積計算”時,我一改傳統(tǒng)的教法,先讓學生只用一張長方形紙和一把剪刀,試著剪出一個比較標準的圓。通過相互比較、交流,學生們發(fā)現(xiàn)將一張長方形紙對折幾次后直著剪,反而能得到一個比較標準的圓。我根據(jù)這一現(xiàn)象,引發(fā)學生提出猜想:如果把圓平均分成若干份,每一份就是一個近似的什么圖形?圓與我們學過的平面圖形有什么內(nèi)在的聯(lián)系?能否應(yīng)用已有的數(shù)學知識,自己推導出圓的面積計算公式?在明確了探究目標,找準了轉(zhuǎn)化方向后,接下來就放手讓學生利用學具自行進行探索?；顒又?有的把圓剪拼成了近似的平行四邊形,有的拼成了三角形,還有的拼成了梯形……隨后重點結(jié)合第一種轉(zhuǎn)化方法,引導學生探索出圓的面積計算公式。通過觀察生活情境,進而引發(fā)猜想、提出問題,再選擇、推導出計算公式,這種由具體到抽象,從感性到理性,先發(fā)散后聚合的過程,也就是數(shù)學建模的過程。在這樣的過程中,學生能逐步體會和理解數(shù)學與外部世界的聯(lián)系,有利于學生去發(fā)現(xiàn)和提出問題,有助于發(fā)展學生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力。【靈活應(yīng)用】數(shù)學建模是通過建立模型的方法來求得問題解決的數(shù)學活動過程,這一過程可簡化為如下三個環(huán)節(jié):一是從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出